第一章單自由度系統(tǒng)的自由振動

單自由度系統(tǒng) 最簡單、最基本的振動系統(tǒng) 線性系統(tǒng)：動力學(xué)方程為常系數(shù)線性微分方程非線性系統(tǒng):動力學(xué)方程為非線性微分方程自由振動 自由振動是指系統(tǒng)受初始擾動后，僅靠系統(tǒng)自身恢復(fù)力維持的振動。無阻尼自由振動有阻尼自由振動或ch1單自由度系統(tǒng)的自由振動—討論的內(nèi)容單自由度系統(tǒng)自由振動的運(yùn)動方程單自由度系統(tǒng)自由振動運(yùn)動方程的解 解的一般形式自由振動的頻率 影響自由振動參數(shù)的因素單自由度系統(tǒng)自由振動的運(yùn)動規(guī)律對初始條件的響應(yīng)求解無阻尼單度系統(tǒng)自由振動問題的能量法

無阻尼系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，其機(jī)械能守恒，即動能T與勢能V之和保持不變。 動能為零時(shí)勢能達(dá)到最大值。將動能取最大值時(shí)的勢能取作零，則有

簡諧振動及其表示方法三角函數(shù)表示法旋轉(zhuǎn)矢量表示法旋轉(zhuǎn)矢量投影法

復(fù)數(shù)表示法三角函數(shù)表示法物體作簡諧振動時(shí)，其位移可表示為諧波函數(shù)

或周期：振動一次所需的時(shí)間T,單位：秒（s

）角頻率（圓頻率）ω:振動矢量每秒轉(zhuǎn)過的角度（弧度），單位:弧度／秒（rad/s）

頻率：每秒振動的次數(shù)f，單位：赫茲（Hz）（s-1）三角函數(shù)表示法（續(xù)）簡諧振動的速度

簡諧振動的加速度

作簡諧振動的線性系統(tǒng)，其位移、速度、加速度均為同頻率簡諧函數(shù)；

相位角：速度超前位移π/2

；加速度超前位移π，超前速度π/2

簡諧振動的三要素：頻率、振幅、初始相位

旋轉(zhuǎn)矢量表示法—旋轉(zhuǎn)矢量投影法

長度為A的矢量以勻角速度ω在平面上繞定點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，該矢量在直角坐標(biāo)軸上的投影均可表示簡諧運(yùn)動。

頻率：ω； 幅值：A； 初始相位：t=0時(shí)矢量與坐標(biāo)軸的夾角。

1．兩個（或兩個以上）同頻率簡諧振動的合成。2．直觀表示簡諧振動位移．速度．及加速度之間的相對關(guān)系。

OxyAφω旋轉(zhuǎn)矢量表示法—旋轉(zhuǎn)矢量投影法

1．兩個（或兩個以上）同頻率簡諧振動的合成。2．直觀表示簡諧振動位移．速度．及加速度之間的相對關(guān)系。OxyAφωωAωA2復(fù)數(shù)表示法

長度為A的矢量以勻角速度ω在復(fù)平面上繞定點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，該矢量在實(shí)軸及虛軸上的投影與矢量端點(diǎn)處復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部相對應(yīng)。復(fù)數(shù)z的實(shí)部及虛部均可表示簡諧運(yùn)動。

特點(diǎn)：利用復(fù)數(shù)（求導(dǎo)）運(yùn)算的特點(diǎn)可方便地表示速度和加速度。

無阻尼自由振動

單自由度系統(tǒng)自由振動方程單自由度系統(tǒng)自由振動方程的解無阻尼自由振動是以平衡位置為中心的簡諧振動

振動角頻率ω0是系統(tǒng)的固有特性，與初始條件無關(guān)固有頻率及固有周期說明什么？固有頻率ω0稱作無阻尼系統(tǒng)的固有（角）頻率，單位為

rad/s固有頻率及固有周期固有頻率和周期與初始條件無關(guān)，表現(xiàn)出線性系統(tǒng)自由振動的等時(shí)性。

質(zhì)量愈大，彈簧愈軟，則固有頻率愈低，周期愈長；反之，質(zhì)量愈小，彈簧愈硬，則固有頻率愈高，周期愈短。

單自由度系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)初始條件對初始條件的響應(yīng)能量法保守系統(tǒng) 無阻尼系統(tǒng)在自由振動中任一時(shí)刻的機(jī)械能保持常值—機(jī)械能守恒計(jì)算單自由度保守系統(tǒng)固有頻率的能量法

保守系統(tǒng)振動中動能與勢能之和為常數(shù)動能為零時(shí)勢能達(dá)到最大值，將動能取最大值（平衡位置）時(shí)的勢能取作零，則有

能量法（續(xù)1）無阻尼單度系統(tǒng)系統(tǒng)動能系統(tǒng)最大動能系統(tǒng)勢能系統(tǒng)最大勢能能量守恒→能量法（續(xù)2）瑞利法—計(jì)算固有頻率的近似計(jì)算方法（計(jì)算系統(tǒng)的最低固有頻率）先對具有分布質(zhì)量的彈性元件假定一種振動形式

