第二節(jié)等差數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列考點探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考雙基研習(xí)·面對高考雙基研習(xí)·面對高考基礎(chǔ)梳理1．等差數(shù)列(1)一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的_________，公差通常用字母d表示，公差的表達(dá)式為___________________________公差an－an－1＝d(n∈N*，n≥2)．(2)等差中項任意兩個數(shù)a，b有且只有一個等差中項，即_________.(3)等差數(shù)列的通項公式an＝______________，an＝_______________，其中n＞m，也可以n≤m.但am、an必須是數(shù)列中的項，也可得d＝________或d＝_____.a1＋(n－1)dam＋(n－m)d(4)等差數(shù)列的求和公式(由倒序相加法推得)Sn＝______________，Sn＝_________________.思考感悟若數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝an2＋bn，能否斷定數(shù)列{an}是等差數(shù)列？反之是否成立？提示：數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝an2＋bn?數(shù)列{an}是等差數(shù)列．2．等差數(shù)列的性質(zhì)(1)若公差d＞0，則此數(shù)列為遞增數(shù)列；若d＜0，則此數(shù)列為遞減數(shù)列；若d＝0，則此數(shù)列為常數(shù)列．(2)有窮等差數(shù)列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等，并且等于首末兩項之和；特別地，若項數(shù)為奇數(shù)，還等于中間項的2倍，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝2a中．(3)若m，n，p，k∈N*，且m＋n＝p＋k，則_______________，其中am，an，ap，ak是數(shù)列中的項，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時，有_________________(4)在等差數(shù)列中，每隔相同的項抽出來的項按照原來順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列．但剩下的項按原順序構(gòu)成的數(shù)列不一定是等差數(shù)列．a(chǎn)m＋an＝ap＋ak2ap＝am＋an.(5)若數(shù)列{an}與{bn}均為等差數(shù)列，則{man＋kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．(6)若{an}成等差數(shù)列，Sn為其前n項的和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列．(7)項數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列{an}，有ndan課前熱身1．在數(shù)列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，則該數(shù)列的通項公式an＝________.答案：2n－12．(2011年無錫調(diào)研)若一個三角形的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，且已知一個角為28°，則其他兩角的度數(shù)分別為________．答案：60°，92°3．下列命命題中正正確的是是________．①若a，b，c成等差數(shù)數(shù)列，則則a2，b2，c2成等差數(shù)數(shù)列②若a，b，c成等差數(shù)數(shù)列，則則log2a，log2b，log2c成等差數(shù)數(shù)列③若a，b，c成等差數(shù)數(shù)列，則則a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)數(shù)列④若a，b，c成等差數(shù)數(shù)列，則則2a,2b,2c成等差數(shù)數(shù)列答案：③4．等差數(shù)數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n項和Sn＝100，則n＝________.答案：10考點探究·挑戰(zhàn)高考等差數(shù)列的判定考點一考點突破1．等差數(shù)數(shù)列的判判定通常常有兩種種方法：：第一種是是利用定定義，an－an－1＝d(常數(shù))(n∈N*，n≥2)，第二種種是利用用等差中中項，即即2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．2．解填空題時時，亦可用通通項或前n項和直接判斷斷．(1)通項法：若數(shù)數(shù)列{an}的通項公式為為n的一次函數(shù)，，即an＝An＋B，則{an}是等差數(shù)列．．(2)前n項和法：若數(shù)數(shù)列{an}的前n項和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常數(shù))，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列．．若判斷一個數(shù)數(shù)列不是等差差數(shù)列，則只只需說明任意意連續(xù)三項不不是等差數(shù)列列即可．例1【名師點評】本題中Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，是構(gòu)造等差差數(shù)列的一種種典型結(jié)構(gòu)，，可以看作一一種結(jié)論，第第(2)問中易漏掉n＝1的情況．