第二章

最佳平方逼近---另一種函數(shù)逼近問題最佳平方逼近問題的提法：它是度量函數(shù)的大小和函數(shù)之間逼近程度的一種度量，稱為平方尺度在平方度量下，通過極小化過程找出一個廣義多項(xiàng)式，使平方誤差達(dá)到最小。解最佳平方逼近問題：1）如何選取廣義多項(xiàng)式空間？2）廣義多項(xiàng)式是否存在？是否唯一？3）如何求得廣義多項(xiàng)式？2.1.

正交多項(xiàng)式及其性質(zhì)定義1.1.常見的權(quán)函數(shù)：3)2)1)4)5)定義1.2.內(nèi)積的性質(zhì)：（對稱性）（雙線性性質(zhì)）（正定性）（Cauchy-Schwarz

柯西-施瓦茲不等式）連續(xù)函數(shù)空間內(nèi)積空間的重要結(jié)論在連續(xù)意義下的內(nèi)積連續(xù)函數(shù)空間：所有定義在[a,b]上的連續(xù)函數(shù)集合，按照函數(shù)的加法和乘法構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間，記作C[a,b].由內(nèi)積誘導(dǎo)出范數(shù)定義1.3.一個實(shí)函數(shù)稱為一個函數(shù)空間的范數(shù)，如果它在空間上處處有定義，并滿足如下條件：（正定性）（齊次性）（三角不等式）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)的最常用的范數(shù)有：定義1.4.定義1.5.特別地，在連續(xù)意義下的正交可以證明：正交函數(shù)系必是線性無關(guān)的函數(shù)系.？Gram-Schimidt（格拉姆-施密特）正交化方法：例如：三角函數(shù)系：是上帶權(quán)的正交函數(shù)系.例如：冪函數(shù)系：一族線性無關(guān)的函數(shù)列。問題：如何由得到一組正交函數(shù)列。正交多項(xiàng)式構(gòu)造問題類似地，定理.定理.說明：線性無關(guān)函數(shù)系給定后，正交函數(shù)系由區(qū)間和權(quán)函數(shù)唯一確定！推論1.提示：只需利用正交性，確定出系數(shù)即可。正交多項(xiàng)式的性質(zhì)：性質(zhì)1.性質(zhì)1'.推論2.提示：性質(zhì)2.證明：注意到，當(dāng)時，有。當(dāng)時，有。于是，再確定，得證。性質(zhì)3.證明：留作課后練習(xí)！幾種常用的正交多項(xiàng)式1勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式1814年Rodriguer(羅德里克斯,法國人)給出了它的一般表達(dá)式：1785年，Legendre引進(jìn).勒讓德多項(xiàng)式性質(zhì)性質(zhì)1.證明：1)

它是個2m次多項(xiàng)式.2)-1和1是它的m重零點(diǎn).若取，有分部積分于是，有性質(zhì)2.故Ln(x)的首系數(shù)為性質(zhì)3.這說明：

n為奇數(shù)時,Pn(x)為奇函數(shù);n為偶數(shù)時,Pn(x)為偶函數(shù);

利用得

當(dāng)n

為偶時，xn2j

均是偶函數(shù),故Ln(x)為偶函數(shù)。同理,可證明奇數(shù)情況。性質(zhì)4.L3P2P1P0用定義容易檢驗(yàn)使用遞推公式得性質(zhì)5.2切比雪夫(Chebyshev)多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式性質(zhì)性質(zhì)1.提示：性質(zhì)2.引理當(dāng)n1時，有下面的三解恒等式其中，aj(n)

為常數(shù)。引理的證明

用數(shù)學(xué)歸納法證明之。當(dāng)n

1時，原式成立顯然。假設(shè)n

m時，原式成立，當(dāng)n

m1

時，Cos(nθ)可以展開成cosθ的n次乘冪的有窮級數(shù)！用歸納假設(shè)，有最后，由歸納假設(shè)原理，知原式對n1均成立。按cos的冪合并同類項(xiàng)。性質(zhì)3.性質(zhì)4.這說明：

n為奇數(shù)時,Tn(x)為奇函數(shù);n為偶數(shù)時,Tn(x)為偶函數(shù);由遞推關(guān)系,可有T0T1T2T3Chebyshev多項(xiàng)式T4,T5,T6T4T5T6第4,5,6個Chebyshev多項(xiàng)式圖形性質(zhì)5.其他常用的正交多項(xiàng)式1拉蓋爾(Laguerre)多項(xiàng)式拉蓋爾多項(xiàng)式性質(zhì)性質(zhì)1