空間角專題復(fù)習(xí)●知識(shí)梳理一、異面直線所成的角及求法定義：在空間任意取一點(diǎn)，過該點(diǎn)分別作兩異面直線的平行線所成的銳角或直角稱為兩異面直線所成的角．π取值范圍：若θ是異面直線a和b所成的角，則其取值范圍是θ∈(0，2]，π當(dāng)θ＝2時(shí)，稱異面直線a和b垂直，記為a⊥b.求法：平移法：將兩異面直線中的一條或兩條平移至某特殊點(diǎn)后，構(gòu)造三角形，通過解該三角形而求其大?。欢?、直線與平面所成的角及求法定義：設(shè)l和α分別表示直線與平面．①若l∥α或l?α，則稱直線l和平面α所成的角為0；②若l⊥α，則稱l與α所成的角為 ；③若l與α相2交，則l與l在α內(nèi)的射影所成的銳角為直線 l與平面α所成的角．(2)取值范圍：設(shè)θ是直線l與平面α所成的角，則θ的取值范圍是[0, ]．2求法：定義法：探尋直線l在平面α內(nèi)的射影，(通常由垂直法找射影)構(gòu)造直線l與平面α所成角對應(yīng)的直角三角形，通過解該直角三角形而求得直線與平面所成的角．三、二面角及求法定義：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)作棱的垂線，則這兩垂線所成的角稱為該二面角的平面角，且定義平面角的大小為該二面角的大?。≈捣秶阂?guī)定二面角的取值范圍為[0，π]．求法：定義法：分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)作棱的垂線，則這兩垂線所成的角稱為該二面角的平面角●練習(xí)提升1．如圖，直線AB與

E、F分別是三棱錐PC所成的角為 (

P－ABC的棱)

AP、BC的中點(diǎn)，

PC＝10，AB＝6，EF＝7，則異面A．30°

B．45°C．60°

D

．90°答案：C已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，則直線BC1和平面DBB1D1所成的角的正弦值為( )A.3B.522C.10D.10510答案：C如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將菱形沿對角線AC折起，使折起后BD＝1，則二面角B－AC－D的余弦值為()11A.3B.2223C.3D.2答案：A4．在正方體ABCD－ABCD中，BC與對角面DDBB所成角的大小是()1111111A．15°B．30°C．45°D．60°答案：B5．如圖，ABCD－A1B1C1D1是長方體，AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，則AB與A1C1所成的角為________，AA1與B1C所成的角為________．答案：300，450在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線A1B與平面ABCD所成的角是________；直線A1B與平面ABC1D1所成的角是________；直線A1B與平面AB1C1D所成的角是________．答案(1)45°(2)30°(3)90°7．設(shè)直線與平面所成角的大小范圍為集合 P，二面角的平面角大小范圍為集合 Q，異面直線所成角的大小范圍為集合 R，則P、Q、R的關(guān)系為( )A．R＝P?Q B．R?P?QC．P?R?Q D ．R?P＝Q答案：

B8．設(shè)△ABC和△DBC所在兩平面互相垂直，且

AB＝BC＝BD＝a，∠CBA＝∠CBD＝120°，則AD與平面

BCD所成角的大小為

(

)A．30°

B

．45°C．60°

D

．75°解析：作AO⊥CB交CB的延長線于 O，連接OD，則OD即為AD在平面BCD內(nèi)的射影，∠ADO即為AD與平面BCD所成的角．3AO＝OD＝2a，∴∠ADO＝45°.答案：B如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(diǎn)(不同于A、B)且PA＝AC，則二面角P—BC—A的大小為 ( )A．60°

