2023年高考數(shù)學(xué)壓軸題圓錐曲線專(zhuān)題第10講：斜率問(wèn)題二（解析版）第十講：斜率問(wèn)題（二）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】基礎(chǔ)目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，三角形，四邊形面積的推導(dǎo)過(guò)程；應(yīng)用目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的性質(zhì)，注重設(shè)直線的方程，并聯(lián)立方程組解決問(wèn)題；拓展目標(biāo)：能夠熟練應(yīng)用題干信息，將文字翻譯成式子求解斜率.素養(yǎng)目標(biāo)：通過(guò)數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨(dú)立思考和邏輯分析能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).【基礎(chǔ)知識(shí)】1、弦長(zhǎng)公式若在直線上，代入化簡(jiǎn)，得;2、過(guò)定點(diǎn)的直線方程（1）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，；（2）當(dāng)直線斜率不為零時(shí)，，當(dāng)直線斜率為零時(shí)，；3、當(dāng)時(shí)，線段的中垂線：【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：求斜率1（直線方程）例1．已知橢圓：，直線經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)與其交于點(diǎn)，.（1）求橢圓的方程和離心率；（2）已知點(diǎn)，，直線，與直線分別交于點(diǎn)，，若，求直線的方程.

變式訓(xùn)練1：已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，且，求的值．變式訓(xùn)練:2：已知橢圓過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若直線過(guò)的右焦點(diǎn)交于兩點(diǎn)，，求直線的方程．

變式訓(xùn)練3：過(guò)平面上點(diǎn)作直線，的平行線分別交軸于點(diǎn)，且.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程.考點(diǎn)二：求斜率2（直線方程）例1．已知橢圓的離心率為，依次連結(jié)的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為.（1）求的方程；（2）設(shè)的左，右焦點(diǎn)分別為，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，且，求的斜率.

變式訓(xùn)練1：已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)為，離心率為.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)過(guò)作斜率為的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于兩點(diǎn)，若，求的值.變式訓(xùn)練2：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)F（0，）的距離與它到直線的距離相等．(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P（，－1）作C的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，求直線AB的方程．

變式訓(xùn)練3：動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小，記M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)已知圓，設(shè)P，A，B是C上不同的三點(diǎn)，若直線PA，PB均與圓D相切，若P的縱坐標(biāo)為，求直線AB的方程.考點(diǎn)三：求斜率3（中垂線）例1．已知橢圓（）的離心率為，短軸長(zhǎng)為2，直線與橢圓交于兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得點(diǎn)在線段的中垂線上？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

變式訓(xùn)練1：已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在過(guò)點(diǎn)且與軸不垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，使得點(diǎn)在線段的中垂線上？若存在，求出直線；若不存在，說(shuō)明理曲.變式訓(xùn)練2：已知雙曲線：（，）過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線：有相同的漸近線．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線：與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且線段的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，求直線的方程．

變式訓(xùn)練2：已知雙曲線（）的一個(gè)焦點(diǎn)是，離心率.(1)求雙曲線的方程；(2)若斜率為的直線與雙曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程．變式訓(xùn)練3：已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，．橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距比為，過(guò)的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)．(1)當(dāng)l的斜率為1時(shí)，求的面積；(2)當(dāng)線段AB的垂直平分線在y軸上的截距最小時(shí)，求直線l的方程．

【當(dāng)堂小結(jié)】1、知識(shí)清單：（1）橢圓，雙曲線，拋物線弦長(zhǎng)和面積；（2）垂直平分線；（3）平分垂直的應(yīng)用和證明；2、易錯(cuò)點(diǎn)：弦長(zhǎng)公式的計(jì)算，垂直平分線的表示；3、考查方法：數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；4、核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象.【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1．已知拋物線，其通徑為4．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)拋物線焦點(diǎn)F作直線l，使得直線l與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足弦長(zhǎng)，求直線l的斜率．

2．橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與圓相切，與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．3．已知橢圓：的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)時(shí)，求k的值．

4．已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，求直線的斜率.5．已知橢圓的離心率為，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線分別交橢圓于，兩點(diǎn)，證明：.

6．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)為，離心率為.(1)求雙曲線C的漸近線方程；(2)過(guò)作斜率為k的直線l分別交雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，若，求k的值.7．在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)在原點(diǎn)、以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)已知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于點(diǎn)．若，求直線的方程．

