常用邏輯用語(yǔ)與充要條件【高考考情解讀】1.本講在高考中主要考查集合的運(yùn)算、充要條件的判定、含有一個(gè)量詞的命題的真假判斷與否定，常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何、數(shù)列等知識(shí)綜合在一起考查.2.試題以選擇題、填空題方式呈現(xiàn)，考查的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，題目難度中等偏下．1．命題的定義用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．其中判斷為真的語(yǔ)句叫真命題，判斷為假的語(yǔ)句叫假命題．2．四種命題及其關(guān)系(1)原命題為“若 p則q”，則它的逆命題為若 q則p；否命題為若┐ p則┐q；逆否命題為若q則┐p.(2)原命題與它的逆否命題等價(jià)； 逆命題與它的否命題等價(jià)． 四種命題中原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假，遇到復(fù)雜問(wèn)題正面解決困難的，采用轉(zhuǎn)化為反面情況處理，即，可以轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假．命題真假判斷的方法：對(duì)于一些簡(jiǎn)單命題，若判斷其為真命題需推理證明．若判斷其為假命題只需舉出一個(gè)反例．對(duì)于復(fù)合命題的真假判斷應(yīng)利用真值表．也可以利用“互為逆否命題”的等價(jià)性，判斷其逆否命題的真假．3．充分條件與必要條件的定義若p?q且qp，則p是q的充分非必要條件．(2)若q?p且p q，則p是q的必要非充分條件．若p?q且q?p，則p是q的充要條件．(4)若pq且q，則p是q的非充分非必要條件．p設(shè)集合＝{|x滿足條件p}，＝{|x滿足條件}，則有AxBxq(1)若A?B，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件；(2)若B?A，則p是q的必要條件，若BA，則p是q的必要不充分條件；若A＝B，則p是q的充要條件；若A?B，且B?A，則p是q的既不充分也不必要條件．2．充分、必要條件的判定方法定義法，直接判斷若p則q、若q則p的真假．傳遞法．集合法：若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則①若A?B，則p是q的充分條件；②若 B?A，則p是q的必要條件；③若 A＝B，則p是q的充要條件．等價(jià)命題法：利用A?B與┐B?┐A，B?A與┐A?┐B，A?B與┐B?┐A的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法，利用原命題和逆否命題是等價(jià)的這個(gè)結(jié)論，有時(shí)可以準(zhǔn)確快捷地得出結(jié)果，是反證法的理論基礎(chǔ)．1．簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞命題中的“且”、“或”、“非”叫作邏輯聯(lián)結(jié)詞．簡(jiǎn)單復(fù)合命題的真值表：pq┐p┐qp或qp且┐(p或q)┐(p且┐p或┐p且qq)┐q┐q真真假假真真假假假假真假假真真假假真真假假真真假真假假真真假假假真真假假真真真真全稱量詞與存在量詞常見(jiàn)的全稱量詞有“任意一個(gè)”“一切”“每一個(gè)”“任給”“所有的”等．常見(jiàn)的存在量詞有“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”“有些”“有一個(gè)”“某個(gè)”“有的”等．3．全稱命題與特稱命題含有全稱量詞的命題叫全稱命題．含有存在量詞的命題叫特稱命題．4．命題的否定(1)全稱命題的否定是特稱命題；特稱命題的否定是全稱命題．(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.注：1．邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”的含義邏輯聯(lián)結(jié)詞中的“或”的含義，與并集概念中的“或”的含義相同．如“x∈A或x∈”，B是指：x∈A且x?B；x?A且x∈B；x∈A且x∈B三種情況．再如“p真或q真”是指：p真且q假；p假且q真；p真且q真三種情況．2．命題的否定與否命題“否命題”是對(duì)原命題“若 p，則q”的條件和結(jié)論分別加以否定而得到的命題，其條件，又否定其結(jié)論；“命題的否定”即“非 p”，只是否定命題 p的結(jié)論．

它既否定命題的否定與原命題的真假總是對(duì)立的，即兩者中有且只有一個(gè)為真，而原命題與否命題的真假無(wú)必然聯(lián)系．3．含一個(gè)量詞的命題的否定全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．1．(2013·皖南八校

)命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是

(

)A．“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”B．“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”C．“若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”D．“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)”解析