（假設(shè)振型：通常按靜變形曲線假設(shè)）根據(jù)無阻尼自由振動的簡諧規(guī)律計(jì)算系統(tǒng)動能和勢能寫為標(biāo)準(zhǔn)形式利用得到系統(tǒng)的（最低階）固有頻率ω0能量法（等效參數(shù)法）所有單自由度黏性阻尼系統(tǒng)都可簡化為質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)選取x為廣義坐標(biāo)線性系統(tǒng)的動能可表示為線性系統(tǒng)的勢能可表示為任意兩個位置x1和x2間由粘性阻尼力所作的功可表示為系統(tǒng)的固有頻率能量法練習(xí)題扭轉(zhuǎn)振動用角位移作為獨(dú)立座標(biāo)來表達(dá)振動狀態(tài)的角振動問題

轉(zhuǎn)動方程式

式中J是轉(zhuǎn)動物體對于轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量，M為施加于轉(zhuǎn)動物體上的力矩，它的方向與角位移一致時(shí)為正

扭振運(yùn)動方程及其振動解課堂練習(xí)習(xí)題1.8不計(jì)質(zhì)量的等截面懸臂梁長為L，抗彎剛度為EI，自由端有集中質(zhì)量m1和m2。梁靜止時(shí)突然釋放質(zhì)量m1。試求m2的自由振動。課堂練習(xí)單度系統(tǒng)無阻尼自由振動練習(xí)題單度系統(tǒng)無阻尼自由振動練習(xí)題參考解答作業(yè)題單自由度系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)振動方程的解為滿足初始條件或自由振動的振幅初相角

單自由度系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)設(shè)在初始時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的位移和速度分別為

代入得〓單自由度系統(tǒng)自由振動方程質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)

由一個可視為質(zhì)點(diǎn)的物體和彈簧組成。設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，彈簧的質(zhì)量不計(jì)，無擾動時(shí)彈簧不變形，質(zhì)點(diǎn)處于平衡狀態(tài)。以平衡位置O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸x，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)因初始擾動而偏離平衡位置時(shí)，彈簧產(chǎn)生與位移x成正比，方向與位移相反的恢復(fù)力F=-kx作用于質(zhì)點(diǎn)，比例系數(shù)k稱作彈簧的剛度系數(shù)，單位為N/m。單自由度系統(tǒng)自由振動方程(廣義)坐標(biāo)選取x坐標(biāo)原點(diǎn)：靜平衡位置

根據(jù)牛頓定律列寫質(zhì)點(diǎn)的自由振動方程

引入?yún)?shù)單自由度系統(tǒng)自由振動方程標(biāo)準(zhǔn)形式〓單自由度系統(tǒng)自由振動方程的解運(yùn)動微分方程令代入上面方程

本征方程（特征方程）

相應(yīng)的本征值

線性無關(guān)特解

方程的通解為

單自由度系統(tǒng)自由振動方程的解（續(xù)）歐拉公式單自由度系統(tǒng)自由振動方程的通解為

其中C1、C2（或A、θ）為待定常數(shù)，由初始條件決定。

〓或等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動例1.1-2以質(zhì)量塊m的水平位移為坐標(biāo)，試計(jì)算彈簧的等效質(zhì)量。假定彈簧的變形與離固定點(diǎn)的距離ξ成正比，彈簧端點(diǎn)的位移為x。微元長度dξ的質(zhì)量彈簧距端點(diǎn)ξ截面的變形（位移）彈簧距端點(diǎn)ξ截面的速度解設(shè)彈簧的長度為l，單位長度的質(zhì)量為ρl，微元長度dξ的動能等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動微元長度dξ的動能將微元長度dξ的動能在整個彈簧范圍內(nèi)積分，計(jì)算彈簧的動能T1為彈簧質(zhì)量令彈簧質(zhì)量的1/3為彈簧的等效質(zhì)量，則考慮彈簧質(zhì)量的系統(tǒng)總動能為

彈簧的勢能與彈簧質(zhì)量無關(guān)仍利用能量守恒公式導(dǎo)出考慮彈簧質(zhì)量的系統(tǒng)固有頻率為等效參數(shù)法法求解單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動例1.1-3以梁端橫向位移為坐標(biāo)，試計(jì)算懸臂梁的等效質(zhì)量

