基于“四度六步”教學(xué)法的“從算式到方程”教學(xué)設(shè)計與反思

【摘

要】文章基于“四度六步”教學(xué)法的理論基礎(chǔ)與實踐架構(gòu)進行設(shè)計，采用“溫故—引新—探究—變式—嘗試—提升”六步教學(xué)模式，從學(xué)生熟悉的相等關(guān)系入手，創(chuàng)設(shè)真實問題情境，選用有梯度的問題，引導(dǎo)學(xué)生先嘗試如何用算術(shù)方法解決，再逐步引導(dǎo)學(xué)生合作探究列出含未知數(shù)的式子表示有關(guān)量，并進一步依據(jù)相等關(guān)系列出含未知數(shù)的等式——方程，以突出方程的根本特征，并體會代數(shù)方法的簡便性。在教學(xué)中，教師應(yīng)盡可能做到自然引出方程、一元一次方程及方程的解的概念，構(gòu)建用一元一次方程解決實際問題的數(shù)學(xué)模型，創(chuàng)造“有溫度、有梯度、有深度、有寬度”四度精彩課堂?！綤ey】“四度六步”教學(xué)法;方程;算式【作者簡介】戴啟猛，南寧市教育科學(xué)研究所所長，正高級教師，廣西特級教師，廣西師范大學(xué)教育學(xué)部特聘研究員，廣西“八桂教育家搖籃工程”培養(yǎng)對象，教育部基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)專業(yè)委員會委員，初中數(shù)學(xué)“四度六步”教學(xué)法創(chuàng)始人。一、問題提出方程是含有未知數(shù)的等式，因此方程概念的教學(xué)要從認識等式開始。教師要讓學(xué)生經(jīng)歷由數(shù)的等式到含有未知數(shù)的等式，通過不等到相等的比較，為方程概念的引入提供豐富的感性認知的基礎(chǔ)。但在當前的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，存在忽視數(shù)學(xué)概念的抽象邏輯建構(gòu)特征，過于強調(diào)情境化、生活化、活動化的傾向。這實質(zhì)上是重教學(xué)形式而忽略學(xué)科本質(zhì)內(nèi)涵的體現(xiàn)[1]。陳邦河院士指出：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”事實上，建立方程的概念是學(xué)習(xí)解方程的基礎(chǔ)。雖然有關(guān)方程的幾個概念，各版本教材都只做描述，似乎沒有下具體定義，但并沒有削弱理解概念對于掌握方法的作用。例如，只有理解方程的含義，才可能明確解方程是解決這樣的問題：當x取什么數(shù)值時，能使等式成立。又如，只有理解方程的解的含義，才能明確應(yīng)當怎樣檢驗方程的解。為此，筆者以人教版七年級上冊“從算式到方程”一課為例，基于“四度六步”教學(xué)法的理論基礎(chǔ)與實踐架構(gòu)進行設(shè)計[2]22，采用“溫故—引新—探究—變式—嘗試—提升”六步教學(xué)模式進行教學(xué)設(shè)計和研究。二、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)提問，溫故孕新師：我們知道表示數(shù)量的關(guān)系有相等和不相等之分，誰能說出表示相等或不相等關(guān)系的式子？生：2+3=5，50+50=100，50+10>50，50+10<100等。師：這些都是等號或不等號兩邊都是具體數(shù)字的關(guān)系式。誰能說出等號或不等號兩邊不完全是具體數(shù)字的等式呢？生：2+x=5，2x=50，50+2y=100，3y+1=4等。師：太棒了。因為我們在小學(xué)已經(jīng)學(xué)過一些帶有字母或未知數(shù)的等式?！驹O(shè)計意圖】等式是方程的生長點，教師在教學(xué)方程的概念時可從等式引入。因為在小學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生對等式已有初步的認識，教師讓學(xué)生回憶等式，尤其是含有字母（未知數(shù)）的等式，為方程概念的引入打下基礎(chǔ)，符合學(xué)生的認知規(guī)律。