萬(wàn)有引力理論的成就1．了解萬(wàn)有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用；?2．會(huì)用萬(wàn)有引力定律計(jì)算天體質(zhì)量；3．理解并運(yùn)用萬(wàn)有引力定律處理天體問(wèn)題的思路和方法。學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)回顧1．物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力公式是什么？分別寫(xiě)出向心力與線速度、角速度以及周期的關(guān)系式。2．萬(wàn)有引力定律的內(nèi)容是什么？如何用公式表示？重力是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力，當(dāng)忽略了地球的自轉(zhuǎn)時(shí)，可認(rèn)為重力在數(shù)值上就等于萬(wàn)有引力大小。3．重力和萬(wàn)有引力的關(guān)系？θFnRMGmwrF引物體m在緯度為θ的位置，萬(wàn)有引力指向地心，分解為兩個(gè)分力：m隨地球自轉(zhuǎn)圍繞地軸運(yùn)動(dòng)的向心力和重力?！敖o我一個(gè)支點(diǎn)，我可以撬動(dòng)球。”新課導(dǎo)入那我們又是怎么知道巨大的地球的質(zhì)量呢？稱量地球的質(zhì)量1．思路：地球的質(zhì)量不可能用天平稱量。萬(wàn)有引力定律是否能給予我們幫助呢？重力是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力，當(dāng)忽略了地球的自轉(zhuǎn)時(shí)，可認(rèn)為重力在數(shù)值上就等于萬(wàn)有引力大小。稱量地球的質(zhì)量1．分析：若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地面上物體的重力等于地球?qū)λ囊?。M＝其中g(shù)、R在卡文迪許之前已經(jīng)知道，而卡文迪許測(cè)出G后，就意味著我們也測(cè)出了地球的質(zhì)量?？ㄎ牡显S把他自己的實(shí)驗(yàn)說(shuō)成是“稱量地球的重量”是不無(wú)道理的。著名文學(xué)家馬克·吐溫滿懷激情地說(shuō)：“科學(xué)真是迷人。根據(jù)零星的事實(shí)，增添一點(diǎn)猜想，竟能贏得那么多收獲！”稱量地球的質(zhì)量天體質(zhì)量的計(jì)算思考：應(yīng)用萬(wàn)有引力可算出地球的質(zhì)量，能否算出太陽(yáng)的質(zhì)量呢？1、地球公轉(zhuǎn)實(shí)際軌道是什么形狀？為了解決問(wèn)題的方便，我們通?？梢哉J(rèn)為地球在繞怎樣的軌道做什么運(yùn)動(dòng)？近似天體質(zhì)量的計(jì)算2、地球作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由什么力提供的？rMmF天體質(zhì)量的計(jì)算rMmF地球公轉(zhuǎn)角速度ω不能直接測(cè)出，但我們知道地球公轉(zhuǎn)的周期T（M與m無(wú)關(guān)）天體質(zhì)量的計(jì)算中心天體M環(huán)繞天體m求解思路：環(huán)行天體的向心力由中心天體對(duì)其萬(wàn)有引力獨(dú)家提供具體方法：注意：待求天體（M）的質(zhì)量與環(huán)行天體（m）的質(zhì)量無(wú)關(guān)拓展：利用月球求地球質(zhì)量天體質(zhì)量的計(jì)算月球繞地球運(yùn)行的周期T=27.3天，月球與地球的平均距離r=3.84×108mM地=5.98×1024kg天體密度的計(jì)算當(dāng)星球繞中心天體表面運(yùn)行時(shí)，r=R：黃金替換質(zhì)量為m的物體在地球（星體）表面受到的萬(wàn)有引力等于其重力，即G＝mg?？梢缘玫剑篏M＝gR2由于G和M（地球質(zhì)量）這兩個(gè)參數(shù)往往不易記住，而g和R容易記住。所以粗略計(jì)算時(shí)，一般都采用上述代換，這就避開(kāi)了萬(wàn)有引力常量G值和地球的質(zhì)量M值線速度v：v＝角速度ω：ω＝周期T：向心加速度an：發(fā)現(xiàn)未知天體——海王星在1781年發(fā)現(xiàn)的第七個(gè)行星—天王星的運(yùn)動(dòng)軌道，總是同根據(jù)萬(wàn)有引力定律計(jì)算出來(lái)的有一定偏離。當(dāng)時(shí)有人預(yù)測(cè)，肯定在其軌道外還有一顆未發(fā)現(xiàn)的新星，這就是后來(lái)發(fā)現(xiàn)的第八大行星—海王星。

