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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若將函數(shù)的圖象上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象,則下列說法正確的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)的周期是C.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 D.函數(shù)在上最大值是12.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示,則針對2019年這一年的收支情況,下列說法中錯誤的是()A.月收入的極差為60 B.7月份的利潤最大C.這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.這一年的總利潤超過400萬元3.設(shè)全集U=R,集合,則()A. B. C. D.4.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動;“書”,指各種歷史文化知識;“數(shù)”,指數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“數(shù)”必須排在第三節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰排課,則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種5.已知復(fù)數(shù)滿足,則的值為()A. B. C. D.26.函數(shù)的部分圖象如圖中實線所示,圖中圓與的圖象交于兩點,且在軸上,則下列說法中正確的是A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱C.函數(shù)在單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象向右平移后關(guān)于原點成中心對稱7.若滿足,且目標(biāo)函數(shù)的最大值為2,則的最小值為()A.8 B.4 C. D.68.《易·系辭上》有“河出圖,洛出書”之說,河圖、洛書是中華文化,陰陽術(shù)數(shù)之源,其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中.如圖,白圈為陽數(shù),黑點為陰數(shù).若從這10個數(shù)中任取3個數(shù),則這3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為()A. B. C. D.9.已知函數(shù)的零點為m,若存在實數(shù)n使且,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.10.設(shè)雙曲線(,)的一條漸近線與拋物線有且只有一個公共點,且橢圓的焦距為2,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.11.已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.12.已知復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若的最小值為,則實數(shù)的取值范圍是_________14.已知向量滿足,,則______________.15.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載“今有人共買物,人出八,盈三;人出七,不足四.問人數(shù)、物價各幾何?”設(shè)人數(shù)、物價分別為、,滿足,則_____,_____.16.過直線上一點作圓的兩條切線,切點分別為,,則的最小值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的左焦點為F,上頂點為A,直線AF與直線垂直,垂足為B,且點A是線段BF的中點.(I)求橢圓C的方程;(II)若M,N分別為橢圓C的左,右頂點,P是橢圓C上位于第一象限的一點,直線MP與直線交于點Q,且,求點P的坐標(biāo).18.(12分)對于非負(fù)整數(shù)集合(非空),若對任意,或者,或者,則稱為一個好集合.以下記為的元素個數(shù).(1)給出所有的元素均小于的好集合.(給出結(jié)論即可)(2)求出所有滿足的好集合.(同時說明理由)(3)若好集合滿足,求證:中存在元素,使得中所有元素均為的整數(shù)倍.19.(12分)某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具套盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè),在一個開學(xué)季內(nèi),每售出1盒該產(chǎn)品獲利50元,未售出的產(chǎn)品,每盒虧損30元.根據(jù)歷史資料,得到開學(xué)季市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.該同學(xué)為這個開學(xué)季進(jìn)了160盒該產(chǎn)品,以(單位:盒,)表示這個開學(xué)季內(nèi)的市場需求量,(單位:元)表示這個開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.(1)根據(jù)直方圖估計這個開學(xué)季內(nèi)市場需求量的平均數(shù)和眾數(shù);(2)將表示為的函數(shù);(3)以需求量的頻率作為各需求量的概率,求開學(xué)季利潤不少于4800元的概率.20.(12分)已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式的整數(shù)解有且僅有一個值,當(dāng)時,求不等式的解集;(2)已知,若,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),直線的參數(shù)方程(為參數(shù)),若直線的交點為,當(dāng)變化時,點的軌跡是曲線(1)求曲線的普通方程;(2)以坐標(biāo)原點為極點,軸非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,設(shè)射線的極坐標(biāo)方程為,,點為射線與曲線的交點,求點的極徑.22.(10分)設(shè)橢圓的左右焦點分別為,離心率是,動點在橢圓上運動,當(dāng)軸時,.(1)求橢圓的方程;(2)延長分別交橢圓于點(不重合).