會(huì)計(jì)學(xué)1彈性力學(xué)本構(gòu)關(guān)系一般情況下，物體的應(yīng)力與應(yīng)變呈某一函數(shù)關(guān)系，可表示為：應(yīng)力與應(yīng)變張量均為六個(gè)獨(dú)立分量。則§4-1物體的彈性性質(zhì)·廣義Hooke定律一.彈性的概念

如果材料呈單值連續(xù)關(guān)系（不一定線性），則稱為柯西（Cauchy）彈性材料（一般意義上的彈性）。第1頁(yè)/共21頁(yè)

受材料在單向拉伸試驗(yàn)時(shí)彈性階段的應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系（胡克定律）的啟發(fā)，

線彈性材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下其應(yīng)力張量與應(yīng)變張量亦呈線性關(guān)系。稱為廣義胡克定律的一般形式

呈線性單值連續(xù)關(guān)系的材料性質(zhì)稱為線彈性。

在柯西彈性的基礎(chǔ)上附加等溫絕熱的外部環(huán)境條件，使有勢(shì)函數(shù)存在，則這種彈性性質(zhì)又稱為超彈性?？梢宰C明線彈性一定是超彈性。二.廣義胡克（Hooke）定律即第2頁(yè)/共21頁(yè)

廣義胡克定律的一般形式最廣泛地描述了材料的線彈性性質(zhì)，但未能描述物體外部環(huán)境條件和內(nèi)部物理特征。其中——稱為彈性常數(shù)，共81個(gè)系數(shù)，因各六個(gè)獨(dú)立，縮減為36個(gè)獨(dú)立的常數(shù)。cmn和cijkl

的下標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系：m、n123456ij、kl112233122331如，c22c2222

，c56c2331矩陣表示形式：——分別稱為應(yīng)力和應(yīng)變列陣——稱為彈性矩陣。其元素cmn為36個(gè)其中張量表示形式：第3頁(yè)/共21頁(yè)§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系如果材料在變形過(guò)程中處于等溫絕熱過(guò)程。根據(jù)熱力學(xué)第一定律和相應(yīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，有勢(shì)，其勢(shì)函數(shù)U0(ij)為物體單位體積的變形能（應(yīng)變能）?！狦reen公式由同理即第4頁(yè)/共21頁(yè)

彈性矩陣為對(duì)稱矩陣，共有21個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)對(duì)

稱廣義胡克定律的上述形式表征的是各向異性材料的本構(gòu)關(guān)系。

如果材料具有彈性對(duì)稱面，則本構(gòu)關(guān)系還可簡(jiǎn)化，使彈性常數(shù)進(jìn)一步縮減。

彈性體中每一點(diǎn)均有一個(gè)對(duì)稱方向，在這些對(duì)稱方向上彈性性質(zhì)相同，即應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不變。稱為彈性對(duì)稱。彈性對(duì)稱

彈性對(duì)稱方向

彈性對(duì)稱方向

彈性對(duì)稱面

彈性主軸

彈性主軸第5頁(yè)/共21頁(yè)一.橫觀各向異性材料

相應(yīng)的對(duì)稱方向和對(duì)稱面稱為彈性對(duì)稱方向和彈性對(duì)稱面。垂直于彈性對(duì)稱面的方向稱為彈性主軸。xyz

彈性對(duì)稱面OP

(x,y,z)P

(x,y,-z)y

設(shè)Oxy平面為材料的彈性對(duì)稱面，z軸為彈性主軸。其中[C]為各向異性的彈性矩陣

現(xiàn)將z軸反向，考察其本構(gòu)關(guān)系xz

僅具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的材料稱為橫觀各向異性材料。

體內(nèi)一點(diǎn)P(x,y,z)的應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)閧

}

和{

}。則第6頁(yè)/共21頁(yè)在新坐標(biāo)下，由于彈性對(duì)稱，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系保持不變但P點(diǎn)坐標(biāo)和應(yīng)力應(yīng)變分量發(fā)生變化由坐標(biāo)變換兩坐標(biāo)系三軸的方向余弦為xyzx100y010x00-1代入上式由比較得第7頁(yè)/共21頁(yè)例如比較[C]和[C]

中的第一行

橫觀各向異性材料，其獨(dú)立的彈性常數(shù)為13個(gè)；正應(yīng)變會(huì)產(chǎn)生切應(yīng)力，切應(yīng)變也會(huì)產(chǎn)生正應(yīng)力

