2022/11/1

靜電場(chǎng)是指由相對(duì)觀察者靜止且量值不隨時(shí)間變化的電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)。

本章任務(wù)：本章是靜電學(xué)內(nèi)容，主要介紹靜止電荷所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)的基本性質(zhì)和規(guī)律；還介紹靜電場(chǎng)與場(chǎng)域內(nèi)其它媒質(zhì)的相互作用和相互影響。從庫(kù)侖定律和疊加原理出發(fā)，運(yùn)用矢量分析，討論真空中靜電場(chǎng)的基本方程。

靜電場(chǎng)是本課程的基礎(chǔ)。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可類比推廣到恒定電場(chǎng),恒定磁場(chǎng)及時(shí)變場(chǎng)。

靜電場(chǎng)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖第二章靜電場(chǎng)2022/10/22靜電場(chǎng)是指由相對(duì)觀察者靜止且量值2022/11/1基本實(shí)驗(yàn)定律（庫(kù)侖定律）基本方程電位（）數(shù)值法解析法直接積分法分離變量法鏡像法，電軸法唯一性定理

靜電場(chǎng)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖邊界條件有限差分法邊值問題微分方程分界面銜接條件基本物理量（電場(chǎng)強(qiáng)度）EE的旋度E的散度靜電參數(shù)(電容及部分電容)靜電能量與力2022/10/22基本實(shí)驗(yàn)定律（庫(kù)侖定律）基本方程電位（2022/11/132022/11/13

庫(kù)侖定律與電場(chǎng)強(qiáng)度

高斯定理

靜電場(chǎng)的旋度與靜電場(chǎng)的電位

電偶極子

電介質(zhì)中的場(chǎng)方程

靜電場(chǎng)的邊界條件

導(dǎo)體系統(tǒng)的電容

電場(chǎng)能量與能量密度

電場(chǎng)力第二章靜電場(chǎng)2022/10/2232022/10/223庫(kù)侖定律與電場(chǎng)2022/11/14庫(kù)侖定律2.1庫(kù)侖定律與電場(chǎng)強(qiáng)度圖2–1庫(kù)侖定律用圖2022/10/224庫(kù)侖定律2.1庫(kù)侖定律與電場(chǎng)強(qiáng)度圖式中：R=r-r′表示從r′到r的矢量；R是r′到r的距離；R°是R的單位矢量；ε0是表征真空電性質(zhì)的物理量，稱為真空的介電常數(shù)，其值為

庫(kù)侖定律表明，真空中兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的作用力的大小與兩點(diǎn)電荷電量之積成正比，與距離平方成反比，力的方向沿著它們的連線，同號(hào)電荷之間是斥力，異號(hào)電荷之間是引力。點(diǎn)電荷q′受到q的作用力為F′，且F′=-F，可見兩點(diǎn)電荷之間的作用力符合牛頓第三定律。庫(kù)侖定律可推廣到無(wú)限大各向同性均勻介質(zhì)中式中：R=r-r′表示從r′到r的矢量；R是r′到r的距離；

庫(kù)侖定律只能直接用于點(diǎn)電荷。所謂點(diǎn)電荷，是指當(dāng)帶電體的尺度遠(yuǎn)小于它們之間的距離時(shí)，將其電荷集中于一點(diǎn)的理想化模型。對(duì)于實(shí)際的帶電體，一般應(yīng)該看成是分布在一定的區(qū)域內(nèi)，稱其為分布電荷。用電荷密度來(lái)定量描述電荷的空間分布情況。電荷體密度的含義是，在電荷分布區(qū)域內(nèi)，取體積元ΔV，若其中的電量為Δq，則電荷體密度為其單位是庫(kù)/米3(C/m3)。這里的ΔV趨于零，是指相對(duì)于宏觀尺度而言很小的體積，以便能精確地描述電荷的空間變化情況；但是相對(duì)于微觀尺度，該體積元又是足夠大，它包含了大量的帶電粒子，這樣才可以將電荷分布看作空間的連續(xù)函數(shù)。庫(kù)侖定律庫(kù)侖定律只能直接用于點(diǎn)電荷。所謂點(diǎn)電荷，是指

如果電荷分布在宏觀尺度h很小的薄層內(nèi)，則可認(rèn)為電荷分布在一個(gè)幾何曲面上，用面密度描述其分布。若面積元ΔS內(nèi)的電量為Δq，則面密度為

對(duì)于分布在一條細(xì)線上的電荷用線密度描述其分布情況。若線元Δl內(nèi)的電量為Δq，則線密度為庫(kù)侖定律如果電荷分布在宏觀尺度h很小的薄層內(nèi)，則可認(rèn)2022/11/1電荷電場(chǎng)電荷

場(chǎng)與分子、原子等組成的物質(zhì)一樣，也具有能量、動(dòng)量和質(zhì)量。場(chǎng)是一種特殊形態(tài)的物質(zhì)。實(shí)物物質(zhì)

場(chǎng)

實(shí)驗(yàn)證實(shí)了兩靜止電荷間存在相互作用的靜電力，但其相互作用究竟是怎樣實(shí)現(xiàn)的？電場(chǎng)強(qiáng)度2022/10/22電荷電場(chǎng)電荷場(chǎng)與分

電荷q′對(duì)電荷q的作用力，是由于q′在空間產(chǎn)生電場(chǎng)，電荷q在電場(chǎng)中受力。用電場(chǎng)強(qiáng)度來(lái)描述電場(chǎng)，空間一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度定義為該點(diǎn)的單位正試驗(yàn)電荷所受到的力。在點(diǎn)r處，試驗(yàn)電荷q受到的電場(chǎng)力為電場(chǎng)強(qiáng)度q′為場(chǎng)源電荷（試驗(yàn)電荷為點(diǎn)電荷、且?guī)щ娏孔銐蛐?引入電場(chǎng)不影響電場(chǎng)分布）電荷q′對(duì)電荷q的作用力，是由于q′在空間產(chǎn)2022/11/1注意2022/10/22注意2022/11/1

