2022-2023學(xué)年江蘇省連云港市灌南高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期中模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若圓關(guān)于直線2x-y+3=0對(duì)稱，則k等于（

）A． B．- C．3 D．-3【答案】B【分析】由題意可求得圓心坐標(biāo)，圓關(guān)于直線對(duì)稱，即直線過圓心，代入坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由題意知，圓的圓心為(k，0)，圓關(guān)于直線2x-y+3=0對(duì)稱，即直線2x-y+3=0過圓心(k，0)，所以2k+3=0，k=-.答案：B【點(diǎn)睛】本題考查圓的對(duì)稱性，考查分析理解，數(shù)形結(jié)合的能力，屬基礎(chǔ)題.2．已知直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，那么與A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直【答案】A【解析】根據(jù)兩點(diǎn)求出直線的斜率，根據(jù)傾斜角求出直線的斜率；可知斜率乘積為，從而得到垂直關(guān)系.【詳解】直線經(jīng)過，兩點(diǎn)

直線的斜率：直線的傾斜角為

直線的斜率：

本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查直線位置關(guān)系的判定，關(guān)鍵是利用兩點(diǎn)連線斜率公式和傾斜角求出兩條直線的斜率，根據(jù)斜率關(guān)系求得位置關(guān)系.3．設(shè)、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，且，則的面積等于A．4 B．6 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓方程，求出及橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)．由橢圓的定義結(jié)合，得，，結(jié)合勾股定理的逆定理得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，由此不難得到的面積．【詳解】解：橢圓，，，，所以橢圓的焦點(diǎn)為，，，且，，可得，因此是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以的面積，故選：A．4．如圖，已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)、在橢圓上，四邊形是梯形，，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接、，分析可知、、三點(diǎn)共線，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，分析可知，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出的值，可得出的值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接、，如下圖所示：因?yàn)闉?、的中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，可得且，因?yàn)?，故、、三點(diǎn)共線，設(shè)、，易知點(diǎn)，，，由題意可知，，可得，若直線與軸重合，設(shè)，，則，不合乎題意；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，得，，則，可得，故，因此，.故選：A.5．設(shè),是雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：由雙曲線性質(zhì)得到，然后在和在中利用余弦定理可得．詳解：由題可知在中，在中,故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線的相關(guān)知識(shí)，考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．6．已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（

）．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】求出圓心的軌跡方程后，根據(jù)圓心到原點(diǎn)的距離減去半徑1可得答案.【詳解】設(shè)圓心，則，化簡(jiǎn)得，所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)取得等號(hào)，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.7．已知在圓內(nèi)，過點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是和，則四邊形的面積為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】圓的最長(zhǎng)弦是直徑，過定點(diǎn)的最短弦是與過定點(diǎn)的最長(zhǎng)弦垂直的，對(duì)角線互相垂直的四邊形面積等于對(duì)角線乘積的一半.【詳解】圓由題意可得最長(zhǎng)弦為直徑等于6，最短的弦由垂徑定理可得，則四邊形的面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查過圓內(nèi)定點(diǎn)求圓的弦長(zhǎng)最值問題，考查求解運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.8．過拋物線上定點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線于另外兩點(diǎn)、，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為，根據(jù)該直線與圓相切求出的值，設(shè)點(diǎn)、，求出、的值，求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.【詳解】圓的圓心為，半徑為，易知軸，所以，直線、的斜率必然存在，設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為，即，由題意可得，解得，設(shè)點(diǎn)、，不妨設(shè)直線、的斜率分別為、，則，可得，同理，可得，直線的斜率為，易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，直線的方程為，即.故選：B.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2B．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為C．過，兩點(diǎn)的直線方程為D．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【答案】AB【分析】對(duì)選項(xiàng)A，分別令和，求出直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，再結(jié)合面積公式判斷即可；對(duì)選項(xiàng)B，求出對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷；對(duì)選項(xiàng)C特殊情況不成立；對(duì)選項(xiàng)D，缺少過原點(diǎn)的直線．【詳解】A．令得，令得，則直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，正確；B．設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，正確；C．兩點(diǎn)式使用的前提是，錯(cuò)誤；D．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線還有過原點(diǎn)的直線，錯(cuò)誤．故選：AB．10．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之比為定值（）的點(diǎn)所形成的圖形是圓.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，成為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，、，點(diǎn)Р滿足，設(shè)點(diǎn)Р所構(gòu)成的曲線為C，下列結(jié)論正確的是（