依題意得原命題的逆命題是：若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)．選

B.2．

(2012·湖北

)命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是

(

)A．任意一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù) B．任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)C．存在一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù) D．存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)答案 B解析 這是一個(gè)特稱命題，特稱命題的否定不僅僅要否定結(jié)論而且要將相應(yīng)的存在量詞“存在一個(gè)”改為全稱量詞“任意一個(gè)”，故選 B。2．已知a，b，c∈R，命題“若 a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是( )A．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋2≥3，則＋＋＝3cabc答案A解析從“否命題”的形式入手，但要注意“否命題”與“命題的否定”的區(qū)別．命題的否命題是原命題的條件與結(jié)論分別否定后組成的命題，所以A正確．【山東省臨沂市某重點(diǎn)中學(xué)2014屆高三9月月考】命題“若函數(shù)f(x)logax(a0,a1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則loga20.”的逆否命題是（）A．若loga20，則函數(shù)f(x)logax(a0,a1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)B．若loga20，則函數(shù)f(x)logax(a0,a1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)C．若loga20，則函數(shù)f(x)logax(a0,a1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)D．若loga20，則函數(shù)f(x)logax(a0,a1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)命題“若x，y都是偶數(shù)，則 x＋y也是偶數(shù)”的逆否命題是 ( )A．若x＋y是偶數(shù)，則 x與y不都是偶數(shù)B．若x＋y是偶數(shù)，則 x與y都不是偶數(shù)C．若

x＋y不是偶數(shù)，則

x與y不都是偶數(shù)D．若

x＋y不是偶數(shù)，則

x與y都不是偶數(shù)答案

C解析

由于“x，y

都是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“

x，y

不都是偶數(shù)”，“

x＋y

是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“

x＋y不是偶數(shù)”，故原命題的逆否命題為“若

x＋y不是偶數(shù)，則

x，y不都是偶數(shù)”，故選

C.5．與命題“若

a∈M，則

b?

M”等價(jià)的命題是

(

)A．若

a?

M，則

b?

M

B．若

b?

M，則

a∈MC．若

a?

M，則

b∈M

D．若

b∈M，則

a?

M解析：因?yàn)樵}只與逆否命題是等價(jià)命題，所以只需寫出原命題的逆否命題即可．故選 D.答案：D4．下列命題中為真命題的是 ( )A．命題“若 x>y，則x>|y|”的逆命題B．命題“若 x>1，則x2>1”的否命題C．命題“若 x＝1，則x2＋x－2＝0”的否命題D．命題“若 x2>0，則x>1”的逆否命題答案 A解析對(duì)于A，其逆命題：若x>|y|，則x>y，是真命題，這是因?yàn)閥y≥0x>|y|＝y(tǒng)<0，－y必有x>y；對(duì)于B，否命題：若x≤1，則x2≤1，是假命題．如x＝－5，x2＝25>1；對(duì)于C，其否命題：若x≠1，則x2＋x－2≠0，因?yàn)閤＝－2時(shí)，x2＋x－2＝0，所以是假命題；對(duì)于D，若x2>0，則x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命題的逆否命題是假命題，故選A.2．已知命題p：?n∈N,2n＞1000，則┐p為()．A．?n∈N,2n≤1000B．?∈N,2n＞1000nC．?n∈N,2n≤1000D．?n∈N,2n＜1000解析特稱命題的否定是全稱命題．即p：?x∈M，p(x)，則┐p：?x∈M，┐p(x)．故選A.答案A4．(2012·湖北改編)命題“存在x3()0R0A．存在xD∈/?Q，x3B．存在x∈?30R00R0C．任意∈/?RQ，x3∈QD．任意x∈?RQ，3∈/QxDxD答案D解析“存在”的否定是“任意”，x3∈Q的否定是x3D∈/Q.330R0R1．(2011·安徽)命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是．．()A．所有不能被 2整除的整數(shù)都是偶數(shù)B．所有能被 2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)C．存在一個(gè)不能被 2整除的整數(shù)是偶數(shù)D．存在一個(gè)能被 2整除的整數(shù)不是偶數(shù)答案 D解析 由于全稱命題的否定是特稱命題， 本題“所有能被 2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”是全稱命題，其否定為特稱命題“存在一個(gè)能被 2整除的整數(shù)不是偶數(shù)”．2．(2012·遼寧改編)已知命題 p：對(duì)任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)≥0，則┐p是( )A．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．對(duì)任意 x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．對(duì)任意 x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0答案 C解析 ┐p：存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0.2．