路徑矢量R的單位矢量為：注意

公式中路徑矢量R為：

習(xí)慣上，將場(chǎng)源電荷Q所在位置稱為“源點(diǎn)”，用坐標(biāo)來(lái)表示；而將實(shí)驗(yàn)電荷q。所在位置稱為“場(chǎng)點(diǎn)”，用坐標(biāo)來(lái)表示。圖

點(diǎn)電荷的電場(chǎng)2022/10/22路徑矢量R的單位矢量為：注意公式中路2022/11/1由力的疊加原理得所受合力

點(diǎn)電荷

對(duì)的作用力

故處總電場(chǎng)強(qiáng)度

電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理(注意:是矢量疊加)注意2022/10/22由力的疊加原理得所受合力點(diǎn)電荷

對(duì)于體分布的電荷，可將其視為一系列點(diǎn)電荷的疊加，從而得出r點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為同理，面電荷和線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)于體分布的電荷，可將其視為一系列點(diǎn)電荷的疊加2022/11/1

電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量積分一般先轉(zhuǎn)化為標(biāo)量積分,然后再合成,即點(diǎn)電荷的數(shù)學(xué)模型

積分是對(duì)源點(diǎn)進(jìn)行的,計(jì)算結(jié)果是場(chǎng)點(diǎn)的函數(shù)。

點(diǎn)電荷可以被看成是一個(gè)體積很小,電荷密度很大，總電量不變的帶電小球體。當(dāng)時(shí)，電荷密度趨近于無(wú)窮大，通常用沖擊函數(shù)表示點(diǎn)電荷的密度函數(shù)。圖2.1－5

單位點(diǎn)電荷的密度分布點(diǎn)電荷的密度2022/10/22電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量積分一般先轉(zhuǎn)化為標(biāo)例2-1一個(gè)半徑為a的均勻帶電圓環(huán)，求軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解：取坐標(biāo)系如圖2-2，圓環(huán)位于xoy平面，圓環(huán)中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，設(shè)電荷線密度為ρl

。圖2-2例2-1用圖例題例2-1一個(gè)半徑為a的均勻帶電圓環(huán)，求軸線上的所以例題所以例題2022/11/117立體角：由過一點(diǎn)的射線，繞過該點(diǎn)的某一軸旋轉(zhuǎn)一周所掃出的錐面所限定的空間。2.2高斯定理圖2–3立體角2022/10/2217立體角：由過一點(diǎn)的射線，繞過該點(diǎn)的某若S是封閉曲面，則高斯定理對(duì)任一有向曲面S，面上的面積元dS對(duì)某點(diǎn)O’的立體角是：（單位：球面度(sr)）立體角可正可負(fù)，視夾角而定。若S是封閉曲面，則高斯定理對(duì)任一有向曲面S，面上的面

高斯定理描述通過一個(gè)閉合面電場(chǎng)強(qiáng)度的通量與閉合面內(nèi)電荷間的關(guān)系。先考慮點(diǎn)電荷的電場(chǎng)穿過任意閉曲面S的通量：

若q位于S內(nèi)部，上式中的立體角為4π；若q位于S外部，上式中的立體角為零。對(duì)點(diǎn)電荷系或分布電荷，由疊加原理得出高斯定理為(2-15)高斯定理高斯定理描述通過一個(gè)閉合面電場(chǎng)強(qiáng)度的通量與閉

要分析一個(gè)點(diǎn)的情形，要用微分形式。如果閉合面內(nèi)的電荷是密度為ρ的體分布電荷，則式(2-15)可以寫為由于體積V是任意的，所以有高斯定理表明：某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度散度正比該點(diǎn)的電荷體密度！靜電場(chǎng)是有散度的場(chǎng)，其散度源為電荷。是所有電荷產(chǎn)生電場(chǎng)。要分析一個(gè)點(diǎn)的情形，要用微分形式。如果閉合面

高斯定理的積分形式可用來(lái)計(jì)算平面對(duì)稱、軸對(duì)稱及球?qū)ΨQ的靜電場(chǎng)問題。解題關(guān)鍵是能夠?qū)㈦妶?chǎng)強(qiáng)度從積分號(hào)提出來(lái)，這就要求找出一個(gè)封閉面（高斯面）S，且S由兩部分S1、S2組成。在S1上，電場(chǎng)強(qiáng)度與有向面積dS平行（或二者夾角固定不變），且電場(chǎng)強(qiáng)度大小不變；在S2上，有E垂直dS。這樣可求出對(duì)稱分布電荷產(chǎn)生的場(chǎng)。微分形式用來(lái)從電場(chǎng)分布計(jì)算電荷分布。高斯定理高斯定理的積分形式可用來(lái)計(jì)算平面對(duì)稱、軸對(duì)稱及球?qū)ΨQ的靜電2022/11/1圖2.4-1

閉合曲面的電通量

E

的通量?jī)H與閉合面S

所包圍的凈電荷有關(guān)。圖2.4-2

閉合面外的電荷對(duì)場(chǎng)的影響

S

面上的E

是由系統(tǒng)中全部電荷產(chǎn)生的。2022/10/22圖2.4-1閉合曲面的電通量E

例2-2假設(shè)在半徑為a的球體內(nèi)均勻分布著密度為ρ0的電荷，試求任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：當(dāng)r>a時(shí)，故

例題例2-2假設(shè)在半徑為a的球體內(nèi)均勻分當(dāng)r<a時(shí)，所以

例題當(dāng)r<a時(shí)，所以例題例2-3已知半徑為a的球內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度為求電荷分布。例題例2-3已知半徑為a的球內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度為求電解：由高斯定理的微分形式，得電荷密度為用球坐標(biāo)中的散度公式可得(r>a)(r<a)例題解：由高斯定理的微分形式由于