）A．C的方程為B．在C上存在點(diǎn)D，使得C．在C上存在點(diǎn)M，使M在直線上D．在C上存在點(diǎn)N，使得【答案】AD【分析】通過設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用，即可求出曲線C的軌跡方程，然后假設(shè)曲線C上一點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)BCD三個(gè)選項(xiàng)逐一列出所滿足條件，然后與C的軌跡方程聯(lián)立，判斷是否有解，即可得出答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由，得，化簡(jiǎn)得，即，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，由得，又，聯(lián)立方程可知無解，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，由M在直線上得，又，聯(lián)立方程可知無解，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，由，得，又，聯(lián)立方程可知有解，故D選項(xiàng)正確.故選：AD.11．（多選題）已知拋物線的焦點(diǎn)為、準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)、，點(diǎn)在上的射影為，則（

）A．若，則B．以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切C．設(shè)，則D．過點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有條【答案】ABC【分析】利用拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可判斷AB選項(xiàng)；利用拋物線的定義結(jié)合三點(diǎn)共線可判斷C選項(xiàng)；求出過點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，則，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，線段的中點(diǎn)為，拋物線的準(zhǔn)線的方程為，點(diǎn)到直線的距離為，所以，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，B對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，且點(diǎn)為線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，顯然直線，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)過且斜率不為零的直線為，聯(lián)立，可得，令，則，所以直線與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)有三條直線符合題意，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．已知雙曲線，過其右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)、，則（

）A．若、同在雙曲線的右支，則的斜率大于B．若在雙曲線的右支，則最短長(zhǎng)度為C．的最短長(zhǎng)度為D．滿足的直線有4條【答案】BD【分析】設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，利用判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】易知雙曲線的右焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，聯(lián)立，消去并整理得.則，解得.對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線軸，則、兩點(diǎn)都在雙曲線的右支上，此時(shí)直線的斜率不存在，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)直線與軸重合時(shí)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)直線與軸重合時(shí)，；當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，由韋達(dá)定理得，，由弦長(zhǎng)公式可得，解得或.故滿足的直線有條，D選項(xiàng)正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的綜合問題，考查了直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查了韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.三、填空題13．雙曲線的其中一條漸近線方程為，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則雙曲線的方程為_______【答案】【分析】由雙曲線的漸近線方程可得，再由焦點(diǎn)到漸近線的距離為可得，即可得答案；【詳解】由題意得：，雙曲線的方程為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線方程和焦點(diǎn)到漸近線的距離為，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14．一束光線從點(diǎn)射出，經(jīng)y軸反射后，與圓相交，則反射光線所在直線的斜率k的取值范圍是_______________．【答案】【分析】將圓寫成標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心半徑，求出關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)出過的直線方程，結(jié)合圓心到直線距離公式即可求解.【詳解】由可得，即圓心為，半徑為1，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，可設(shè)過的直線方程為，即，由反射光線與圓相交可得，，化簡(jiǎn)得，即.故答案為：15．在橢圓中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程______.【答案】【分析】先利用點(diǎn)差法求得直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求得所求直線方程.【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)，設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦的兩端的坐標(biāo)分別為，則，，兩式相減，得，則，設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為，則，所以所求直線方程為：，即.故答案為：.四、雙空題16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，分別過，兩點(diǎn)作拋物線的切線，，設(shè)直線與交于點(diǎn)，則___________，面積的最小值為___________.【答案】

;