8．已知橢圓的離心率為在橢圓C上，且異于點(diǎn)A．（1）求橢圓C的方程；（2）若，求直線的方程．第十講：斜率問(wèn)題（二）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】基礎(chǔ)目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，三角形，四邊形面積的推導(dǎo)過(guò)程；應(yīng)用目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的性質(zhì)，注重設(shè)直線的方程，并聯(lián)立方程組解決問(wèn)題；拓展目標(biāo)：能夠熟練應(yīng)用題干信息，將文字翻譯成式子求解斜率.素養(yǎng)目標(biāo)：通過(guò)數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨(dú)立思考和邏輯分析能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).【基礎(chǔ)知識(shí)】1、弦長(zhǎng)公式若在直線上，代入化簡(jiǎn)，得;2、過(guò)定點(diǎn)的直線方程（1）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，；（2）當(dāng)直線斜率不為零時(shí)，，當(dāng)直線斜率為零時(shí)，；3、當(dāng)時(shí)，線段的中垂線：【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：求斜率1（直線方程）例1．已知橢圓：，直線經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)與其交于點(diǎn)，.（1）求橢圓的方程和離心率；（2）已知點(diǎn)，，直線，與直線分別交于點(diǎn)，，若，求直線的方程.【答案】（1），；（2）或.解析：（1）由題設(shè)得，又，所以，所以橢圓的方程為，所以橢圓的離心率為.（2）依題意，設(shè)，.當(dāng)直線無(wú)斜率時(shí)，方程為，所以，由平面幾何知識(shí)可以得到，，不合題意，當(dāng)直線有斜率時(shí)，設(shè)，由得，則，，直線的方程為，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，，解得或，所求直線的方程為或.變式訓(xùn)練1：已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，且，求的值．【答案】(1)；(2)解析：（1）由離心率，則，又上頂點(diǎn)，知，又，可知，，∴橢圓E的方程為；（2）設(shè)直線l：，設(shè)，，則，整理得：，，即，∴，，∴，即，解得：或（舍去）∴變式訓(xùn)練:2：已知橢圓過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若直線過(guò)的右焦點(diǎn)交于兩點(diǎn)，，求直線的方程．【答案】（1）；（2）.解析：（1）由題意可得，∴橢圓的方程為．（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由橢圓的方程可知：橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，所以直線方程為：，代入橢圓方程中，得，不妨設(shè)，，不合題意；②設(shè)直線，由得：，，即解得，∴直線的方程為．變式訓(xùn)練3：過(guò)平面上點(diǎn)作直線，的平行線分別交軸于點(diǎn)，且.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.解析：（1）設(shè)，顯然不為原點(diǎn)，由題設(shè)，令，得再由，令，得又，即化簡(jiǎn)整理得：所以點(diǎn)的軌跡方程（2）由題設(shè)知直線的斜率顯然存在，故設(shè)其方程為，，則，從而又所以故直線的方程為.考點(diǎn)二：求斜率2（直線方程）例1．已知橢圓的離心率為，依次連結(jié)的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為.（1）求的方程；（2）設(shè)的左，右焦點(diǎn)分別為，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，且，求的斜率.【答案】（1）；（2）或.解析：（1）依題意可得：解得，，所以橢圓的方程為.（2）由題可知：直線的斜率存在且不為零，故設(shè)直線的方程為，設(shè)，，由（1）可知：，，則，，因?yàn)?，所以，，，化?jiǎn)得，所以，，得.聯(lián)立消去得，，由得，，，則，解得或，故的斜率為或.變式訓(xùn)練1：已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)為，離心率為.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)過(guò)作斜率為的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于兩點(diǎn)，若，求的值.【答案】(1)；(2)解析：(1)設(shè)，則，又，所以，得，所以雙曲線的漸近線方程為.(2)由已知直線的傾斜角不是直角，，設(shè)，則的中點(diǎn)為，，由，可知，所以，即，因?yàn)榈姆匠虨?，雙曲線的漸近線方程可寫(xiě)為，由消去y，得，所以，，所以，因?yàn)?，所以，?變式訓(xùn)練2：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)F（0，）的距離與它到直線的距離相等．(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P（，－1）作C的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，求直線AB的方程．【答案】(1)；(2)解析：(1)設(shè)M（x，y），則解得．所以該拋物線的方程為．(2)［方法一］：依題意，切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，得，令，得或．從而或，解得或，所以切點(diǎn)A（－1，），B（2，2），直線AB的斜率為，所以直線AB的方程為，整理得．．［方法二］：由可得，所以，設(shè)切點(diǎn)為（），則切線的斜率，又切線過(guò)點(diǎn)P（，－1），所以，整理得，解得或，所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為A（－1，），B（2，2），所以直線AB的斜率為，所以直線AB的方程為，整理得．變式訓(xùn)練3：動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小，記M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)已知圓，設(shè)P，A，B是C上不同的三點(diǎn)，若直線PA，PB均與圓D相切，若P的縱坐標(biāo)為，求直線AB的方程.【答案】(1):；(2)解析：(1)由題意得動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，所以曲線C是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線.設(shè)，則，于是C的方程為.(2)由（1）可知，設(shè)，PA的兩點(diǎn)式方程為.由，，可得.因?yàn)镻A與D相切，所以，整理得.因?yàn)?，可?設(shè)，同理可得.于是直線AB的方程為.考點(diǎn)三：求斜率3（中垂線）例1．已知橢圓（）的離心率為，短軸長(zhǎng)為2，直線與橢圓交于兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得點(diǎn)在線段的中垂線上？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)存在，解析：(1)依題意有解得，.∴橢圓的方程為.