（二）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題在學(xué)生復(fù)習(xí)完舊知識后，教師引導(dǎo)學(xué)生解決下列實際問題。（1）用一根長24cm的鐵絲圍成一個正方形，正方形的邊長是多少？（2）一臺計算機已使用1700h，預(yù)計每月再使用150h，經(jīng)過多少個月這臺計算機的使用時間達到規(guī)定的檢修時間2450h？教師請學(xué)生上臺板演，學(xué)生列舉的方法如下。（1）方法一：24÷4=6。方法二：設(shè)正方形的邊長為xcm，依題意列出方程為4x=24。方法二：設(shè)x個月這臺計算機的使用時間達到2450h，那么在x個月里這臺計算機使用了150xh，依題意列方程為1700+150x=2450。學(xué)生以上的解答，歸納起來主要使用了兩種方法：一是列算式，二是列方程。教師引導(dǎo)學(xué)生說明以上方法二所列式子等號兩邊各表示的意義。師：同學(xué)們能否說出這兩種方法的不同。生：列算式就是根據(jù)題目中的已知數(shù)直接列出式子，再求出結(jié)果;列方程則先是將所求的量設(shè)為一個字母（未知數(shù)），然后用含有這個字母的式子去表示相關(guān)的量，再根據(jù)問題中的相等關(guān)系列出等式，這個等式既含有已知數(shù)，又含有未知數(shù)。師：盡管方程在小學(xué)涉及的內(nèi)容不多且簡單，但從同學(xué)們的發(fā)言來看，大家對列方程還是深有體會的。哪位同學(xué)還記得什么是方程？生：方程是含有未知數(shù)的等式。教師板書課題，引出新知識。【設(shè)計意圖】教師創(chuàng)設(shè)真實問題情境，并通過兩個有梯度的問題，讓學(xué)生嘗試用學(xué)過的知識解決問題。教師以提問的方式讓學(xué)生說出式子等號兩邊各表示的意義，旨在打開學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注列出的方程不僅是等式，而且等號兩邊含未知數(shù)的式子還有實際意義，讓學(xué)生進一步體會依據(jù)問題中的相等關(guān)系列出含未知數(shù)的等式，即方程的合理性。教師要求學(xué)生比較列算式與列方程的不同，目的不僅在于突出方程的根本特征，引出方程的定義，而且使學(xué)生認識到方程是比算式更有力的數(shù)學(xué)工具，給解決問題帶來便利。（三）合作探究，活動領(lǐng)悟教師請學(xué)生閱讀教材章前圖及其表格，如圖1，讓學(xué)生說出想到的數(shù)學(xué)問題。【設(shè)計意圖】本節(jié)課是章節(jié)起始課，一方面可利用章前言總結(jié)概括本章要研究的內(nèi)容，起到承上啟下的作用;另一方面可利用章前圖及其表格，引導(dǎo)學(xué)生說出圖表反映的信息，這樣不僅有利于訓(xùn)練學(xué)生三種數(shù)學(xué)語言（圖形、表格及文字）的轉(zhuǎn)換能力，更有助于學(xué)生理解本節(jié)課將要重點探究的問題——行程問題。問題

一輛客車和一輛卡車同時從A地出發(fā)沿同一公路同方向行駛，客車的行駛速度是70km/h，卡車的行駛速度是60km/h，客車比卡車早1h經(jīng)過B地。A，B兩地間的路程是多少？師：你會用算術(shù)方法解決這個問題嗎？列算式試試。在學(xué)生用算術(shù)方法解決問題后，教師引導(dǎo)學(xué)生用列方程求解（只要求列出方程，不要求解方程）。題目中涉及幾種不同性質(zhì)的量，為了厘清關(guān)系，教師要求學(xué)生借鑒章前圖中的表格分析題意，最后請學(xué)生代表說明自己的解題思路。生2：我們組借鑒章前圖的表格分析題意，繪制如下表格（見表1）。師：這個小組分析題意的方法很特別，你們是怎么想出來的呢？小小表格把題目中涉及的相關(guān)量及它們的關(guān)系呈現(xiàn)得非常清楚，希望同學(xué)們借鑒。其他小組還有什么不同的方法嗎？生3：還可以設(shè)客車行駛到B地所用的時間為t，根據(jù)兩車行駛的路程是一樣的，得出等式70t=60（t+1）。