(2012·安徽

)命題“存在實(shí)數(shù)

x，使

x>1”的否定是．．

(

)A．對(duì)任意實(shí)數(shù)

x，都有

x>1B．不存在實(shí)數(shù)

x，使

x≤1C．對(duì)任意實(shí)數(shù)

x

，都有

x≤1D．存在實(shí)數(shù) x，使x≤1答案 C解析 利用特稱命題的否定是全稱命題求解．“存在實(shí)數(shù) x，使x>1”的否定是“對(duì)任意實(shí)數(shù) x，都有x≤1”．故選 C.11．給出以下三個(gè)命題：①若ab≤0，則a≤0或b≤0；②在△ABC中，若sin A＝sin B，則A＝B；③在一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，則方程有實(shí)數(shù)根．其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題全都是真命題的是 ( )A．①B．②C．③D．②③答案(1)A(2)B21122解析(1)不等式2x＋x－1>0的解集為xx>2或x<－1，故由x>2?2x＋x－1>0，但2x＋x11>0D?/x>2，故選A.在△ABC中，由正弦定理得sinA＝sinB?a＝b?A＝B.故選B.6．下列結(jié)論：①若命題p：存在x∈R，tanx＝1；命題q：對(duì)任意x∈R，x2－x＋1>0.則命題“p且┐q”是假命題；a②已知直線

l1：ax＋3y－1＝0，l

2：x＋by＋1＝0，則

l1⊥l

2的充要條件是

b＝－3；③命題“若 x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題：“若 x≠1，則x2－3x＋2≠0”．其中正確結(jié)論的序號(hào)為 ________．答案 ①③解析 ①中命題p為真命題，命題 q為真命題，所以 p且┐q為假命題，故①正確；②當(dāng)b＝a＝0時(shí)，有l(wèi)1⊥l2，故②不正確；③正確．所以正確結(jié)論的序號(hào)為①③.5．下列命題中正確命題的序號(hào)是 ________．①若

ac2>bc2，則

a>b；②若sin α＝sin β，則α＝β；③“實(shí)數(shù)a＝0”是“直線 x－2ay＝1和直線2x－2ay＝1平行”的充要條件；④若f(x)＝log2，則f(|x|)是偶函數(shù)．x答案①③④解析對(duì)于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正確；對(duì)于②，sin30°＝sin150°D?/30°＝150°，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，l1∥2?12＝21，即－2＝－4?＝0且12≠21，所以③對(duì)；對(duì)于lABABaaaACAC④顯然對(duì)．6．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______．答案 [3,8)解析 因?yàn)閜(1)是假命題，所以 1＋2－m≤0，解得m≥3；又因?yàn)?p(2)是真命題，所以 4＋4－m>0，解得m<8.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是 3≤m<8.以下命題是真命題的序號(hào)是 ________．“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)也是奇函數(shù)”的逆命題；“若x，y是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的否命題；“正三角形的三個(gè)內(nèi)角均為60°”的否命題；“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的逆否命題；【解析】 對(duì)于(4)，只需證明原命題為真，∵ a＋b＋c＝3，∴(a＋b＋c)2＝9.a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝9，從而3(a2＋b2＋c2)≥9，∴a2＋b2＋c2≥3成立．【答案】(1)(3)(4)2．下列命題中正確的是()A．若命題p為真命題，命題q為假命題，則命題“p∧”為真命題q1 πB．“sin α＝2”是“α＝6”的充分不必要條件C．l為直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，若l⊥β，α⊥β，則l∥αD．命題“?x∈R,2x>0”的否定是“?x0∈R,2x0≤0”答案D對(duì)A，只有當(dāng)p，q全是真命題時(shí)，p∧q為真；對(duì)B，sin1?α＝2kπ＋π解析α＝或2kπ265π1π＋，k∈Z，故“sinα＝”是“α＝”的必要不充分條件；對(duì)C，l⊥β，α⊥β?l∥α626或l?α；對(duì)D，全稱命題的否定是特稱命題，故選D.15．給出下列四個(gè)命題：①命題“若 α＝β，則cosα＝cosβ”的逆否命題；2>0”的否定是：“2②“?x0∈R，使得x0－x0?x∈R，均有x－x<0”；③命題“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要條件；p：a∈{a，b，c}，q：{a}?{a，b，c}，p且q為真命題．其中真命題的序號(hào)是________．(填寫所有真命題的序號(hào))答案 ①④解析 對(duì)①，因命題“若 α＝β，則cosα＝cosβ”為真命題，所以其逆否命題亦為真命題，①正確；2對(duì)②，命題“?x0∈R，使得x0－x0>0”的否定應(yīng)是：“?x∈R，均有x2－x≤0”，故②錯(cuò)；對(duì)③，因由“x2＝4”得x＝±2，所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要不充分條件，故③錯(cuò)；對(duì)④，p，q均為真命題，由真值表判定 p且q為真命題，故④正確 10．給出下列命題：?x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；②若log2x＋logx2≥2，則x>1；cc③“若a>b>0且c<0，則a>b”的逆否命題；④若p且q為假命題，則 p，q均為假命題．其中真命題是 ( )A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④答案A21解析①中不等式可表示為(x－1)＋2>0，恒成立；②中不等式可變?yōu)閘og2x＋log2x≥2，得x>1；11③中由a>b>0，得a<b，而c<0，所以原命題是真命題，則它的逆否命題也為真；④由p且q為假只能得出 p，q中至少有一個(gè)為假，④不正確．12．給出下列命題：①原命題為真，它的否命題為假；②原命題為真，它的逆命題不一定為真；③一個(gè)命題的逆命題為真，它的否命題一定為真；④一個(gè)命題的逆否命題為真，它的否命題一定為真；⑤“若m>1，則mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集為R”的逆命題．其中真命題是________．(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填在橫線上 )解析：原命題為真，而它的逆命題、否命題不一定為真，互為逆否命題同真同假，故①④錯(cuò)誤，②③正確．又因?yàn)椴坏仁?－2(＋1)＋＋3>0的解集為R，mxmxm>0>0由m?m?m>1.＝4m＋12－4mm＋3<0m>1故⑤正確．答案：②③⑤3．設(shè)x，y∈R，則“x2＋y2≥9”是“x>3且y≥3”的( )A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案 B解析 結(jié)合圖形與性質(zhì)，從充要條件的判定方法入手．如圖：x2＋y2≥9表示以原點(diǎn)為圓心， 3為半徑的圓上及圓外的點(diǎn)，當(dāng) x2＋y2≥9時(shí)，x>3且y≥3并不一定成立，當(dāng)x＝2，y＝3時(shí)，x2＋y2≥9，但x>3且y≥3不成立；而x>3且y≥3時(shí)，x2＋y2≥9一定成立，故選B.一個(gè)命題的否命題、逆命題、逆否命題是根據(jù)原命題適當(dāng)變更條件和結(jié)論后得到的形式上的命題，解這類試題時(shí)要注意對(duì)于一些關(guān)鍵詞的否定，如本題中等于的否定是不等于，而不是單純的大于、也不是單純的小于．進(jìn)行充要條件判斷實(shí)際上就是判斷兩個(gè)命題的真假，這里要注意斷定一個(gè)命題為真需要進(jìn)行證明，斷定一個(gè)命題為假只要舉一個(gè)反例即可．4．“a>0”是“|a|>0”的( )A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D ．既不充分也不必要條件解析