工程上，單斜晶體（如正長(zhǎng)石）可簡(jiǎn)化為橫觀各向異性彈性體。

橫觀各向異性材料的廣義胡克定律可表示為對(duì)

稱第8頁(yè)/共21頁(yè)

將y軸反向，不產(chǎn)生新的結(jié)果。

將x軸反向，仿前分析步驟可得二.正交各向異性材料xyzP

(x,y,z)O

設(shè)三個(gè)彈性對(duì)稱面分別為Oxy、Oyz和Ozx平面，材料沿x、

y、

z三方向彈性性質(zhì)各異。

具有三個(gè)相互垂直彈性對(duì)稱面的材料稱為正交各向異性材料。第9頁(yè)/共21頁(yè)

綜合之，正交各向異性材料的廣義胡克定律可表示為對(duì)

稱

正交各向異性材料，其獨(dú)立的彈性常數(shù)為9個(gè)；正應(yīng)變僅產(chǎn)生正應(yīng)力，切應(yīng)變僅產(chǎn)生切應(yīng)力。

煤、木材、增強(qiáng)纖維復(fù)合材料等可簡(jiǎn)化為正交各向異性彈性體。

工程上一般用三個(gè)彈性模量（Ex、

Ey

、

Ez

），三個(gè)泊松比（Poisson）（xy、

yz、

zx）和三個(gè)切變模量（Gxy、Gyz、Gzx）表示。第10頁(yè)/共21頁(yè)三.橫觀各向同性材料

具有各向同性面，且各各向同性面相互平行（或具有彈性對(duì)稱軸）的物體，稱為橫觀各向同性材料。yzxxyzO

設(shè)體內(nèi)每一點(diǎn)存在一軸（z軸），在與此軸垂直的平面（Oxy）內(nèi)，所有射線方向的彈性性質(zhì)均相同。

稱該平面為各向同性面。

在正交各向異性的基礎(chǔ)上，按相似分析步驟，

設(shè)xy平面繞z軸旋轉(zhuǎn)任意角度，

旋轉(zhuǎn)前后應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不變，比較其彈性常數(shù)可得第11頁(yè)/共21頁(yè)對(duì)

稱

所以，橫觀各向同性材料的廣義胡克定律可表示為

橫觀各向同性材料，其獨(dú)立的彈性常數(shù)為5個(gè)；

地層、層狀巖體、復(fù)合板材等可簡(jiǎn)化為橫觀各向同性彈性材料。

工程上一般用兩個(gè)彈性模量（Exy、

Ez

），兩個(gè)泊松比（xy、

z）和一個(gè)切變模量（G）表示。第12頁(yè)/共21頁(yè)四.各向同性材料

在橫觀各向同性的基礎(chǔ)上，將z軸反向，考察其反向前后的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可得對(duì)

稱

所以，各向同性材料的廣義胡克定律可表示為各向同性材料獨(dú)立的彈性常數(shù)只有2個(gè)第13頁(yè)/共21頁(yè)§4-3各向同性線彈性材料的物理方程一.廣義胡克定律的基本形式

對(duì)于各向同性材料的廣義胡克定律表達(dá)式，展開令則其中張量形式第14頁(yè)/共21頁(yè)（注：

Lamé原文所用符號(hào)為和而非G，也不是泊松比。在工程形式中，Lamé常數(shù)實(shí)際上被定義為切變模量G）

、G稱為拉梅（Lamé）常數(shù)

此即廣義胡克定律的基本形式，該形式數(shù)學(xué)表述簡(jiǎn)練，便于理論推導(dǎo)應(yīng)用，但力學(xué)意義不能一目了然，不便于工程運(yùn)用。二.廣義胡克定律的工程形式

將前六式反解，并令

則

此即廣義胡克定律的工程形式，其中常數(shù)E、G和是廣為熟知的彈性模量、切變模量和泊松比。僅兩個(gè)獨(dú)立。第15頁(yè)/共21頁(yè)張量形式其中由得若用應(yīng)變表示，反解或由基本形式代入即得或第16頁(yè)/共21頁(yè)三.體積胡克定律由即描述了體積應(yīng)力和體積應(yīng)變的關(guān)系令稱為體積彈性模量故稱為體積胡克定律張量形式或第17頁(yè)/共21頁(yè)所以當(dāng)ij時(shí)，因三式相加為恒等式即六對(duì)量?jī)H五個(gè)關(guān)系補(bǔ)充一個(gè)關(guān)系——體積胡克定律故四.廣義胡克定律的偏量形式

此形式便于塑性分析第18頁(yè)/共21頁(yè)五.彈性常數(shù)