師：太棒了。請同學(xué)們比較這兩個小組的解法，它們有什么不同？哪個更好理解呢？教師請學(xué)生觀察本節(jié)課列出的方程，并說出它們的共同特征?！驹O(shè)計意圖】該教學(xué)設(shè)計通過設(shè)置系列問題和不斷追問的方式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，強化學(xué)生用表格分析行程問題的方法。教師適時小結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生歸納解法的不同及所列方程的共同之處，突顯方程及一元一次方程的本質(zhì)特征和用方程解決實際問題的優(yōu)越性，培養(yǎng)學(xué)生觀察比較和歸納概括的能力，滲透數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。（四）師生互動，變式深化通過以下變式，師生共同探究解決實際問題。變式一：一輛客車和一輛卡車分別從A，B兩地同時出發(fā)沿同一公路反方向行駛，客車的行駛速度是70km/h，卡車的行駛速度是60km/h，客車比卡車早1h到達目的地。A，B兩地間的路程是多少？變式二：某校女生占全體學(xué)生人數(shù)的52%，比男生多80人，這所學(xué)校有多少名學(xué)生？簡解如下：師：列方程是解決問題的重要方法，但如何求出方程中的未知數(shù)呢？比如引例中的兩個方程的未知數(shù)如何求？教師引導(dǎo)學(xué)生觀察方程，弄清楚方程的解?！驹O(shè)計意圖】初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，如果沒有思維訓(xùn)練的“量”和“質(zhì)”，就沒有數(shù)學(xué)課的味道。該教學(xué)環(huán)節(jié)通過師生互動，鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑，通過問題變式，將課程引向深入，促進學(xué)生對新知識的理解。（五）嘗試練習(xí)，鞏固提高1.判斷下列方程是不是一元一次方程，并說明理由。2.根據(jù)下列問題，設(shè)未知數(shù)，并列出方程。（1）環(huán)形跑道一周長400m，沿跑道跑多少周，可以跑3000m？（2）一個梯形的下底比上底多2cm，高是5cm，面積是40cm2，求上底長度。追問

結(jié)合習(xí)題2，并觀察本節(jié)課的幾個實際問題，想想我們是如何把實際問題轉(zhuǎn)化成一元一次方程的？教師幫助學(xué)生學(xué)會分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，并利用其中的相等關(guān)系列出方程，使學(xué)生認識到這是用數(shù)學(xué)解決實際問題的一種方法?！驹O(shè)計意圖】如果說“溫故”“引新”“探究”“變式”等四個教學(xué)環(huán)節(jié)都有教師“扶”的因素，那么“嘗試”環(huán)節(jié)就是讓學(xué)生真正地自主學(xué)習(xí)和嘗試學(xué)習(xí)。在此環(huán)節(jié)，教師應(yīng)把握三個要領(lǐng)：一是“嘗試”應(yīng)適合學(xué)生認知層次;二是“嘗試”應(yīng)指向新知的鞏固提高;三是“嘗試”應(yīng)及時回授練習(xí)效果。在教學(xué)中，筆者經(jīng)常發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生“聽懂但不會做，會做但又做不對。”所以，有效教學(xué)的一個重要指標，就是在每一節(jié)課中，教師必須引導(dǎo)學(xué)生至少要完整且規(guī)范地獨立解答一道題。同時，教師以“觀察本節(jié)課的幾個實際問題，想想我們是如何把實際問題轉(zhuǎn)化成一元一次方程的？”歸納出把實際問題轉(zhuǎn)化為一元一次方程的過程，初步體會數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。