2.3靜電場(chǎng)的旋度與靜電場(chǎng)的電位

靜電場(chǎng)的旋度

注意：積分是對(duì)源點(diǎn)進(jìn)行，算子是對(duì)場(chǎng)點(diǎn)作用。由于2.3靜電場(chǎng)的旋度與靜電場(chǎng)的電位靜電場(chǎng)的旋度注意2022/11/1故電場(chǎng)強(qiáng)度E

的旋度等于零!因?yàn)?/p>

根據(jù)靜電場(chǎng)的疊加性原理知，上述結(jié)論同樣適用于點(diǎn)電荷群和連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。即任意形式的靜電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的旋度都恒等于零。靜電場(chǎng)是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)。靜電場(chǎng)的旋度2022/10/22故電場(chǎng)強(qiáng)度E的旋度等于零!因?yàn)楦鶕?jù)靜2022/11/1

在靜電場(chǎng)中,電場(chǎng)強(qiáng)度沿著閉合回路的環(huán)量恒等于零，即電場(chǎng)線是不可能閉合的。場(chǎng)中不存在漩渦源。電場(chǎng)力作功與路徑無(wú)關(guān),靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)。無(wú)旋場(chǎng)一定是保守場(chǎng)，保守場(chǎng)一定是無(wú)旋場(chǎng)。由斯托克斯定理，得

二者等價(jià)。靜電場(chǎng)的旋度2022/10/22在靜電場(chǎng)中,電場(chǎng)強(qiáng)度沿著閉合回路的環(huán)量

電場(chǎng)強(qiáng)度可表示為一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)的負(fù)梯度，所以有

可用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的負(fù)梯度表示電場(chǎng)強(qiáng)度。這個(gè)標(biāo)量函數(shù)就是靜電場(chǎng)的位函數(shù)，簡(jiǎn)稱為電位。電位φ的定義由下式確定電位的單位是伏(V)，因此電場(chǎng)強(qiáng)度的單位是伏/米(V/m)。靜電場(chǎng)的旋度電場(chǎng)強(qiáng)度可表示為一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)的負(fù)梯度，所以有2022/11/1電位的引出根據(jù)矢量恒等式

在靜電場(chǎng)中可通過求解電位函數(shù)，再利用上式可方便地求得電場(chǎng)強(qiáng)度E。式中的標(biāo)量函數(shù)稱為電位（或電勢(shì)），單位：伏特(V)。式中負(fù)號(hào)表示電場(chǎng)強(qiáng)度的方向從高電位指向低電位。靜電場(chǎng)的電位2022/10/22電位的引出根據(jù)矢量恒等式體分布的電荷在場(chǎng)點(diǎn)r處的電位為線電荷和面電荷的電位表示式與上式相似，只需將電荷密度和積分區(qū)域作相應(yīng)的改變。對(duì)于位于源點(diǎn)r′處的點(diǎn)電荷q，其在r處產(chǎn)生的電位為靜電場(chǎng)的電位體分布的電荷在場(chǎng)點(diǎn)r處的電位為線電荷和面電荷的電位表示式與2022/11/1

在靜電場(chǎng)中，任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向總是指向電位減少最快的方向，其大小等于電位的最大變化率。場(chǎng)強(qiáng)與電位的微分關(guān)系靜電場(chǎng)的電位2022/10/22在靜電場(chǎng)中，任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的因?yàn)殪o電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)，其在任意閉合回路的環(huán)量為零，即靜電場(chǎng)的電位場(chǎng)強(qiáng)與電位的積分關(guān)系因?yàn)殪o電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)，其在任意閉合回路的環(huán)量為零，或

通常，稱φ(P)-φ(P0)為P與P0兩點(diǎn)間的電位差(或電壓)。一般選取一個(gè)固定點(diǎn)，規(guī)定其電位為零，稱這一固定點(diǎn)為參考點(diǎn)。當(dāng)取P0點(diǎn)為參考點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)處的電位為

當(dāng)電荷分布在有限的區(qū)域時(shí)，選取無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)較為方便。此時(shí)，靜電場(chǎng)的電位或通常，稱φ(P)-φ(P0)為P與P0兩點(diǎn)間的電位差(或2022/11/1電位參考點(diǎn)的選擇原則

場(chǎng)中任意兩點(diǎn)的電位差與參考點(diǎn)無(wú)關(guān)。

同一個(gè)物理問題，只能選取一個(gè)參考點(diǎn)。選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡(jiǎn)單，且要有意義。例如：點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)：表達(dá)式無(wú)意義

電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)；

電荷分布在無(wú)限區(qū)域時(shí)，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)。靜電場(chǎng)的電位2022/10/22電位參考點(diǎn)的選擇原則場(chǎng)中任意兩點(diǎn)

將E=-▽?duì)沾敫咚苟ɡ淼奈⒎中问剑玫饺粲懻摰膮^(qū)域ρ=0，則電位微分方程變?yōu)?/p>

上述方程為二階偏微分方程，稱為拉普拉斯方程。其中▽2在直角坐標(biāo)系中為靜電場(chǎng)的電位將E=-▽?duì)沾敫咚苟ɡ淼奈⒎中问?/p>

例2-4位于xoy平面上的半徑為a、圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的帶電圓盤，面電荷密度為ρS，如圖2-4所示，求z軸上的電位。解：由面電荷產(chǎn)生的電位公式：例題例2-4位于xoy平面上的半徑為a、圓心在例題例題圖2-4均勻帶電圓盤以上結(jié)果是z>0的結(jié)論。對(duì)任意軸上的任意點(diǎn)，電位為例題圖2-4均勻帶電圓盤以上結(jié)果是z>0的結(jié)論。對(duì)任意軸例2-5求均勻帶電球體產(chǎn)生的電位。解：(r>a)(r<a)由此可求出電位。當(dāng)r>a時(shí)，當(dāng)r<a時(shí)，例題例2-5求均勻帶電球體產(chǎn)生的電位。解：(r>a)