(2)假設(shè)在線段的中垂線上，聯(lián)立消去y得.設(shè)，，則，.∴.∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為.∴，∴，即，解得.∴存在時(shí)，點(diǎn)在線段的中垂線上.變式訓(xùn)練1：已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在過(guò)點(diǎn)且與軸不垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，使得點(diǎn)在線段的中垂線上？若存在，求出直線；若不存在，說(shuō)明理曲.【答案】(1)；(2)存在，解析：(1)由題意可得，，，解得，，所以橢圓的方程為．(2)由（1）得，假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的直線：，代入橢圓方程整理可得，設(shè)，，則，，可得，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，解得：，所以存在直線，且直線的方程為．變式訓(xùn)練2：已知雙曲線：（，）過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線：有相同的漸近線．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線：與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且線段的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，求直線的方程．【答案】(1)；(2)解析：(1)雙曲線的漸近線方程為，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，所以，故雙曲線的方程為；(2)設(shè)，，聯(lián)立方程組，得，則，，，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為．由得，且．因?yàn)榫€段的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，所以，可得或（舍去），故直線的方程為．變式訓(xùn)練2：已知雙曲線（）的一個(gè)焦點(diǎn)是，離心率.(1)求雙曲線的方程；(2)若斜率為的直線與雙曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程．【答案】(1)；(2)解析：(1)由已知得，，所以，，所以所求雙曲線方程為.(2)設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，．聯(lián)立整理得.(*)設(shè)的中點(diǎn)為，則，，所以線段垂直平分線的方程為，即，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，，可得，得，，此時(shí)(*)的判別式，故直線的方程為.變式訓(xùn)練3：已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，．橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距比為，過(guò)的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)．(1)當(dāng)l的斜率為1時(shí)，求的面積；(2)當(dāng)線段AB的垂直平分線在y軸上的截距最小時(shí)，求直線l的方程．【答案】(1)12；(2)解析：（1）依題意，因，又，得，∴橢圓C的方程為，設(shè)、，當(dāng)時(shí)，直線l：，將直線與橢圓方程聯(lián)立，消去x得，，解得，，，∴．（2）設(shè)直線l的斜率為k，由題意可知，直線方程為，由，消去y得，恒成立，，設(shè)線段AB的中點(diǎn)，則，，設(shè)線段AB的垂直平分線與y軸的交點(diǎn)為，則，得，整理得：，，等號(hào)成立時(shí)．故當(dāng)截距m最小為時(shí)，，此時(shí)直線l的方程為．【當(dāng)堂小結(jié)】1、知識(shí)清單：（1）橢圓，雙曲線，拋物線弦長(zhǎng)和面積；（2）垂直平分線；（3）平分垂直的應(yīng)用和證明；2、易錯(cuò)點(diǎn)：弦長(zhǎng)公式的計(jì)算，垂直平分線的表示；3、考查方法：數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；4、核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象.【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1．已知拋物線，其通徑為4．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)拋物線焦點(diǎn)F作直線l，使得直線l與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足弦長(zhǎng)，求直線l的斜率．【答案】(1)；(2)解析：(1)由題意知：拋物線通徑為，即，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)由（1）知：拋物線焦點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，顯然不滿(mǎn)足，②當(dāng)時(shí)，設(shè)直線l方程為，聯(lián)立，得，，則，．所以，，即，2．橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與圓相切，與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．【答案】(1)；(2)或解析：（1）由橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，離心率為，可得半焦距且，解得，又由，所以橢圓方程為.（2）由（1）得，圓的方程為，設(shè)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，由直線與曲線相切可得，所以，聯(lián)立方程組，可得，所以，，所以，解得或，所以直線或.3．已知橢圓：的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)時(shí)，求k的值．【答案】(1)；(2)解析：（1）依題意可得，，又，所以，所以橢圓方程為；（2）依題意過(guò)點(diǎn)的直線為，設(shè)、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得4．已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，求直線的斜率.【答案】（1）；（2）.解析：由題意知離心率滿(mǎn)足，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由得，所以直線的方程為，與軸的交點(diǎn)為.由，得而，因此.當(dāng)與軸垂直時(shí)，不合題意.當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)其方程為，聯(lián)立方程得，消去可得，設(shè)，則由得，所以顯然不為兩式相除得所以解得.5．已知橢圓的離心率為，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線分別交橢圓于，兩點(diǎn)，證明：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.解析：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，，，即，又因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以，解得橢圓的方程為.（2）證明：設(shè)直線的方程為.因?yàn)橹本€與直線的傾斜角互補(bǔ)，所以直線的方程可設(shè)為.聯(lián)立得.設(shè)