§1.1

函數

§1.2

極限的概念

§1.3

極限的四則運算法則與函數的連續(xù)性

§1.4

復利與貼現

第一章函數與極限1

一.數列的極限

二.函數的極限§1.2極限的概念

三.無窮小與無窮大2

一.數列的極限案例1

戰(zhàn)國時期哲學家:莊周“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”《莊子天下篇》一尺即“一根長為一尺的棒頭，每天截去一半，這樣的過程可以無限地進行下去.”實際上，每天截后剩下的棒的長度是（單位為尺）：第3天剩下；……；第1天剩下；第2天剩下；第21天剩下；3第天剩下；……；這樣，我們就得到一列數……；第22天剩下；……這一列數就是一個數列.

隨著時間的推移，剩下的棒的長度越來越短.顯然,當天數無限增大時,剩下的棒的長度將無限縮短,即剩下的棒的長度接近于數0.

這時我們就稱由剩下的棒的長度構成的數列以常數0為極限.并記作4

一般地，按正整數順序排列的無窮多個數,稱為數列,數列通常記作

定義1.2設數列

1.數列

第一項

第二項

第項,也稱為通項或一般項2.數列的極限若當無限增大時,趨向于常數,則稱數列以為極限，記作或

有極限的數列稱為收斂數列.沒有極限的數列稱為發(fā)散數列.

5收斂數列舉例

當無限增大時,由于無限接近于數0,

所以無限接近于數1,因此數列以1為極限.即數列6發(fā)散數列舉例

當無限增大時,也無限增大,它不趨于任何常數,該數列就沒有極限.

(1)數列

注意到隨著無限增大，它有確定的變化趨勢，即取正值且無限增大，對這種情況，我們借用極限的記法表示它的變化趨勢，記作或

正無窮大

7發(fā)散數列舉例

可分別記作

負無窮大

同樣，對數列

無窮大

(2)數列通項為,其數值-1和+1上跳來跳去，也不能接近某一常數，這樣的數列也沒有極限.8

將數列取值計算,列表如下.考察其極限是否存在.12.000000102.5937421022.7048141032.7169241042.7181461052.7182681062.718280當無限增大時練習1數列增加得越來越慢9

由上表可看出，該數列是單調增加的;若再仔細分析表中的數值會發(fā)現,隨著增大,數列后項與前項的差值在減少,而且減少得相當快.

這表明,數列的通項當無限增大時.它將趨于一個常數.

可以推出,該數列有極限,且其極限為,即

是一個無理數,=2.718281828459…．.101.當時，函數的極限

在這里作為函數的自變量.若取正值且無限增大,記作若取負值且其絕對值無限增大,記作若既取正值又取負值,且其絕對值無限增大,記作

這里，“當時，函數的極限”，就是討論當自變量的絕對值無限增大時，函數的變化趨勢.若

無限接近常數,就稱當趨于無窮大時，函數以

為極限.

二.函數的極限11案例2

經研究,得到非常有名的揭示遺忘規(guī)律的曲線,稱為艾賓浩斯遺忘曲線.圖中豎軸表示學習中記住的知識數量，橫軸表示時間(天數)，曲線表示記憶量變化的規(guī)律．德國心理學家:

艾賓浩斯(H.Ebbinghaus)

這條曲線告訴人們在學習中的遺忘是有規(guī)律的,遺忘的進程不是均衡的,到了相當長的時候后,幾乎就不再遺忘了,這就是遺忘的發(fā)展規(guī)律.該問題可理解為:當時間趨于正無窮大時,記憶的數量將以為極限.121.當時，函數的極限

或定義1.3設函數在時有定義,若當時,函數趨于常數,則稱函數當趨于無窮大時以為極限，記作

定義1.3的幾何意義:曲線沿著軸的正向和負向無限遠伸時,與直線越來越接近.此時,稱直線為曲線的水平漸近線.

13例如,由下圖可知

它的左側分支沿著軸的負向無限遠伸時,與直線越來越接近,即以直線為水平漸近線.

它的右側分支沿著軸的正向無限遠伸時,與直線越來越接近,即以直線為水平漸近線.

14一般地，對曲線,若或則直線是曲線的水平漸近線．

15(1)當時,函數的極限

或

若當時,函數趨于常數,則稱函數當趨于負無窮大時以為極限,記作(2)當時,函數的極限

或

若當時,函數趨于常數,則稱函數當趨于正無窮大時以為極限,記作16

時,函數的極限與

時,函數的極限的關系：

極限存在且等于的充分必要條件是:極限與都存在且等于,即17練習3求

解由圖易看出由極限存在的充分必要條件知不存在.曲線沿著軸的負方向無限延伸時,以直線為水平漸近線.182.當時，函數的極限

是一個定數.若且趨于,記作若且趨于,記作若和同時發(fā)生,則記作.

這里，“當時,函數的極限”,就是在點

的左右鄰近討論當自變量

無限接近定數(但不取)時，函數的變化趨勢.

若當趨于時,函數的對應值趨于常數,則稱當時,函數以為極限.1900.50.80.90.990.9990.99990.999990.999999...11.51.81.91.991.9991.99991.999991.999999...21.51.21.11.011.0011.00011.000011.000001...32.52.22.12.012.0012.00012.000012.000001...相應的函數值的變化情況見表:

案例3設函數,試討論當時，函數的變化情況.當時,函數當,時,函數當時,函數20案例3設函數,試討論當時，函數的變化情況.由圖也可看出:當,時,函數以2為極限，記作:212.當時,函數的極限

或定義1.4設函數在點的左右鄰近有定義(在點可以有定義,也可以沒有定義)若當

(但始終不等于)時,函數趨于常數,則稱函數當趨于無窮大時以為極限,記作例如,由圖可知22另,由右圖可知由左圖可知232.(1)左極限或若當時,函數趨于常數,則稱函數當趨于時以為左極限,記作2.(2)右極限或若當時,函數趨于常數,則稱函數當趨于時以為右極限,記作24都存在且等于.即極限存在且等于的充分必要條件是左極限與右極限25練習3

和是否存在．

設函數,試討論極限,

解由圖可看出在處,函數的左、右極限都存在,但不相等,故不存在．

26練習4考察當時,的極限是否存在.

解由圖可看出

由于當

時,有確定的變化趨勢，這時也稱當

時,

的極限是負無窮大，并記作

當時,

取負值,且其絕對值無限增大,即當時,的極限不存在．該曲線在軸右側沿軸負方向無限延伸時,與直線無限接近,稱為曲線的鉛垂?jié)u近線.27一般地,對曲線

,若

或則直線是曲線的鉛垂?jié)u近線．以上我們引入了下述七種類型的極限,即說明為了統一地論述它們共有的運算法則,本書若不特別指出是其中的哪一種極限時,將用

或

泛指其中的任何一種,其中的

或

常稱為變量.

28

三.無窮小與無窮大無窮小概念引入：29極限為零的變量稱為無窮小.無窮小的定義注意

（1）無限變小的量不是無窮小，應絕對值無限變?。唬?）在常量中,惟有數0是無窮??；

（2）應先說明自變量的趨勢；（4）當x→0時,

x，x2,

2x

都是無窮小。30無窮小的性質(1)兩個無窮小的代數和仍是無窮小;注意:無限多個無窮小量的和不一定是無窮小量．有限個31無窮小的性質(2)無窮小與有界變量的乘積是無窮?。皇怯薪缱兞?于是,由無窮小的運算