（六）適時小結(jié)，興趣延伸師：誰能借助老師的板書，畫出一個結(jié)構(gòu)圖以總結(jié)這節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容？學(xué)生在教師的引導(dǎo)下畫出如圖3所示的結(jié)構(gòu)圖?！驹O(shè)計意圖】在課堂教學(xué)中，“提升”教學(xué)環(huán)節(jié)應(yīng)把握三個關(guān)鍵：一是幫助學(xué)生掃除思維障礙，恰時點撥;二是指向主要知識方法思路，恰點歸納;三是重在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，恰到好處。在本節(jié)課例中，教師在前述的教學(xué)過程中已經(jīng)做了恰時點撥、恰點歸納、恰當激勵，此環(huán)節(jié)只是對原有的教學(xué)板書進行適當?shù)难a充和完善，對關(guān)鍵的思想方法進行必要的強調(diào)。三、教學(xué)反思（一）基于“四度六步”教學(xué)法的設(shè)計，讓課堂教學(xué)如行云流水“四度六步”教學(xué)法，是筆者歷時20多年教研實踐后提出的數(shù)學(xué)教育教學(xué)主張和策略，以追求“四度”（有溫度、有梯度、有深度和有寬度）精彩課堂為目的，遵照“溫故（復(fù)習(xí)提問，溫故孕新）——引新（創(chuàng)設(shè)情境，引入課題）——探究（合作探究，活動領(lǐng)悟）——變式（師生互動，變式深化）——嘗試（嘗試練習(xí)，鞏固提高）——提升（適時小結(jié)，興趣延伸）”六個環(huán)節(jié)精準設(shè)計和組織的初中數(shù)學(xué)教學(xué)方法。其中“四度”課堂是教學(xué)主張、教學(xué)理念，“六步”環(huán)節(jié)是實踐架構(gòu)，也是教學(xué)策略。“四度六步”教學(xué)法的目標是創(chuàng)造更加精彩的課堂，操作模型如圖4所示。[2]22“從算式到方程”旨在讓學(xué)生體會列算式與列方程在解決實際問題中的區(qū)別，進而逐步體會列方程的優(yōu)越性，這也是本課教學(xué)需要突破的難點。本節(jié)課，筆者對教材進行了適當?shù)闹亟M，把教材中部分例題前置，以達到溫故孕新的效果，通過引導(dǎo)學(xué)生用列算式或列方程解決問題，喚起他們對小學(xué)所學(xué)簡易方程知識的記憶和理解。本課教學(xué)從“溫故”到“引新”，再到“探究”“變式“，緩坡起步，梯度設(shè)計，環(huán)環(huán)相扣，讓學(xué)生在經(jīng)歷一個個真實情境的問題中初步體會用列方程解決實際問題的便捷。（二）基于“四度六步”教學(xué)法的設(shè)計，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)隨時發(fā)生本節(jié)課注重對章前言、章前圖及章前表格的合理使用。筆者請學(xué)生閱讀章前圖及其表格以開啟新課教學(xué)，這不僅讓學(xué)生學(xué)會用教材，還讓學(xué)生準確把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律，為引例的合作探究做充分的鋪墊。主體不參與，學(xué)習(xí)就不會發(fā)生。在教學(xué)中，教師要積極創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生參與熱情，努力在課堂上搭建思維的“腳手架”，讓學(xué)生自信且從容地向高處攀登。同時，教師要適時利用“誰還有不同的解法”“請同學(xué)們看看這兩個小組的解法，大家比較一下，它們有什么不同”“其他小組還有什么不同的方法嗎？”等問題引發(fā)學(xué)生思考，發(fā)展學(xué)生的思維能力?！八亩攘健苯虒W(xué)法以追求更加精彩的課堂為目標，而一節(jié)精彩的數(shù)學(xué)課，關(guān)鍵在于課堂的“生態(tài)”和師生的“狀態(tài)”。在精彩的數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生應(yīng)該是開放的