會(huì)計(jì)學(xué)1D正項(xiàng)級(jí)數(shù)及審斂法都有定理2(比較審斂法)設(shè)且存在對(duì)一切有(1)若強(qiáng)級(jí)數(shù)則弱級(jí)數(shù)(2)若弱級(jí)數(shù)則強(qiáng)級(jí)數(shù)證:設(shè)對(duì)一切則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.分別表示弱級(jí)數(shù)和強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和,則有是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(常數(shù)k>0),因在級(jí)數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性,故不妨機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第1頁(yè)/共42頁(yè)(1)若強(qiáng)級(jí)數(shù)則有因此對(duì)一切有由定理1可知,則有(2)若弱級(jí)數(shù)因此這說(shuō)明強(qiáng)級(jí)數(shù)也發(fā)散.也收斂.發(fā)散,收斂,弱級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第2頁(yè)/共42頁(yè)例1.

討論p

級(jí)數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因?yàn)閷?duì)一切而調(diào)和級(jí)數(shù)由比較審斂法可知p

級(jí)數(shù)發(fā)散.發(fā)散,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第3頁(yè)/共42頁(yè)因?yàn)楫?dāng)故考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂,由比較審斂法知

p

級(jí)數(shù)收斂.時(shí),2)若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第4頁(yè)/共42頁(yè)調(diào)和級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).若存在對(duì)一切機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證明級(jí)數(shù)發(fā)散.證:例2.而發(fā)散所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。第5頁(yè)/共42頁(yè)判定級(jí)數(shù)的斂散性.證:是收斂的等比級(jí)數(shù),例3.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件知第6頁(yè)/共42頁(yè)判定級(jí)數(shù)的斂散性.證:又因?yàn)槔?.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束根據(jù)比較判別法知即收斂

第7頁(yè)/共42頁(yè)定理3.

(比較審斂法的極限形式)則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0

(3)當(dāng)

l=∞

證:

據(jù)極限定義,設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞

時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第8頁(yè)/共42頁(yè)由定理

2

可知同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散;(3)當(dāng)l=∞時(shí),即由定理2可知,若發(fā)散,(1)當(dāng)0<l<∞時(shí),(2)當(dāng)l=

0時(shí),由定理2知收斂,若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第9頁(yè)/共42頁(yè)是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(1)當(dāng)時(shí),兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;特別取可得如下結(jié)論:對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)(2)當(dāng)且收斂時(shí),(3)當(dāng)且發(fā)散時(shí),也收斂;也發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束——比階判別法.第10頁(yè)/共42頁(yè)的斂散性.～例5.

判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例6.

判別級(jí)數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第11頁(yè)/共42頁(yè)判定級(jí)數(shù)的斂散性.證:例7.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束原級(jí)數(shù)與p—級(jí)數(shù)有相同的斂散性。第12頁(yè)/共42頁(yè)判定級(jí)數(shù)的斂散性.證:例8.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束應(yīng)用泰勒中值定理通項(xiàng)第13頁(yè)/共42頁(yè)定理4

.

比值審斂法(D’alembert判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)證:(1)收斂,時(shí),級(jí)數(shù)收斂;或時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.由比較審斂法可知機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第14頁(yè)/共42頁(yè)因此所以級(jí)數(shù)發(fā)散.時(shí)(2)當(dāng)說(shuō)明:

當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散.從而機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第15頁(yè)/共42頁(yè)例9.

討論級(jí)數(shù)的斂散性.解:

利用達(dá)蘭貝爾比值判別法級(jí)數(shù)收斂;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束級(jí)數(shù)發(fā)散;通項(xiàng)不趨于零，級(jí)數(shù)發(fā)散。第16頁(yè)/共42頁(yè)判定的斂散性.解一:例10.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)收斂;第17頁(yè)/共42頁(yè)判定的斂散性.解二:例10.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束所以級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)收斂;即公比小于1的等比級(jí)數(shù)，所以級(jí)數(shù)收斂;第18頁(yè)/共42頁(yè)對(duì)任意給定的正數(shù)定理5.