設(shè),求的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點可得到解析式;利用整體對應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增,正確;關(guān)于點對稱,錯誤;根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯誤;根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無法取得,錯誤.【詳解】將橫坐標(biāo)縮短到原來的得:當(dāng)時,在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增,正確;的最小正周期為:不是的周期,錯誤;當(dāng)時,,關(guān)于點對稱,錯誤;當(dāng)時,此時沒有最大值,錯誤.本題正確選項:【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解;關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對應(yīng)的方式,通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).2.D【解析】
直接根據(jù)折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為,故選項A正確;1至12月份的利潤分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利潤最高,故選項B正確;易求得總利潤為380萬元,眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項C正確,選項D錯誤.故選:.【點睛】本題考查了折線圖,意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.3.A【解析】
求出集合M和集合N,,利用集合交集補集的定義進(jìn)行計算即可.【詳解】,,則,故選:A.【點睛】本題考查集合的交集和補集的運算,考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.4.C【解析】
根據(jù)“數(shù)”排在第三節(jié),則“射”和“御”兩門課程相鄰有3類排法,再考慮兩者的順序,有種,剩余的3門全排列,即可求解.【詳解】由題意,“數(shù)”排在第三節(jié),則“射”和“御”兩門課程相鄰時,可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6節(jié),有3種,再考慮兩者的順序,有種,剩余的3門全排列,安排在剩下的3個位置,有種,所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有種不同的排法.故選:C.【點睛】本題主要考查了排列、組合的應(yīng)用,其中解答中認(rèn)真審題,根據(jù)題設(shè)條件,先排列有限制條件的元素是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.5.C【解析】
由復(fù)數(shù)的除法運算整理已知求得復(fù)數(shù)z,進(jìn)而求得其模.【詳解】因為,所以故選:C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算與求復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.6.B【解析】
根據(jù)函數(shù)的圖象,求得函數(shù),再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì),即可求解,得到答案.【詳解】根據(jù)給定函數(shù)的圖象,可得點的橫坐標(biāo)為,所以,解得,所以的最小正周期,不妨令,,由周期,所以,又,所以,所以,令,解得,當(dāng)時,,即函數(shù)的一個對稱中心為,即函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱.故選B.【點睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式,以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得三角函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.7.A【解析】
作出可行域,由,可得.當(dāng)直線過可行域內(nèi)的點時,最大,可得.再由基本不等式可求的最小值.【詳解】作出可行域,如圖所示由,可得.平移直線,當(dāng)直線過可行域內(nèi)的點時,最大,即最大,最大值為2.解方程組,得..,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立.的最小值為8.故選:.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃,考查基本不等式,屬于中檔題.8.C【解析】
先根據(jù)組合數(shù)計算出所有的情況數(shù),再根據(jù)“3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況,由此可求解出對應(yīng)的概率.【詳解】所有的情況數(shù)有:種,3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有:,共種,所以目標(biāo)事件的概率.故選:C.【點睛】本題考查概率與等差數(shù)列的綜合,涉及到背景文化知識,難度一般.求解該類問題可通過古典概型的概率求解方法進(jìn)行分析;當(dāng)情況數(shù)較多時,可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計算.9.D【解析】
易知單調(diào)遞增,由可得唯一零點,通過已知可求得,則問題轉(zhuǎn)化為使方程在區(qū)間上有解,化簡可得,借助對號函數(shù)即可解得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】易知函數(shù)單調(diào)遞增且有惟一的零點為,所以,∴,問題轉(zhuǎn)化為:使方程在區(qū)間上有解,即在區(qū)間上有解,而根據(jù)“對勾函數(shù)”可知函數(shù)在區(qū)間的值域為,∴.故選D.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題,考查了方程有解問題,分離參數(shù)法及構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用,考查了利用“對勾函數(shù)”求參數(shù)取值范圍問題,難度較難.10.B【解析】