例2-6若半徑為a的導(dǎo)體球面的電位為U0,球外無(wú)電荷，求空間的電位。解：即例題例2-6若半徑為a的導(dǎo)體球面的電位為U0再對(duì)其積分一次，得

在導(dǎo)體球面上，電位為U0，無(wú)窮遠(yuǎn)處電位為零。分別將r=a、r=∞代入上式，得這樣解出兩個(gè)常數(shù)為例題再對(duì)其積分一次，得在導(dǎo)體球面上，電位為U所以

總之，真空中靜電場(chǎng)的基本解可歸納為例題所以總之，真空中靜電場(chǎng)的基本解可歸納為例題圖2-5電偶極子2.4電偶極子電偶極子是指由間距很小的兩個(gè)等量異號(hào)點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)，如圖所示。真空中電偶極子的電場(chǎng)和電位可用來(lái)分析電介質(zhì)的極化問題。圖2-5電偶極子2.4電偶極子電偶極子是指由間距很

用電偶極矩（矢量）表示電偶極子的大小和空間取向，它定義為電荷q乘以有向距離l，即電偶極子在空間任意點(diǎn)P的電位為其中，r1和r2分別表示場(chǎng)點(diǎn)P與q和-q的距離，r表示坐標(biāo)原點(diǎn)到P點(diǎn)的距離。當(dāng)l<<r時(shí)，電偶極子用電偶極矩（矢量）表示電偶極子的大小和空間取電偶極子電偶極子從而有其電場(chǎng)強(qiáng)度在球坐標(biāo)中的表示式為電偶極子從而有其電場(chǎng)強(qiáng)度在球坐標(biāo)中的表示式為電偶極子圖2-6電偶極子的電場(chǎng)分布電偶極子電偶極子的場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱性。電偶極子的電位和電場(chǎng)分別與r2和r3成反比。因?yàn)樵谶h(yuǎn)區(qū)，正負(fù)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)有一部分相互抵消的緣故。圖2-6電偶極子的電場(chǎng)分布電偶極子電偶極子的場(chǎng)分布2.5電介質(zhì)中的場(chǎng)方程

靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體

導(dǎo)體內(nèi)有許多自由電荷，在靜電場(chǎng)E的作用下，自由電荷要做定向運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體的表面將聚集這些電荷，如圖。當(dāng)導(dǎo)體表面聚集的電荷產(chǎn)生的附加電場(chǎng)E’

與靜電場(chǎng)E的大小相等時(shí)，自由電荷將不再做定向運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體進(jìn)入靜電平衡狀態(tài)。

導(dǎo)體表面聚集的電荷，產(chǎn)生附加電場(chǎng)E’。導(dǎo)體處于靜電平衡狀態(tài)時(shí)，具有如下性質(zhì)：導(dǎo)體內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度等于零；導(dǎo)體是一個(gè)等（電）位體，其表面是等位面；導(dǎo)體表面處的電場(chǎng)強(qiáng)度方向一定垂直于導(dǎo)體表面；電荷只能分布于其表面。2.5電介質(zhì)中的場(chǎng)方程靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體導(dǎo)體內(nèi)有2.5電介質(zhì)中的場(chǎng)方程

介質(zhì)的極化

電介質(zhì)與導(dǎo)體不同，介質(zhì)內(nèi)的電子被束縛在原子核周圍，沒有可自由運(yùn)動(dòng)的自由電荷。在外電場(chǎng)的作用下，正負(fù)電荷會(huì)向相反方向產(chǎn)生微小的位移，從而形成極化電荷。這種現(xiàn)象就稱為電介質(zhì)的極化。

按照介質(zhì)分子內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不同，可將其分為兩類：極性分子和非極性分子。此外，還有部分介質(zhì)是由離子組成的。我們主要討論由分子組成的介質(zhì)。

這些極化電荷構(gòu)成了新的附加場(chǎng)源，使原電場(chǎng)的分布發(fā)生變化。2.5電介質(zhì)中的場(chǎng)方程介質(zhì)的極化電介質(zhì)與導(dǎo)體不同

兩類電介質(zhì)（1）無(wú)極分子介質(zhì)：分子中的正、負(fù)電荷等效中心重合，分子無(wú)電偶極矩。如H2、CH4、CO2無(wú)極分子（2）有極分子介質(zhì)；分子中的正、負(fù)電荷等效中心不重合，分子有電偶極矩。如HCl、H2O、NH3有極分子固有電偶極矩HHOH2O介質(zhì)的極化兩類電介質(zhì)（1）無(wú)極分子介質(zhì)：分子中的正、負(fù)電荷等效中有極分子無(wú)極分子

導(dǎo)體中的電子通常稱為自由電子，它們所攜帶的電荷稱為自由電荷。介質(zhì)中的電荷是不會(huì)自由運(yùn)動(dòng)的，這些電荷稱為束縛電荷。

在電場(chǎng)作用下，介質(zhì)中束縛電荷發(fā)生位移，這種現(xiàn)象稱為極化。無(wú)極分子有極分子Ea介質(zhì)的極化極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場(chǎng)的源。有極分子無(wú)極分子導(dǎo)體中的電子通常稱為自由電子，它們所無(wú)極分子在電場(chǎng)中，正負(fù)電荷中心會(huì)被拉開一段距離，產(chǎn)生感應(yīng)電偶極矩，這稱為位移極化。感應(yīng)電偶極矩l（1）無(wú)極分子介質(zhì)位移極化（displacementpolarization）

兩類電介質(zhì)極化有極分子在電場(chǎng)中，固有電偶極矩會(huì)轉(zhuǎn)向電場(chǎng)的方向，這稱為轉(zhuǎn)向極化。（2）有極分子介質(zhì)轉(zhuǎn)向極化(orientationpolarization)l說明：（1）靜電場(chǎng)中，有極分子也有位移極化，