B．30°

C．45°

D．15°答案

C10．如圖，已知四棱錐

P－ABCD的底面是正方形，

PA⊥平面

ABCD，且

PA＝AD，則平面

PAB與平面PCD所成的二面角的度數(shù)為 ( )A．90° B ．60°C．45° D ．30°解析：∵AB∥CD，∴面PAB與平面PCD的交線l必為過P點(diǎn)與AB平行的直線．PA⊥平面ABCD，PA⊥AB，PA⊥CD，又CD⊥AD，DC⊥平面PAD，DC⊥PD，PA⊥l，PD⊥l，即∠APD為所求二面角的平面角，∠APD＝45°.答案：C11．把正方形 ABCD沿對角線BD折成直二面角，對于下列結(jié)論：AC⊥BD；②△ADC是正三角形；③AB與CD成60°角；④AB與平面BCD成60°角．則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．1個(gè) B ．2個(gè) C ．3個(gè) D ．4個(gè)解析：取BD的中點(diǎn)O，則BD⊥OC，BD⊥OA，得BD⊥平面AOC，∴1BD⊥AC，①正確；cosADC＝cos45°·cos45°＝，∠ADC＝60°，AD＝DC，2△ADC是正三角形，②正確；AB與CD成60°角，③正確；AB與平面BCD成角∠ABO＝45°，④錯(cuò)誤．答案：C12．如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1中，過頂點(diǎn)B、D、C1作截面，則二面角B－DC1－C的平面角的余弦值是________．解析：取C1D的中點(diǎn)O，連接BO、CO，則BO⊥C1D，CO⊥C1D，∴∠BOC是二面角B－DC1－C的平面角．2設(shè)正方體的棱長為 1，則CO＝2，∵△BDC1為正三角形，6∴OB＝2，且BC＝1，2223∴cos∠BOC＝OB＋OC－BC2OB·OC＝3.3答案：313．如圖，在直三棱柱－111中，＝＝1，∠＝90°，點(diǎn)、F分別是棱、ABCABCABBCAAABCEABBB的中點(diǎn)．則直線EF和BC所成的角是()11A．45°B．60°C．90°D．120°解析：取BC的中點(diǎn)G，AB的中點(diǎn)H，連結(jié)FG、BG、HG、EH，則FG∥BC，且∠EFG或111111其補(bǔ)角就是所求的角，利用余弦定理可求得cos∠EFG＝－2，故所求角為60°.答案：B14．如圖，將Rt△ABC沿斜邊上的高 AD折成120°的二面角C－AD－C′，若直角邊AB＝4 3，AC＝46，則二面角A－BC′－D的正切值為()2A.2B.22C.4D．1解析：∠CDC′＝120°，過D作DE⊥BC′于E，連結(jié)AE，則∠AED即為所求．又知AD⊥平面BC′D，AD＝42，在△BC′D中，由余弦定理求得BC′＝43，再由面積公式S△BC′D11·BD·C′D·sin60°知DE＝4，∴tan∠AED＝AD＝BC′·DE＝＝2.22DE答案：A點(diǎn)評：考查二面角的知識(shí)，余弦定理及三角形的邊角計(jì)算．如何作出二面角的平面角是解決此類問題的關(guān)鍵．15．在矩形中，＝3，＝4，⊥平面，43—的度＝，那么二面角—ABCDABADPAABCDPA5ABDP數(shù)是()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：如右圖所示，過 A作AE⊥BD，垂足為E，連結(jié)PE，則PE⊥BD(三垂線定理)，故∠PEA為二面角P—BD—A的平面角．AB·AD12在Rt△BAD中，AE＝ BD＝5.PA 3在Rt△PAE中，tan∠PEA＝AE＝3，∴∠PEA＝30°.答案：A16．正四棱錐 P—ABCD的兩個(gè)側(cè)面 PAB與PCD互相垂直，則相鄰兩個(gè)側(cè)面所成二面角的平面角為()A．60°B．90°C．120°D．150°解析：如圖，作BE⊥PC，連結(jié)DE.∵△PDC≌△PBC，∴DE⊥PC∴∠DEB就是二面角 D—PC—B的平面角，∵O為DB的中點(diǎn)，1∴∠OEB＝2∠DEB，又∵面PAB⊥面PCD，1PO＝2AB，2 3在Rt△POC中，OC＝2AB，所以PC＝2AB.1 22AB·2AB 6∴OE＝ 3 ＝6AB.AB2∴tan∠＝2AB3，＝6ABπ

2π∴∠OEB＝

3，∴∠DEB＝

3

.答案：C如圖，在四棱錐V—ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，其它四個(gè)側(cè)面都是側(cè)棱長為5的等腰三角形，則二面角V—AB—C的度數(shù)是________．答案 60°π18．如圖①，直角梯形 ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝2，點(diǎn)M、N分別在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC＝2，MB＝4，現(xiàn)將梯形 ABCD沿MN折起，使平面 AMND與平面MNCB垂直(如圖②)．求證：AB∥平面DNC；3當(dāng)DN＝2時(shí)，求二面角D－BC－N的大?。猓?1)證明：MB∥NC，MB?平面DNC，NC?平面DNC，∴MB∥平面DNC.同理MA∥平面DNC，又MA∩MB＝M，且MA、MB?平面MAB.∴平面MAB∥平面NCD?AB∥平面DNC.AB?平面MAB過N作NH⊥BC交BC延長線于H，∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN，∴DN⊥平面MBCN，從而DH⊥BC，∴∠DHN為二面角D－BC－N的平面角．由MB＝4，BC＝2，∠MCB＝90°知∠MBC＝60°，3CN＝4－2cos60°＝3，∴NH＝3sin60°＝2.由條件知：tanNHD＝DN3，∴∠NHD＝30°.＝3NH如圖，已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝2，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)．求證：AF∥平面PEC；求PC與平面ABCD所成的角的正切值；求二面角P－EC－D的正切值．解：(1)證明：如圖，取 PC的中點(diǎn)O，連接OF、OE，則FO∥DC，1且FO＝2DC，F(xiàn)O∥AE，又E是AB的中點(diǎn)，且AB＝DC，∴FO＝AE.∴四邊形AEOF是平行四邊形，AF∥OE.又OE?平面PEC，AF?平面PEC，AF∥平面PEC.如圖，連接AC，∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直線PC與平面ABCD所成的角．在Rt△PAC中，PAtan∠PCA＝AC5＝，555即直線PC與平面ABCD所成的角的正切值為如圖，作AM⊥CE，交CE的延長線于M.

5

.連接PM，由三垂線定理得 PM⊥CE，∴∠PMA是二面角P－EC－D的平面角．由△AME∽△CBE可得＝2，AM2∴tan∠＝PA＝2.PMAAM∴二面角P－EC－D的正切值為 2.如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，BCD＝60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝3.(1)證明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大?。C明如圖所示,連接BD,由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等邊三角形．因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.又BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠

PAPBA＝AB＝

3，則∠

PBA＝60°.故二面角

A—BE—P的大小是

60°.21．已知平面 α外兩點(diǎn)A、B到平面α的距離分別為 1和2，A、B兩點(diǎn)在α內(nèi)的射影之間距離為 3，求直線 AB和平面α所成的角．解(1)如圖(1)，當(dāng)A、B位于平面α同側(cè)時(shí)，由點(diǎn)A、B分別向平面α作垂線，垂足分別為A1、B1，則AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝3.過點(diǎn)A作AH⊥BB1于H，則AB和α所成角即為∠HAB.而tan∠2－13＝30°.＝＝.∴∠33如圖(2)，當(dāng)A、B位于平面α異側(cè)時(shí)，經(jīng)A、B分別作AA1⊥α于A1，B