四年級等差數(shù)列求和TTAstandardizationoffice[TTA5AB-TTAK08-TTA2C]

第3講：等差數(shù)列求和德國著名數(shù)學家高斯幼年時代聰明過人，上學時，有一天老師出了一道題讓同學計算:1+2+3+4++99+100=?老師出完題后，全班同學都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準呢？原來小高斯通過細心觀察發(fā)現(xiàn)：1+100=2+99=3+98==49+52=50+51。100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為（1十100）X100-2=5050。小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列’的求和問題。若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列的第一個數(shù)（第一項）叫首項，最后一個數(shù)（最后一項）叫末項，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的差是一個不變的數(shù)，這樣的數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個不變的數(shù)則稱為這個數(shù)列的公差。計算等差數(shù)列的和，可以用以下關系式：等差數(shù)列的和二（首項+末項）x項數(shù)末項=首項+公差x（項數(shù)-1）項數(shù)=（末項-首項）。公差+1例1：計算下列數(shù)列的和1,2,3,4,5,,100；8,15,22,29,36,,71o其中(1)是首項為L末項為100,公差為1的等差數(shù)列；(2)是首項為8,末項為71,公差為7的等差數(shù)列。由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：和=(首項十末項)x項數(shù)-2隨堂小練：計算等差數(shù)列L3,5,7,9,,99的和例2：計算下面數(shù)列的和1+2+3++1999分析：這串加數(shù)1,2.3,,1999是等差數(shù)列，首項是1,末項是1999,共有1999個數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得解：原式=(1+1999)x1999-2=1999000注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數(shù)是否構成等差數(shù)列。例3：計算下面數(shù)列的和11+12+13++31分析：這串加數(shù)11,12,13,,31是等差數(shù)列，首項是11,末項是31,共有31-11+1=21(項)。解：原式=(H+31)x21-2=441在利用等差數(shù)列求和公式時，有時項數(shù)并不是一目了然的，這時就需要先求出項數(shù)。根據(jù)首項、末項、公差的關系，可以得到項數(shù)=(末項-首項):公差十1,末項=首項十公差X(項數(shù)-1)。例4：計算下面數(shù)列的和3+7+11++99分析：3,7.111.99是公差為4的等差數(shù)列，項數(shù)=(99-3)-4+1=25解：原式=(3+99)x25=2=1275例5：求首項是25,公差是3的等差數(shù)列的前40項的和。解：末項=25+3x(40-1)=142,和=(25+142)x40-2=3340o利用等差數(shù)列求和公式及求項數(shù)和末項的公式，也可以解決各種與等差數(shù)列求和有關的問題。隨堂小練：(1)求等差數(shù)列：1、3、5、7、9……它的第21項是多少？(2)求等差數(shù)列：2、6、10、14、18……它的第60項是多少？例6：已知數(shù)列2、5、8、11、14……35,這個數(shù)列共有多少項？分析：第2項比首項多1個公差,第3項比首項多2個公差，第4項比首項多3個公差……，那第n項比首項多(n-1)個公差?？筛鶕?jù),項數(shù)=(末項-首項):公差+1進行計算，(35-2)±3十1=12。所以，這個數(shù)列共有12項。由此可知：項數(shù)=(末項-首項)。公差+1隨堂小練：(1)有一個等差數(shù)列：1、3、5、7、9……99,這個等差數(shù)列共有多少項？⑵(3)有一個等差數(shù)列：2、5、8、11……101,這個等差數(shù)列共有多少項？例7：在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2,邊長是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米（2）整個圖形由多少根火柴棍擺成分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數(shù)目為1、3、5、7、9等，由此可知，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。解：⑴最大三角形面積為（1十3十5十十⑸xl2=[（1+15）x8=2]x12=768（平方厘米）2）火柴棍的數(shù)目為3+6+9H24=（3+24）x8-2=108（根）。答：最大三角形的面積是768厘米2,整個圖形由108根火柴擺成。例8：盒子里放有三只乒乓球，一位魔術師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球？分析：一只球變成3只球，實際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2x2只球第十次多了2x10只球。因此拿了十次后，多了2xl+2x2++2xl0=2x（1+2++10）=2x55=110（只）。加上原有的3只球，盒子里共有球110+3=113（只）。解：綜合列式為：（3-1）x（1+2++10）+3=2x[（1+10）xlO-2]+3=113（只）課后練習：1、求下列等差數(shù)列的和。6+7+8+9+……+74+752+6+10+14+……+122+1261+2+3+4+……+2007+20082、有一個數(shù)列，4、10、16、22……52,這個數(shù)列有多少項？3、4、一個等差數(shù)列，首項是3,公差是2,項數(shù)是10。它的末項是多少？5、求等差數(shù)列1、4、7、10……，這個等差數(shù)列的第30項是多少？6、7、有一個數(shù)列：6、10、14、18、22……,這個數(shù)列前100項的和是多少？8、9、在等差數(shù)列1、5、9、13、17……401中，401是第幾項第50項是多少10、11、求1—99個連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字的和。12、8已知等差數(shù)列5,8,11…，求出它的第1