等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用考點二等差數(shù)列性質(zhì)質(zhì)的考查是高高考的重點，，其中的運算算可繁可簡，，其原因就在在于等差數(shù)列列中的相關(guān)性性質(zhì)的應(yīng)用，，而且等差數(shù)數(shù)列所具備的的函數(shù)的一些些性質(zhì)，更使使數(shù)列的命題題可難可易．．重點掌握性性質(zhì)的靈活應(yīng)應(yīng)用．例2【名師點評】利用等差數(shù)列列的性質(zhì)解題題，需仔細(xì)觀觀察代數(shù)式中中各項間的聯(lián)聯(lián)系，尤其在在一些有關(guān)的的結(jié)論上要熟熟記熟用．變式訓(xùn)練1等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，求m的值．等差數(shù)列的前n項和考點三由于等差數(shù)列列的求和，題題目不算難，，屬于基本題題型，但求和和問題常與其其他知識聯(lián)系系起來命題，，如與最值、、恒成立、不不等式等結(jié)合合．(2010年高考課標(biāo)全全國卷)設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通項公式；；(2)求{an}的前n項和Sn及使得Sn最大的序號n的值．【思路分析】由a3，a10聯(lián)立求a1，d1，再求出Sn，利用二次函函數(shù)的性質(zhì)求求最值．例3【名師點評】等差數(shù)列的前前n項和Sn可看作關(guān)于n的二次函數(shù)，，因而可借助助于二次函數(shù)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)質(zhì)研究Sn的最值問題．．變式訓(xùn)練2記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，設(shè)S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比數(shù)列，，求Sn.方法感悟方法技巧1．等差數(shù)列的的證明或判定定，主要方法法有兩種：(1)利用定義，證證明an＋1－an＝常數(shù)；(2)利用中項性質(zhì)質(zhì)：2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．2．注意推廣的的通項公式的的應(yīng)用：am＝an＋(m－n)d.3．由五個量a1，d，n，an，Sn中的三個可求求其余兩個量量(知三求二)，善于恰當(dāng)選選擇公式，減減少運算量．．4．注意等差數(shù)數(shù)列的設(shè)法．．如奇數(shù)個數(shù)數(shù)成等差數(shù)列列，除了設(shè)成成a，a＋d，a＋2d，…外，還可設(shè)成成…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….5．計算中靈活活運用常用性性質(zhì)，整體代代換，可使運運算量減少，，體現(xiàn)運算的的合理性、技技巧性．6．等差數(shù)列的的最值若{an}是等差數(shù)列，，求前n項和的最值時時，(3)除上面方法外外，還可將{an}的前n項和的最值問問題看作Sn關(guān)于n的二次函數(shù)最最值問題，利利用二次函數(shù)數(shù)的圖象或配配方法求解，，注意n∈N*.失誤防范1．等差數(shù)列的的性質(zhì)am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q)錯誤地理解解為am＝ap＋aq(m＝p＋q)．2．等差數(shù)列列的通項公公式的變形形an＝am＋(n－m)d，易錯記為為an＝am＋(n－1)d.3．在某個數(shù)數(shù)列中，算算項數(shù)時易易算錯，如如a1，a2，a3，…an中，從a3到a10應(yīng)有8項，易錯算算成10－3＝7項．．考向瞭望·把脈高考考情分析從近近幾幾年年的的江江蘇蘇高高考考試試題題來來看看，，等等差差數(shù)數(shù)列列的的判判定定，，等等差差數(shù)數(shù)列列的的通通項項公公式式、、前前n項和和公公式式以以及及與與前前n項和和有有關(guān)關(guān)的的最最值值問問題題等等是是高高考考的的熱熱點點，，題題型型既既有有填填空空題題又又有有解解答答題題，，難難度度中中等等偏偏高高；；客客觀觀題題突突出出“小而而巧巧”，主主要要考考查查性性質(zhì)質(zhì)的的靈靈活活運運用用及及對對概概念念的的理理解解，，主主觀觀題題考考查查較較為為全全面面，，在在考考查查基基本本運運算算、、基基本本概概念念的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)上上，，又又注注重重考考查查函函數(shù)數(shù)方方程程、、等等價價轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化、、分分類類討討論論等等思思想想方方法法．．預(yù)測測2012年江江蘇蘇高高考考在在本本部部分分內(nèi)內(nèi)容容仍仍將將以以等等差差數(shù)數(shù)列列的的定定義義、、通通項項公公式式和和前前n項和和公公式式為為主主要要考考點點，，重重點點考考查查運運算算能能力力與與邏邏輯輯推推理理能能力力．．規(guī)范解答例【名師師點點評評】本題題以以等等差差數(shù)數(shù)列列為為知知識識背背景景，，結(jié)結(jié)合合不不等等式式及及推推理理證證明明等等知知識識，，是是一一道道較較為為綜綜合合的的數(shù)數(shù)列列題題，，有有一一定定的的難難度度，，第第(1)問注重重了運運算能能力，，為數(shù)數(shù)列基基礎(chǔ)知知識的的考查查，而而第(2)問的推推理論論證使使思維維能力力的考考查有有了較較高的的要求求，要要求對對不等等式的的知識識要熟熟練，，并且且能在在不同同的知知識背背景中中找到到解決決問題題的著著力點點，從從而解解決問問題．．從本本題的的設(shè)計計，也也提醒醒同學(xué)學(xué)們在在學(xué)習(xí)習(xí)中注注意數(shù)數(shù)列不不等式式推理理論證證方面面的綜綜合應(yīng)應(yīng)用．．名