但主要是轉(zhuǎn)向極化；介質(zhì)的極化無(wú)極分子在電場(chǎng)中，正負(fù)電荷中心會(huì)被拉開一段距離，產(chǎn)生感應(yīng)電偶極化的結(jié)果：電介質(zhì)內(nèi)部的總電矩不為零的偶極子將產(chǎn)生一個(gè)附加電場(chǎng)。極化電荷產(chǎn)生的附加電場(chǎng)在電介質(zhì)中只能削弱外加電場(chǎng)而不能將其抵消為零。故電介質(zhì)內(nèi)部總電場(chǎng)強(qiáng)度一般不為零。

電場(chǎng)是由電荷產(chǎn)生的，因此附加電場(chǎng)可以認(rèn)為是在電介質(zhì)內(nèi)部及表面形成了產(chǎn)生附加電場(chǎng)的等效電荷分布，但此電荷都是被束縛在偶極子中的，故稱為束縛電荷（極化電荷）。極化的分類單原子的電子——電子極化化合物（分子）——電子極化、離子極化具有固有電矩的（分子）化合物——電子極化、離子極化和取向極化電子極化：原子在電場(chǎng)作用下，其周圍的電子云相對(duì)原子核發(fā)生位移。離子極化：分子在電場(chǎng)作用下，其正、負(fù)離子發(fā)生位移。取向極化：具有固有電矩的分子在電場(chǎng)作用下，分子的電矩向電場(chǎng)方向轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生合成電矩。介質(zhì)的極化極化的結(jié)果：電介質(zhì)內(nèi)部的總電矩不為零的偶極

實(shí)際上，介質(zhì)極化現(xiàn)象是逐漸形成的。當(dāng)外加電場(chǎng)Ea

加到介質(zhì)中以后，介質(zhì)中出現(xiàn)的電偶極子產(chǎn)生二次電場(chǎng)Es，這種二次電場(chǎng)Es又影響外加電場(chǎng)，從而導(dǎo)致介質(zhì)極化發(fā)生改變，使二次電場(chǎng)又發(fā)生變化。一直到合成電場(chǎng)產(chǎn)生的極化能夠建立一個(gè)穩(wěn)態(tài)的二次電場(chǎng)，極化狀態(tài)達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡，其過程如下圖所示。

介質(zhì)合成場(chǎng)Ea+Es極化二次場(chǎng)Es外加場(chǎng)Ea介質(zhì)的極化實(shí)際上，介質(zhì)極化現(xiàn)象是逐漸形成的。當(dāng)外加電場(chǎng)

介質(zhì)極化以后，介質(zhì)中出現(xiàn)很多排列方向大致相同的電偶極子。為了衡量這種極化程度，我們定義，單位體積中電矩的矢量和稱為極化強(qiáng)度，以P表示，即式中pi

為體積V

中第i個(gè)電偶極子的電矩，N

為V

中電偶極子的數(shù)目。這里V

應(yīng)理解為物理無(wú)限小的體積。

介質(zhì)的極化極化強(qiáng)度的單位是C/m2。

介質(zhì)極化以后，介質(zhì)中出現(xiàn)很多排列方向大致相同的圖2-7極化介質(zhì)的電位極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位

當(dāng)一塊電介質(zhì)受外電場(chǎng)的作用而極化后，就等效為真空中一系列電偶極子。極化介質(zhì)產(chǎn)生的附加電場(chǎng)，實(shí)質(zhì)上就是這些電偶極子產(chǎn)生的電場(chǎng)。圖2-7極化介質(zhì)的電位極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位當(dāng)一塊電介

設(shè)極化介質(zhì)的體積為V，表面積是S，極化強(qiáng)度是P，現(xiàn)在計(jì)算介質(zhì)外部任一點(diǎn)的電位。在介質(zhì)中r′處取一個(gè)體積元ΔV′，因|r-r′|遠(yuǎn)大于ΔV′的線度，故可將ΔV′中介質(zhì)當(dāng)成一偶極子，其偶極矩為p=PΔV′，它在r處產(chǎn)生的電位是整個(gè)極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位是上式的積分：極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位設(shè)極化介質(zhì)的體積為V，表面積是S，極化強(qiáng)度是對(duì)上式進(jìn)行變換，利用變換為再利用矢量恒等式：

極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位對(duì)上式進(jìn)行變換，利用變換為再利用矢量恒等式：極化介質(zhì)產(chǎn)令極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位面極化電荷產(chǎn)生電位體極化電荷產(chǎn)生電位令極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位面極化電荷產(chǎn)生電位體極化電荷產(chǎn)生電位體極化電荷的密度:面極化電荷的密度:表面極化電荷層的厚度是被極化電介質(zhì)++++++++++++++++++++-S面的外法向單位矢,由介質(zhì)指向真空!極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位體極化電荷的密度:面極化電荷的密度:表面極化電荷層的厚度是被極化介質(zhì)球?qū)υc(diǎn)的電偶極矩定義為：解：體極化電荷的密度：面極化電荷的密度：

例2-7半徑為a的均勻極化介質(zhì)球，極化強(qiáng)度為恒矢量。求體、面極化電荷分布和介質(zhì)球的電偶極矩。+-+++++--------均勻極化介質(zhì)內(nèi)無(wú)體極化電荷!例題極化介質(zhì)球?qū)υc(diǎn)的電偶極矩定義為：解：體極化電荷的密度：面極因?yàn)樗?/p>

介質(zhì)球體積！上式是求電偶極矩的一般方法!例題因?yàn)樗越橘|(zhì)球體積！上式是求電偶極矩的一般方法!例題結(jié)論:均勻極化介質(zhì),介質(zhì)的電偶極矩等極化強(qiáng)度矢量與介質(zhì)體積的乘積！例題均勻介質(zhì)極化，介質(zhì)表面有面極化電荷分布！內(nèi)部無(wú)體極化電荷分布！不均勻介質(zhì)極化，極化產(chǎn)生的電偶極子的分布也是不均勻的，因此介質(zhì)表面有面極化電荷分布！內(nèi)部有體極化電荷分布！。結(jié)論:均勻極化介質(zhì),介質(zhì)的電偶極矩等例題均勻介質(zhì)極化，介質(zhì)

