第1章解直角三角形一、選擇題(每小題5分,共30分)1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,BC=3,則∠A的余弦值是 ()A.35 B.34 C.45 2.某水壩的坡比為1∶3,坡長(zhǎng)為20米,則該水壩的高度為 ()A.10米 B.20米 C.40米 D.203米3.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+sinα=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則銳角α等于 ()A.15° B.30° C.45° D.60°4.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分別是∠A,∠B,∠C的對(duì)邊,則下列等式中正確的是 ()A.cosA=ac B.sinB=C.tanB=ab D.5.如圖1,在4×4的正方形網(wǎng)格中,小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,則圖中∠ABC的余弦值是 ()圖1A.2 B.255 C.12 6.如圖2,某校教學(xué)樓AB與CD的水平間距BD=am,在教學(xué)樓CD的頂部C點(diǎn)測(cè)得教學(xué)樓AB的頂部A點(diǎn)的仰角為α,測(cè)得教學(xué)樓AB的底部B點(diǎn)的俯角為β,則教學(xué)樓AB的高度是()圖2A.(atanα+atanβ)m B.atanα+atanC.(asinα+asinβ)m D.(acosα+acosβ)m二、填空題(每小題5分,共25分)7.計(jì)算:(-2)2-2sin30°=.

8.在△ABC中,如果銳角∠A,∠B滿足|tanA-1|+cosB-122=0,那么∠C=°.

9.在△ABC中,∠C=90°,tanA=43,則sinA+cosA=10.如圖3所示,AB是☉O的弦,半徑OA=2,sinA=23,則弦AB的長(zhǎng)為圖311.如圖4,由四個(gè)全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169,小正方形的面積為49,則sinα-cosα=.

圖4三、解答題(共45分)12.(10分)如圖5,在△ABC中,AD是BC邊上的高,BC=4,AD=12,sinB=45求:(1)線段CD的長(zhǎng);(2)sin∠BAC的值.圖513.(11分)如圖6,在平面直角坐標(biāo)系中,過格點(diǎn)A,B,C作一圓弧.(1)直接寫出該圓弧所在圓的圓心D的坐標(biāo);(2)求AC的長(zhǎng)(結(jié)果保留π);(3)連結(jié)AC,BC,則sinC=.

圖614.(12分)地下停車場(chǎng)的設(shè)計(jì)大大緩解了住宅小區(qū)停車難的問題,如圖7是某小區(qū)的地下停車庫(kù)坡道入口的設(shè)計(jì)示意圖,其中,AB⊥BD,∠BAD=18°,點(diǎn)C在BD上,BC=0.5m.根據(jù)規(guī)定,地下停車庫(kù)坡道入口上方要張貼限高標(biāo)志,以便告知駕駛員所駕車輛能否安全駛?cè)?小剛認(rèn)為CD的長(zhǎng)就是所限制的高度,而小亮認(rèn)為應(yīng)該以CE的長(zhǎng)作為限制的高度.小剛和小亮誰(shuí)說得對(duì)?請(qǐng)你判斷并計(jì)算出正確的限制高度.(結(jié)果精確到0.01m,參考數(shù)據(jù):sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.325)圖715.(12分)如圖8,已知一次函數(shù)y=k1x+b與反比例函數(shù)y=k2x的圖象相交于第一象限內(nèi)的P12,8,Q(4,m)兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)(1)分別求出這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;(2)求點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo);(3)求∠P'AO的正弦值.圖8

答案1.C[解析]在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AB=5,BC=3,∴AC=4,∴cosA=ACAB=45.故選2.A[解析]如圖,∵坡比為1∶3,∴設(shè)AC=x米,BC=3x米.根據(jù)勾股定理,得AC2+BC2=AB2,即x2+(3x)2=202,解得x=10(負(fù)值已舍去).故選A.3.B[解析]由題意得b2-4ac=2-4sinα=0,解得sinα=12,∴α=30°4.D5.D[解析]設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1.由圖可知,AC2=22+42=20,BC2=12+22=5,AB2=32+42=25.∵AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,∴cos∠ABC=BCAB=56.A[解析]過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E,則CE=BD=a,在Rt△BEC中,∵∠BCE=β,∴BE=atanβ.在Rt△AEC中,∵∠ACE=α,∴AE=atanα,故教學(xué)樓AB的高度是(atanα+atanβ)m.7.3[解析]原式=4-2×12=38.759.710.435[解析]過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C,則AC=BC=12AB.在Rt△AOC中,OC=OA·sinA=2×23∴AC=OA2-OC2=22-(∴AB=2AC=2×235=4311.-713[解析]根據(jù)大正方形的面積為169得到直角三角形的斜邊長(zhǎng)為13,根據(jù)小正方形的面積為49得直角三角形兩直角邊長(zhǎng)的差為7,易得直角邊長(zhǎng)分別為12和5,∴sinα-cosα=513-121312.解:(1)∵AD是BC邊上的高,∴∠D=90°.在Rt△ABD中,∵sinB=45∴ADAB=4又∵AD=12,∴AB=15,∴BD=AB2-又∵BC=4,∴CD=BD-BC=9-4=5.答:線段CD的長(zhǎng)為5.(2)如圖,過點(diǎn)C作CE⊥AB,垂足為E.∵S△ABC=12BC·AD=12AB·∴12×4×12=12×15·∴CE=165∴sin∠BAC=CEAC=1655答:sin∠BAC的值為166513.解:(1)根據(jù)垂徑定理的推論:弦的垂直平分線必過圓心,可以作弦AB和BC的垂直平分線,交點(diǎn)即為圓心.如圖①所示,則圓心D的坐標(biāo)是(2,0).(2)連結(jié)AD,AC,CD,則由勾股定理可得AD=CD=12+22=5,AC=∴AD2+CD2=AC2,∴△ACD是等腰直角三角形,且∠ADC=90°,則AC的長(zhǎng)是90π·5180(3)55[解析]如圖②,取格點(diǎn)E,連結(jié)BE,AE,則點(diǎn)E,B,C在同一直線上由勾股定理得AE=2,AC=10.由正方形的性質(zhì)和格點(diǎn)的性質(zhì)可知,∠AEC=90°,∴sinC=AEAC=210=14.解:在△ABD中,∠ABD=90°,∠BAD=18°,AB=10m,∵tan∠BAD=BDAB,∴BD=∴CD=BD-BC=10tan18°-0.5≈2.75(m).在△ABD中,∠CDE=90°-∠BAD=72°.在△CDE中,∵CE⊥ED,∴∠DCE=90°-∠CDE=18°.∵cos∠DCE=CECD∴CE=cos∠DCE·CD≈cos18°×2.75≈2.61(m).∵CE<CD,且CE⊥AE,∴小亮說得對(duì),∴正確的限制高度為2.61m.答:小亮說得對(duì),正確的限制高度為2.61m.15.解:(1)∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上,∴把點(diǎn)P12,8代入y=k2x可得k2=∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=4x∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4,1).把P12,8,Q(4,1)分別代入y=k1x+b中,得8=12∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-2x+9.(2)點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)