海王星的實(shí)際軌道由英國(guó)劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和法國(guó)年輕的天文愛(ài)好者勒維耶根據(jù)天王星的觀測(cè)資料各自獨(dú)立地利用萬(wàn)有引力定律計(jì)算出來(lái)的。預(yù)言哈雷彗星回歸：英國(guó)天文學(xué)家哈雷依據(jù)萬(wàn)有引力定律，用一年時(shí)間計(jì)算24顆彗星的軌道，并大膽猜測(cè)在1531年、1607年、1682年出現(xiàn)的三顆彗星是同一顆星，周期約為76年。海王星的發(fā)現(xiàn)和哈雷彗星的“按時(shí)回歸”確立了萬(wàn)有引力定律的地位。?？碱}型題組一計(jì)算天體質(zhì)量和密度題1［2019?廣東佛山一中高一檢測(cè)］（1）開(kāi)普勒第三定律指出：行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)橢圓軌道的半長(zhǎng)軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即=k，k是一個(gè)對(duì)所有行星都相同的常量。將行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)按圓周運(yùn)動(dòng)處理，請(qǐng)你推導(dǎo)出太陽(yáng)系中該常量k的表達(dá)式（已知引力常量為G，太陽(yáng)的質(zhì)量為M太）；?？碱}型（2）開(kāi)普勒定律不僅適用于太陽(yáng)系，它對(duì)一切具有中心天體的引力系統(tǒng)（如地月系統(tǒng)）都成立。經(jīng)測(cè)定月地距離為3.84×108m，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為2.36×106s，地球半徑取6400km，試估算地球的質(zhì)量M和密度ρ。（G=6.67×10-11N?m2/kg2，計(jì)算結(jié)果均保留一位有效數(shù)字）【解】（1）根據(jù)牛頓第二定律：=ma，又根據(jù)開(kāi)普勒第三定律：k=，由上兩式得：k=（2）對(duì)地月系統(tǒng)：=，得：M地=≈6×1024kg。地球的密度ρ==≈5×103kg/m3。【點(diǎn)評(píng)】開(kāi)普勒第三定律中的k是一個(gè)與中心天體質(zhì)量有關(guān)的常量。計(jì)算天體質(zhì)量的兩個(gè)基本思路思路一（環(huán)繞法）：將行星繞恒星的運(yùn)動(dòng)、衛(wèi)星繞行星的運(yùn)動(dòng)均視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需向心力是由萬(wàn)有引力提供的。有如下關(guān)系：G=m=mr。思路二（重力加速度法）：中心天體表面上物體的重力與所受萬(wàn)有引力相等，mg=。天體密度的計(jì)算方法（1）利用中心天體表面的重力加速度求密度

其中g(shù)為天體表面重力加速度，R為天體半徑。（2）利用中心天體的衛(wèi)星求密度

其中R為待求天體半徑，r為衛(wèi)星的軌道半徑。題2某星球的半徑為R，表面的重力加速度為g，引力常量為G，則該星球的平均密度為（）A． B． C． D．

【解析】根據(jù)重力近似等于星球的萬(wàn)有引力，有解得M=。把該星球看做均勻球體，則星球體積為V=，則其密度為?！敬鸢浮?/p>

B“黃金代換法”的應(yīng)用技巧在不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響時(shí)，在地球附近mg=，化簡(jiǎn)得gR2=GM。此式通常叫做黃金代換式，適用于任何天體，主要用于天體的質(zhì)量M未知的情況下，用該天體的半徑R和表面的“重力加速度”g代換M。題3［2019?廣東仲元中學(xué)高一檢測(cè)］人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為v，軌道半徑為r，已知引力常量為G，根據(jù)萬(wàn)有引力定律，可算出地球的質(zhì)量為（）A． B． C． D．A【特別提醒】求中心天體的質(zhì)量時(shí)，需要知道的半徑是以該天體為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，不是中心天體的半徑，也不是做圓周運(yùn)動(dòng)的天體的半徑。題4有一星球的密度與地球的密度相同，但它表面處的重力加速度是地面上的重力加速度的2倍，則該星球的質(zhì)量將是地球質(zhì)量的（）A． B．8倍 C．16倍 D．64倍B題5［2019?石家莊一中高一檢測(cè)］“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器已于2019年1月3日在月球背面安全著陸，開(kāi)展月表形貌與地質(zhì)構(gòu)造調(diào)查等科學(xué)探測(cè)。已知月球半徑為R0，月球表面處重力加速度為g0，地球和月球的半徑之比為，表面重力加速度之比為，則地球和月球的密度之比為（）A． B． C．4 D．6B題6［2019?遼寧大連高三一模］如圖所示，“嫦娥三號(hào)”的環(huán)月軌道可近似看成是圓軌道，觀察“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月軌道上的運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)每經(jīng)過(guò)時(shí)間t通過(guò)的弧長(zhǎng)為l，該弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓心角為θ弧度，已知引力常量為G，則月球的質(zhì)量是（）A． B． C． D．C題7

［2019?安徽宿州高一期末］地球表面的重力加速度為g，則離地面高度等于地球半徑的地方，重力加速度為（）A．0.25g B．0.5g C．2g D．4g【解析】地面上方高h(yuǎn)處：mg′=G，地面上mg=G，聯(lián)立解得g′=0.25g?！敬鸢浮緼題組二天體表面及離天體某高度處的重力加速度題8［2015?重慶卷］航天員王亞平在“天宮一號(hào)”飛船內(nèi)進(jìn)行了我國(guó)首次太空授課，演示了一些完全失重狀態(tài)下的物理現(xiàn)象。若飛船質(zhì)量為m，距地面高度為h，地球質(zhì)量為M，半徑為R，引力常量為G，則飛船所在處的重力加速度大小為（）A．0 B． C． D．

B題9假設(shè)火星和地球都是球體，火星質(zhì)量M火和地球質(zhì)量M地之比為M火∶M地=p，火星半徑R火和地球半徑R地之比為R火∶R地=q，那么火星表面處的重力加速度g火和地球表面處的重力加速度g地之比g火∶g地等于（）A．pq2 B． C．pq D．D題10

已知地題球質(zhì)量為月球質(zhì)量的81倍，地球半徑約為月球半徑的4倍。若在月球和地球表面同樣高度處，以相同的初速度水平拋出物體，拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)間的水平距離分別為s月和s地，則s月∶s地約為（）A．9∶4 B．6∶1 C．3∶2 D．1∶1【解析】對(duì)于處在星球表面的物體，其所受的重力近似等于萬(wàn)有引力，由公式=mg，代入數(shù)據(jù)可解得=；又由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知s=vt，t=，整理得s=，則s月∶s地=9∶4?！敬鸢浮緼題組三萬(wàn)有引力定律與拋體運(yùn)動(dòng)知識(shí)的綜合應(yīng)用題11某星球的質(zhì)量約為地球的9倍，半徑約為地球的一半，若從地