在真空中高斯定理的微分形式為▽·E=ρ/ε0，其中的電荷是指自由電荷。在電介質(zhì)中，高斯定理的微分形式便可寫為將ρP=-▽·P代入，得

這表明，矢量ε0E+P的散度為自由電荷密度。

介質(zhì)中的場(chǎng)方程在真空中高斯定理的微分形式為▽·E=ρ/ε0，

稱此矢量為電位移矢量(或電感應(yīng)強(qiáng)度矢量)，并記為D，即

于是，介質(zhì)中高斯定理的微分形式變?yōu)?/p>

將介質(zhì)中靜電場(chǎng)的方程歸納如下：

介質(zhì)中的場(chǎng)方程稱此矢量為電位移矢量(或電感應(yīng)強(qiáng)度矢量)，于與其相應(yīng)的積分形式為介質(zhì)中的場(chǎng)方程與其相應(yīng)的積分形式為介質(zhì)中的場(chǎng)方程2022/11/1

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在各向同性、線性和均勻介質(zhì)中

均勻：媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標(biāo)（x,y,z）而變化。

各向同性：媒質(zhì)的特性不隨電場(chǎng)的方向而改變，反之稱為各向異性；

線性：媒質(zhì)的參數(shù)不隨電場(chǎng)的值而變化；式中：

——電介質(zhì)的極化率，是一個(gè)無(wú)量綱常數(shù)。介電常數(shù)2022/10/22實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在各向同性、線性和均勻介式中χe為極化率，是一個(gè)無(wú)量綱常數(shù)。從而有稱εr為介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)，稱ε為介質(zhì)的介電常數(shù)。介電常數(shù)式中χe為極化率，是一個(gè)無(wú)量綱常數(shù)。從而有稱εr為介質(zhì)的相均勻線性介質(zhì)(ε為常數(shù))電位滿足的微分方程討論：若無(wú)自由電荷分布，電位滿足拉普拉斯方程

電位滿足泊松方程：

將代入得：因?yàn)棣艦槌?shù)介電常數(shù)均勻線性介質(zhì)(ε為常數(shù))電位滿足的微分方程討論：若無(wú)自由電荷2022/11/1圖2.2－6

均勻場(chǎng)中放進(jìn)了介質(zhì)球的電場(chǎng)圖2.2－7

均勻場(chǎng)中放進(jìn)了導(dǎo)體球的電場(chǎng)圖2.2－8

點(diǎn)電荷位于一塊介質(zhì)上方的電場(chǎng)圖2.2－9

點(diǎn)電荷位于一塊導(dǎo)平面上方的電場(chǎng)2022/10/22圖2.2－6均勻場(chǎng)中放進(jìn)了介質(zhì)球的電例2-8半徑為a的球面上電荷為Q。求介質(zhì)球殼的體、面極化電荷分布。解：介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度：介質(zhì)外的電場(chǎng)強(qiáng)度：介質(zhì)內(nèi)的極化強(qiáng)度：介質(zhì)外的極化強(qiáng)度：非均勻極化+++++++-------例題例2-8半徑為a的球面上電荷為Q。求介質(zhì)球介質(zhì)內(nèi)球面上(r=a)面極化電荷密度：介質(zhì)內(nèi)體極化電荷密度：介質(zhì)外體極化電荷密度：介質(zhì)外球面上(r=b）面極化電荷密度：正極化電荷負(fù)極化電荷例題介質(zhì)內(nèi)球面上(r=a)面極化電荷密度：介質(zhì)內(nèi)體極化電荷密總結(jié)：求介質(zhì)極化電荷分布的方法第一步：用高斯定理求介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度第二步：用求介質(zhì)內(nèi)部、表面上的極化強(qiáng)度

第三步：用求介質(zhì)內(nèi)體極化電荷密度第四步：用求介質(zhì)表面上面極化電荷密度例題總結(jié)：求介質(zhì)極化電荷分布的方法例題圖2-9法向邊界條件2.6靜電場(chǎng)的邊界條件圖2-9法向邊界條件2.6靜電場(chǎng)的邊界條件邊界條件：場(chǎng)分量在界面上的變化規(guī)律!1、電位移法向分量的邊界條件因?yàn)殡娊橘|(zhì)中高斯定理：

(a)

(b)2.6靜電場(chǎng)的邊界條件邊界條件：場(chǎng)分量在界面上的變化規(guī)律!1、電位移法向分量的邊界或

式(1)表明:電位移法向分量在分界面兩側(cè)不相等，有躍變，不連續(xù)，與分界面上自由面電荷有關(guān)!

(1)討論：分界面上無(wú)自由電荷分布，即ρS=0時(shí)，邊界條件（1）變?yōu)椋?/p>

(2)

式(2)表明：分界面上無(wú)自由面電荷，電位移法向分量相等、連續(xù)!或?qū)⑹?b)代入式(a)得：靜電場(chǎng)的邊界條件或式(1)表明:電位移法向分量在分界面兩側(cè)不相等，有躍變，2、電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量的邊界條件靜電場(chǎng)環(huán)路定理：靜電場(chǎng)的邊界條件2、電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量的邊界條件靜電場(chǎng)環(huán)路定理：靜電場(chǎng)的邊界條即或式(3)表明：在兩種介質(zhì)分界面上，兩側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量相等、連續(xù)!