【分析】設(shè)，，先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得兩切線方程，然后聯(lián)立兩切線方程可求得交點(diǎn)坐標(biāo).因?yàn)?，所以將弦長(zhǎng)和點(diǎn)P到直線AB的距離帶入即可求得面積的最小值.【詳解】解：拋物線方程為，拋物線的焦點(diǎn)由題意，直線AB的斜率存在，設(shè)，，，聯(lián)立，得，，，由，得，求導(dǎo)得，，即①同理②由①②得，.點(diǎn)P到直線AB的距離，，易知，即時(shí)，，故面積的最小值為4.故答案為：；4.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義求出兩切線方程，然后聯(lián)立求解交點(diǎn)坐標(biāo)；設(shè)出直線AB方程，并聯(lián)立拋物線方程，由弦長(zhǎng)公式可得，由點(diǎn)到直線距離公式可得點(diǎn)P到直線AB的距離，從而求得，進(jìn)而易得面積的最小值.五、解答題17．設(shè)橢圓過點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)坐標(biāo)及．【答案】（1）；（2）中點(diǎn)坐標(biāo)為，．【分析】（1）依題意求出，再由離心率及，求出，即可求出橢圓方程；（2）首先求出直線的方程，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可求出中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)；【詳解】解：（1）將點(diǎn)代入橢圓的方程得，所以．又由，得，即，所以．所以橢圓的方程為．（2）過點(diǎn)且斜率為的直線方程為，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，，聯(lián)立方程消去得，得，．設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，即中點(diǎn)坐標(biāo)為由弦長(zhǎng)公式18．已知△ABC的頂點(diǎn)A(5，1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為.(1)求直線AC的垂直平分線方程；(2)求△ABC的面積.【答案】(1)(2)8【分析】(1)先求出AC直線方程，再聯(lián)立直線CM與AC，得到交點(diǎn)坐標(biāo)，最后求出AC的垂直平分線方程即可.(2)先求出長(zhǎng)度為，再求出點(diǎn)，再求△ABC的邊的高為，最后由三角形面積公式求出面積即可.【詳解】（1）BH所在直線方程為，，直線垂直于，，，AC所在直線方程為，聯(lián)立直線CM與AC得，解得，直線CM與AC的交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為,直線AC的垂直平分線的斜率與AC邊上的高BH的斜率相等，直線AC的垂直平分線的斜率為，直線AC的垂直平分線方程為.（2）由（1）可知，設(shè)點(diǎn)則點(diǎn)，點(diǎn)在高線BH上，M在中線上，，解得，故點(diǎn)，由題意知邊上的高為，△ABC的面積為.19．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且，證明：直線過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將拋物線上的點(diǎn)代入方程即可求解；（2）設(shè)出直線方程與拋物線聯(lián)立，然后根據(jù)向量數(shù)量積建立等式求解.【詳解】（1）∵拋物線過點(diǎn)，．．∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為．（2）設(shè)，，由得，，．，．，或．，舍去．，滿足．∴直線的方程為．∴直線必經(jīng)過定點(diǎn)．20．雙曲線：，已知是雙曲線上一點(diǎn)，分別是雙曲線的左右頂點(diǎn)，直線，的斜率之積為.(1)求雙曲線的離心率；(2)若雙曲線的焦距為，直線過點(diǎn)且與雙曲線交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由點(diǎn)在雙曲線上得到，再由，的斜率之積為得到，從而得到，由此可求得雙曲線的離心率；（2）先由條件求得雙線曲方程，再聯(lián)立直線與雙曲線得到，又由得到，從而求得值，由此可得直線的方程.【詳解】（1）因?yàn)槭请p曲線E上一點(diǎn)，可得，即為，由題意可得，，可得，即有.（2）由題意可得，，則雙曲線的方程為，易知直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，可得，設(shè)，則，，①又，可得，②由①②可得，，代入①可得，解得，則直線l的方程為.21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，且圓被直線截得的弦長(zhǎng)為2.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若圓的切線在軸和軸上的截距相等，求切線的方程；（3）若圓上存在點(diǎn)，由點(diǎn)向圓引一條切線，切點(diǎn)為，且滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）或或或；（3）【分析】（1）將圓方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，可知，得到圓心坐標(biāo)和半徑；由垂徑定理可利用弦長(zhǎng)構(gòu)造出關(guān)于的方程，解方程求得，從而得到標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分為直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況，分別假設(shè)直線方程，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得結(jié)果；（3）設(shè)，根據(jù)且可整理出點(diǎn)軌跡方程為：；根據(jù)在圓上，則兩圓有公共點(diǎn)，根據(jù)圓與圓位置關(guān)系的判定可構(gòu)造不等式，解不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）圓方程可整理為：

圓的圓心坐標(biāo)為，半徑圓心到直線的距離：截得的弦長(zhǎng)為：，解得：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）①若直線過原點(diǎn)，可假設(shè)直線方程為：，即直線與圓相切

圓心到直線距離，解得：切線方程為：②若直線不過原點(diǎn)，可假設(shè)直線方程為：，即圓心到直線距離，解得：或切線方程為或綜上所述，切線方程為或或（3）假設(shè)，即又直線與圓相切，切點(diǎn)為

即：，整理得：又在圓上

兩圓有公共點(diǎn)，解得：即的取值范圍為：【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用問題；關(guān)鍵是明確直線與圓的位置關(guān)系通過圓心到直線的距離與半徑之間的大小關(guān)系來確定；圓與圓的位置關(guān)系通過圓心距與兩圓半徑之和、半徑之差的關(guān)系來確定.22．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，曲線C是以A、B為短軸的兩端點(diǎn)且離心率為的橢圓，設(shè)點(diǎn)P在第一象限且在雙曲線上，直線AP與橢圓相交于另一點(diǎn)T．(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P、T的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，證明：x1x2＝1；(3)設(shè)△TAB與△POB（其