解設(shè)懸臂梁的長度為l

，單位長度的質(zhì)量為ρl

，抗彎剛度為EI其中E和I分別為梁的彈性模量和截面二次矩。自由端集中質(zhì)量m相對平衡位置的位移為x。利用材料力學(xué)知識，當(dāng)自由端有靜撓度x時(shí)，距固定端距離為ξ的截面處的靜撓度為將梁的靜撓度曲線作為近似振型，計(jì)算梁的動能T1為梁的質(zhì)量梁質(zhì)量的33/140為梁的等效質(zhì)量。系統(tǒng)的固有頻率為剛度系數(shù)為懸臂梁端點(diǎn)的抗彎剛度等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動例1.1-4試計(jì)算串聯(lián)和并聯(lián)彈簧的等效剛度。

解討論彈簧剛度為k1，k2

的串聯(lián)彈簧。設(shè)A點(diǎn)的位移x，兩彈簧的伸長分別為x1和x2，則有

根據(jù)B點(diǎn)的靜力平衡條件列出可以解出彈性勢能為串聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動對于并聯(lián)彈簧，兩彈簧的伸長均等于A點(diǎn)的位移x

并聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)為如果A點(diǎn)處固定物體m，則動能為

不計(jì)彈簧的質(zhì)量時(shí)，系統(tǒng)的固有頻率為等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動圖示系統(tǒng)為一內(nèi)燃機(jī)排氣閥系統(tǒng)簡圖。已知搖桿AB對支點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動慣量為I0，氣閥BC的質(zhì)量為Mv，閥簧質(zhì)量為Ms，計(jì)算時(shí)可近似地將ms/3集中于B點(diǎn)，挺桿AD的質(zhì)量為mt，求此系統(tǒng)簡化到閥門C點(diǎn)的等效質(zhì)量。等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動內(nèi)燃機(jī)排氣閥系統(tǒng)等效質(zhì)量廣義坐標(biāo)：閥門C點(diǎn)的垂直位移xc系統(tǒng)動能：將系統(tǒng)動能表示為廣義坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)的二次函數(shù)等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動內(nèi)燃機(jī)排氣閥系統(tǒng)等效質(zhì)量廣義坐標(biāo)：閥門C點(diǎn)的垂直位移xc系統(tǒng)動能：此系統(tǒng)簡化到閥門C點(diǎn)的等效質(zhì)量如果閥簧剛度系數(shù)為k此系統(tǒng)簡化到閥門C點(diǎn)的等效剛度為k此系統(tǒng)的固有頻率扭轉(zhuǎn)振動討論需要用角位移作為獨(dú)立座標(biāo)來表達(dá)振動狀態(tài)的角振動問題。在這種情況下，運(yùn)用牛頓運(yùn)動定律得到轉(zhuǎn)動方程式

式中J是轉(zhuǎn)動物體對于轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量，是角加速度，M為施加于轉(zhuǎn)動物體上的力矩，它的方向與角位移一致時(shí)為正。

以扭轉(zhuǎn)振動和復(fù)擺兩種情況為例扭轉(zhuǎn)振動

如圖所示的一根垂直軸，下端固定著一個水平圓盤，圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為J。軸的扭轉(zhuǎn)剛度為K。其含義是使軸轉(zhuǎn)動一單位轉(zhuǎn)角所需施加的力矩，單位是N·m/rad。對于一根長度為，直徑為d的圓軸，根據(jù)材料力學(xué)，它的扭轉(zhuǎn)剛度為

G為材料的剪切彈性模量。軸本身質(zhì)量忽略不計(jì)。

當(dāng)系統(tǒng)受到某種干擾，如在圓盤平面上加一力偶，然后突然除去，系統(tǒng)便作扭轉(zhuǎn)自由振動。如果沒有阻尼，振動將永遠(yuǎn)繼續(xù)下去。設(shè)為圓盤上任一半徑從它的靜平衡位置量起的角位移，按圖示方向?yàn)檎Ｕ駝訒r(shí)圓盤上受到一個由圓軸作用的、與方向相反的彈性恢復(fù)力矩

扭轉(zhuǎn)振動扭轉(zhuǎn)振動得系統(tǒng)扭振的微分方程或式中與彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程相比較具有完全相似的微分方程式，可以直接寫出其通解

式中A與同樣是兩個待定常數(shù)，決定于扭轉(zhuǎn)振動的初始條件：

一個單自由度系統(tǒng)的扭振也是簡諧振動。它的固有頻率為扭轉(zhuǎn)振動復(fù)擺

一個剛體由于本身重力作用而繞某一軸作微擺動，稱為復(fù)擺（或稱物理擺）。轉(zhuǎn)動軸稱為擺的懸掛軸（或稱懸點(diǎn)）。設(shè)剛體質(zhì)量為m，對懸點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動慣量為I0，重心C至懸點(diǎn)O距離為a。

以表示擺在任意瞬時(shí)偏離垂直平衡位置的角位移，此時(shí)重心C作圓弧運(yùn)動，重力的切向分