根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)則證明提示:

即分別利用上述不等式的左,右部分,可推出結(jié)論正確.數(shù),且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第19頁(yè)/共42頁(yè)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

,p–

級(jí)數(shù)說(shuō)明:但級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第20頁(yè)/共42頁(yè)例11.

審斂：解:

①由定理5可知該級(jí)數(shù)收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束②

②由定理5可知該級(jí)數(shù)收斂.①

③③由定理5可知該級(jí)數(shù)收斂.第21頁(yè)/共42頁(yè)定理6.

積分審斂法：

設(shè)在區(qū)間證明提示:

單調(diào)減，機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束上非負(fù)且則級(jí)數(shù)收斂的充要條件是收斂。當(dāng)有故對(duì)k求和，得則廣義積分第22頁(yè)/共42頁(yè)例12.

判定級(jí)數(shù)的斂散性。解:

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束發(fā)散第23頁(yè)/共42頁(yè)二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法

則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).定理6

.(Leibnitz

判別法)

若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù)收斂,且其和其余項(xiàng)滿足機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第24頁(yè)/共42頁(yè)證:

是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級(jí)數(shù)收斂于S,且故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第25頁(yè)/共42頁(yè)收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第26頁(yè)/共42頁(yè)判定級(jí)數(shù)的斂散性.解:例14.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因此為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，注意：發(fā)散.第27頁(yè)/共42頁(yè)設(shè)則級(jí)數(shù)（）。例15.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束（A）提示：（B）（C）（D）原級(jí)數(shù)收斂；C據(jù)萊布尼茨判別法，第28頁(yè)/共42頁(yè)三、絕對(duì)收斂與條件收斂

定義:

對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若若原級(jí)數(shù)收斂,但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則稱原級(jí)收斂,數(shù)為條件收斂;均為絕對(duì)收斂.例如：絕對(duì)收斂；則稱原級(jí)數(shù)條件收斂

.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束本身收斂乎？第29頁(yè)/共42頁(yè)定理7.

絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂.證:

設(shè)根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂，證畢。且收斂,令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第30頁(yè)/共42頁(yè)例16.

證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對(duì)收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第31頁(yè)/共42頁(yè)(2)令因此收斂,絕對(duì)收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1第32頁(yè)/共42頁(yè)其和分別為絕對(duì)收斂比條件收斂具有更好的性質(zhì):*定理8.

絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和.說(shuō)明:

證明見(jiàn)參考書(shū),這里從略.*定理9.

(絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法)則對(duì)所有乘積按任意順序排列得到的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂,設(shè)級(jí)數(shù)與都絕對(duì)收斂,其和為但需注意條件收斂級(jí)數(shù)不具有這兩條性質(zhì).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第33頁(yè)/共42頁(yè)例17

級(jí)數(shù)重排次序后變?yōu)榘l(fā)散的級(jí)數(shù).解:

將級(jí)數(shù)重排次序?yàn)闄C(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束下面我們將證明①是發(fā)散的，①將①相鄰三項(xiàng)加括弧，第34頁(yè)/共42頁(yè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束②②的通項(xiàng)：正項(xiàng)、發(fā)散發(fā)散第35頁(yè)/共42頁(yè)內(nèi)容小結(jié)1.利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2.利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第36頁(yè)/共42頁(yè)3.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)Leibniz判別法:則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂概念:絕對(duì)收斂條件收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第37頁(yè)/共42頁(yè)思考與練習(xí)1.設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第38頁(yè)/共42頁(yè)思考與練習(xí)2.設(shè)級(jí)數(shù)收斂,也收斂?提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束且則研究級(jí)數(shù)第39頁(yè)/共42頁(yè)補(bǔ)充題1.

判別級(jí)數(shù)的斂散性:解