(3)

靜電場(chǎng)的邊界條件即或式(3)表明：3、電位的邊界條件上面邊界條件(1)，(2)和(3)可用電位表示。所以電位移法向分量的邊界條件(1)變?yōu)椋阂驗(yàn)?/p>

(4)靜電場(chǎng)的邊界條件3、電位的邊界條件上面邊界條件(1)，(2)和(3)可用電位

(5)取線框高度為0，則

(6)討論：在ρS=0時(shí)，電位移法向分量的邊界條件(4)變?yōu)椋?/p>

(6)式是電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量的邊界條件(3)的電位表示!靜電場(chǎng)的邊界條件(5)取線框高度為0，則(6)討論：在ρS4、導(dǎo)體表面的邊界條件

(7)在靜電平衡時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)的電場(chǎng)為零。導(dǎo)體外的電場(chǎng)量為，導(dǎo)體的外法向?yàn)?。得?dǎo)體表面的邊界條件：介質(zhì)2導(dǎo)體1由靜電場(chǎng)的邊界條件：靜電場(chǎng)的邊界條件4、導(dǎo)體表面的邊界條件(7)在靜電平衡時(shí)，導(dǎo)體或由靜電場(chǎng)的邊界條件：

得導(dǎo)體表面的邊界條件為:

(8)介質(zhì)2導(dǎo)體1靜電場(chǎng)的邊界條件或由靜電場(chǎng)的邊界條件：得導(dǎo)體表面的邊界條件為:(8)介

例2-9同心球電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間填充兩種介質(zhì)，上半部分的介電常數(shù)為ε1，下半部分的介電常數(shù)為ε2，如圖2-11所示。設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體帶電分別為q和-q，求各部分的電位移矢量和電場(chǎng)強(qiáng)度。圖2-11例2-9用圖例題例2-9同心球電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，解：

在半徑為r的球面上作電位移矢量的面積分，有例題解：在半徑為r的球面上作電位移矢量的面積分，有例題

兩導(dǎo)體之間的電容：定義單位：法拉（F）

孤立導(dǎo)體的電容：可將其視為孤立導(dǎo)體與無(wú)窮遠(yuǎn)處的另一導(dǎo)體之間的電容。則C只與導(dǎo)體的形狀、尺寸、位置及周圍的介質(zhì)相關(guān)，與帶電量無(wú)關(guān)。2.7導(dǎo)體系統(tǒng)的電容

電容兩導(dǎo)體之間的電容：定義單位：法拉（F）孤立導(dǎo)體2022/11/1低壓瓷介電容器高壓瓷介電容器金屬薄膜電容器薄膜電容器電解電容器貼片基層電容器

2022/10/22低壓瓷介電容器高壓瓷介電容器金屬薄膜(i=1,2,…,n)

導(dǎo)體i的總電位應(yīng)該是整個(gè)系統(tǒng)內(nèi)所有導(dǎo)體對(duì)它的貢獻(xiàn)的疊加，即導(dǎo)體i的電位為

電位系數(shù)：導(dǎo)體j帶一庫(kù)侖的正電荷，而其余導(dǎo)體均不帶電時(shí)導(dǎo)體i上的電位。電位系數(shù)

導(dǎo)體j對(duì)導(dǎo)體i的電位貢獻(xiàn)：(i=1,2,…,n)導(dǎo)體i的總電位應(yīng)或?qū)懗删仃囆问诫娢幌禂?shù)或?qū)懗删仃囆问诫娢幌禂?shù)電位系數(shù)的物理意義：是除導(dǎo)體i以外，其余導(dǎo)體均不帶電時(shí)，其自身電位與電量之比。即其中為自電位函數(shù)；當(dāng)時(shí)，。電位系數(shù)電位系數(shù)的物理意義：是除導(dǎo)體i以外，其余導(dǎo)體均不帶電時(shí)，其自

是除導(dǎo)體j以外，其余導(dǎo)體均不帶電時(shí)，其i導(dǎo)體的電位與j導(dǎo)體所帶電量之比。即為互電位函數(shù)。且互易當(dāng)時(shí)，。電位系數(shù)是除導(dǎo)體j以外，其余導(dǎo)體均不帶電時(shí)，其i導(dǎo)體的電位與

由電位系數(shù)的定義可知，導(dǎo)體j帶正電，電力線自導(dǎo)體j出發(fā)，終止于導(dǎo)體i上或終止于地面上。又由于導(dǎo)體i不帶電，有多少電力線終止于它，就有多少電力線自它發(fā)出，所發(fā)出的電力線不是終止于其它導(dǎo)體上，就是終止于地面。電位沿電力線下降，其它導(dǎo)體的電位一定介于導(dǎo)體j的電位和地面的電位之間，所以(i≠j,j=1,2,…,n)

電位系數(shù)具有互易性質(zhì)，即電位系數(shù)由電位系數(shù)的定義可知，導(dǎo)體j帶正電，電力線自2022/11/1靜電獨(dú)立系統(tǒng)——D線從這個(gè)系統(tǒng)中的帶電體發(fā)出，并終止于該系統(tǒng)中的其余帶電體，與外界無(wú)任何聯(lián)系，即

多導(dǎo)體系統(tǒng)——線性、多導(dǎo)體(三個(gè)以上導(dǎo)體)組成的系統(tǒng)；部分電容概念圖2.7－2

三導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)圖2.7－3

四導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)電容系數(shù)和部分電容2022/10/22靜電獨(dú)立系統(tǒng)——D線從這個(gè)系統(tǒng)中的電容系數(shù)和部分電容電容系數(shù)：導(dǎo)體j的電位為1V，其余導(dǎo)體均接地，這時(shí)導(dǎo)體i上的感應(yīng)電荷量。電容系數(shù)和部分電容電容系數(shù)：導(dǎo)體j的電位為1V，

為除i導(dǎo)體以外，其余導(dǎo)體均接地時(shí)，i導(dǎo)體上的電荷量與其自身電位之比。

為除j導(dǎo)體以外，其余導(dǎo)體均接地時(shí)，i導(dǎo)體上的電荷量與j導(dǎo)體電位之比。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，。電容系數(shù)和部分電容為除i導(dǎo)體以外，其余導(dǎo)體均接地時(shí)，i導(dǎo)體上的電荷量與(i≠j)…電容系數(shù)和部分電容(i≠j)…電容系數(shù)和部分電容令