因?yàn)閨

a|>0?

a>0或

a<0，所以

a>0?|a|>0，但|a|>0

a>0，所以

a>0是|a|>0

的充分不必要條件，故選

A.5．0＜x＜5是不等式

|x－2|＜4成立的(

)A．充分不必要條件 B ．必要不充分條件C．充要條件 D ．既不充分也不必要條件解析由|x－2|<4，得－2<x<6。0＜x＜5是－2<x<6的子集，0＜x＜5是不等式|x－2|＜4成立的充分不必要條件。6．(2012·陜西)設(shè)a，∈R，i是虛數(shù)單位，則“＝0”是“復(fù)數(shù)＋b為純虛數(shù)”的()babaiA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件b解析由a＋i為純虛數(shù)可知a＝0，b≠0，所以ab＝0.而ab＝0a＝0，且b≠0.故選B項(xiàng)．7．(2012·重慶)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的()A．既不充分也不必要條件B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件D．充要條件解析∵∈[0,1]時(shí)，(x)是增函數(shù)，又∵y＝(x)是偶函數(shù)，xff∴x∈[－1,0]時(shí)，f(x)是減函數(shù)．當(dāng)x∈[3,4]時(shí)，x－4∈[－1,0]，∵＝2，Tf(x)＝f(x－4)．∴x∈[3,4]時(shí)，f(x)是減函數(shù)，充分性成立．反之：x∈[3,4]時(shí)，f(x)是減函數(shù)，x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)．x∈[－1,0]時(shí)，f(x)是減函數(shù)．∵y＝f(x)是偶函數(shù)，∴x∈[0,1]時(shí)，f(x)是增函數(shù)，故選D.8．(2011·天津)設(shè)x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件227解析因?yàn)閤≥2且y≥2?x＋y≥4易證，所以充分性滿足，反之，不成立，如x＝y(tǒng)＝4，滿足x2＋y2≥4，但不滿足x≥2且y≥2，所以x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分而不必要條件，故選擇A.9．已知a、b是實(shí)數(shù)，則3a＜3b是log3a＜log3b的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析由題知，3a＜3b＜，3＜3b?0＜＜b.故a＜3b是log3a＜log3b的必要不充分?ablogaloga3條件．故選B.1210．(2012·天津)設(shè)x∈R，則“x>2”是“2x＋x－1>0”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．

(2013