設(shè)雙曲線的漸近線方程為,與拋物線方程聯(lián)立,利用,求出的值,得到的值,求出關(guān)系,進(jìn)而判斷大小,結(jié)合橢圓的焦距為2,即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)雙曲線的漸近線方程為,代入拋物線方程得,依題意,,橢圓的焦距,,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:B.【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的簡單幾何性質(zhì),要注意雙曲線焦點位置,屬于中檔題.11.B【解析】
求出導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)的最值,根據(jù)零點存在定理可確定參數(shù)范圍.【詳解】,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,∴在上只有一個極大值也是最大值,顯然時,,時,,因此要使函數(shù)有兩個零點,則,∴.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)的零點,考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,根據(jù)零點存在定理確定參數(shù)范圍.12.C【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)即可求解.【詳解】,,故選:C【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的性質(zhì),屬于容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
,可得在時,最小值為,時,要使得最小值為,則對稱軸在1的右邊,且,求解出即滿足最小值為.【詳解】當(dāng),,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.當(dāng)時,為二次函數(shù),要想在處取最小,則對稱軸要滿足并且,即,解得.【點睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題,對每段函數(shù)先進(jìn)行分類討論,找到每段的最小值,然后再對兩段函數(shù)的最小值進(jìn)行比較,得到結(jié)果,題目較綜合,屬于中檔題.14.1【解析】
首先根據(jù)向量的數(shù)量積的運算律求出,再根據(jù)計算可得;【詳解】解:因為,所以又所以所以故答案為:【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運算,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
利用已知條件,通過求解方程組即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)人數(shù)、物價分別為、,滿足,解得,.故答案為:;.【點睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,方程組的求解,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
由切線的性質(zhì),可知,切由直角三角形PAO,PBO,即可設(shè),進(jìn)而表示,由圖像觀察可知進(jìn)而求出x的范圍,再用的式子表示,整理后利用換元法與雙勾函數(shù)求出最小值.【詳解】由題可知,,設(shè),由切線的性質(zhì)可知,則顯然,則或(舍去)因為令,則,由雙勾函數(shù)單調(diào)性可知其在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以故答案為:【點睛】本題考查在以直線與圓的位置關(guān)系為背景下求向量數(shù)量積的最值問題,應(yīng)用函數(shù)形式表示所求式子,進(jìn)而利用分析函數(shù)單調(diào)性或基本不等式求得最值,屬于較難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(I).(II)【解析】
(I)寫出坐標(biāo),利用直線與直線垂直,得到.求出點的坐標(biāo)代入,可得到的一個關(guān)系式,由此求得和的值,進(jìn)而求得橢圓方程.(II)設(shè)出點的坐標(biāo),由此寫出直線的方程,從而求得點的坐標(biāo),代入,化簡可求得點的坐標(biāo).【詳解】(I)∵橢圓的左焦點,上頂點,直線AF與直線垂直∴直線AF的斜率,即①又點A是線段BF的中點∴點的坐標(biāo)為又點在直線上∴②∴由①②得:∴∴橢圓的方程為.(II)設(shè)由(I)易得頂點M、N的坐標(biāo)為∴直線MP的方程是:由得:又點P在橢圓上,故∴∴∴或(舍)∴∴點P的坐標(biāo)為【點睛】本小題主要考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,考查兩直線垂直的條件,考查向量數(shù)量積的運算.屬于中檔題.在解題過程中,首先閱讀清楚題意,題目所敘述的坐標(biāo)、所敘述的直線是怎么得到的,向量的數(shù)量積對應(yīng)的坐標(biāo)都有哪一些,應(yīng)該怎么得到,這些在讀題的時候需要分析清楚.18.(1),,,.(2);證明見解析.(3)證明見解析.【解析】
(1)根據(jù)好集合的定義列舉即可得到結(jié)果;(2)設(shè),其中,由知;由可知或,分別討論兩種情況可的結(jié)果;(3)記,則,設(shè),由歸納推理可求得,從而得到,從而得到,可知存在元素滿足題意.【詳解】(1),,,.(2)設(shè),其中,則由題意:,故,即,考慮,可知:,或,若,則考慮,,,則,,但此時,,不滿足題意;若,此時,滿足題意,,其中為相異正整數(shù).(3)記,則,首先,,設(shè),其中,分別考慮和其他任一元素,由題意可得:也在中,而,,,對于,考慮,,其和大于,故其差,特別的,,,由,且,,以此類推:,,此時,故中存在元素,使得中所有元素均為的整數(shù)倍.【點睛】本題考查集合中的新定義問題的求解,關(guān)鍵是明確已知中所給的新定義的具體要求,根據(jù)集合元素的要求進(jìn)行推理說明,對于學(xué)生分析和解決問題能力、邏輯推理能力有較高的要求,屬于較難題.19.(1),眾數(shù)為150;(2);(3)【解析】
(1)由頻率直方圖分別求出各組距內(nèi)的頻率,由此能求出這個開學(xué)季內(nèi)市場需求量的眾數(shù)和平均數(shù);(2)由已知條件推導(dǎo)出當(dāng)時,,當(dāng)時,,由此能將表示為的函數(shù);(3)利用頻率分布直方圖能求出利潤不少于4800元的概率.【詳解】(1)由直方圖可估計需求量的眾數(shù)為150,由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:∴估計需求量的平均數(shù)為:(2)當(dāng)時,當(dāng)時,∴(3)由(2)知當(dāng)時,當(dāng)時,得∴
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