(i≠j)則上式變成

…電容系數(shù)和部分電容令(i≠j)則上式變成…電容系數(shù)和部分電容電容系數(shù)和部分電容互部分電容自部分電容互易性兩個(gè)導(dǎo)體組成的系統(tǒng)是實(shí)際中廣泛應(yīng)用的導(dǎo)體系統(tǒng)。若兩個(gè)導(dǎo)體分別帶電-Q、+Q，且他們的電位差不受外界影響，則此系統(tǒng)構(gòu)成一個(gè)電容器。電容器的電容C與電位系統(tǒng)的關(guān)系為：電容系數(shù)和部分電容互部分電容自部分電容互易性兩個(gè)導(dǎo)自部分電容：互部分電容：工作電容：兩端的工作電容，指從這兩端看進(jìn)去的所有部分電容的等效電容。如１導(dǎo)體與大地之間的工作電容：電容系數(shù)和部分電容自部分電容：互部分電容：工作電容：兩端的工作電容，指從這兩端

例2-10導(dǎo)體球及與其同心的導(dǎo)體球殼構(gòu)成一個(gè)雙導(dǎo)體系統(tǒng)。若導(dǎo)體球的半徑為a，球殼的內(nèi)半徑為b，殼的厚度很薄可以不計(jì)(如圖2-13所示)，求電位系數(shù)、電容系數(shù)和部分電容。圖2-13例2-10用圖例題例2-10導(dǎo)體球及與其同心的導(dǎo)體球殼解：

例題解：例題再設(shè)導(dǎo)體球的總電荷為零，球殼帶電荷為q2，可得因此

例題再設(shè)導(dǎo)體球的總電荷為零，球殼帶電荷為q2，可得因此例題電容系數(shù)矩陣等于電位系數(shù)矩陣的逆矩陣，故有

例題電容系數(shù)矩陣等于電位系數(shù)矩陣的逆矩陣，故有例題部分電容為例題部分電容為例題

例2-11

假設(shè)真空中兩個(gè)導(dǎo)體球的半徑都為a，兩球心之間的距離為d，且d>>a，求兩個(gè)導(dǎo)體球之間的電容。解：

例題例2-11假設(shè)真空中兩個(gè)導(dǎo)體球的半徑都為

例2-12一同軸線內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b,內(nèi)、外導(dǎo)體之間填充兩種絕緣材料，a<r<r0的介電常數(shù)為ε1，r0<r<b的介電常數(shù)為ε2，如圖2-14所示，求單位長(zhǎng)度的電容。圖2-14例2-12用圖例題例2-12一同軸線內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a

解：設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電分別為ρl、-ρl，內(nèi)、外導(dǎo)體間的場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱性。由高斯定理可求出內(nèi)、外導(dǎo)體間的電位移為各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度為例題解：設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電分別為ρl、-ρ內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為因此，單位長(zhǎng)度的電容為

例題內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為因此，單位長(zhǎng)度的電容為例題電場(chǎng)能量的兩種觀點(diǎn)：帶電系統(tǒng)具有的電能；電能存在于電場(chǎng)所在的空間，即電場(chǎng)具有電能！

帶電系統(tǒng)的電場(chǎng)能量=各帶電體的自能+各帶電體間相互作用的互能！帶電體的自能：將帶電體上的各部分電荷從無(wú)限遠(yuǎn)離分散狀態(tài)聚集起來(lái)過程外界所作的功！各帶電體間的互能：將各帶電體從無(wú)限遠(yuǎn)離狀態(tài)移到現(xiàn)位置的過程外界所作的功！2.8電場(chǎng)能量與能量密度電場(chǎng)能量的兩種觀點(diǎn)：帶電系統(tǒng)的電場(chǎng)能量=各帶電體的自

帶電系統(tǒng)具有的電能來(lái)自在建立電荷系統(tǒng)的過程中，外源搬運(yùn)電荷所作的功!

1、分離帶電系統(tǒng)的電場(chǎng)能量

帶電系統(tǒng)由n個(gè)帶電導(dǎo)體組成，每個(gè)帶電導(dǎo)體的最終電位為！最終電荷為！帶電系統(tǒng)的能量與建立系統(tǒng)的過程無(wú)關(guān)，僅僅與系統(tǒng)的最終狀態(tài)有關(guān)。

電場(chǎng)能量帶電系統(tǒng)具有的電能來(lái)自在建立電荷系統(tǒng)的過程中，

設(shè)在建立系統(tǒng)過程中的任一時(shí)刻，各個(gè)導(dǎo)體的電量均是各自終值的倍()。第i個(gè)帶電體的帶電量為，電位為。經(jīng)過后，電量增量為，外源對(duì)第i個(gè)導(dǎo)體作功：

外源對(duì)n個(gè)導(dǎo)體作功：電場(chǎng)能量設(shè)在建立系統(tǒng)過程中的任一時(shí)刻，各個(gè)導(dǎo)體的電量帶電導(dǎo)體系的電能增量等于外源對(duì)n個(gè)導(dǎo)體作功：

充電整個(gè)過程，外源對(duì)n個(gè)導(dǎo)體作功，帶電導(dǎo)體系具有的電能（電場(chǎng)能量）：

(1)：帶電導(dǎo)體(包括第個(gè)導(dǎo)體)在第個(gè)帶電導(dǎo)體上產(chǎn)生的電位！式(1)對(duì)n個(gè)帶電體也成立！電場(chǎng)能量帶電導(dǎo)體系的電能增量等于外源對(duì)n個(gè)導(dǎo)體作功：充電整個(gè)過程，例如，兩個(gè)導(dǎo)體組成電容，正板帶電，電位；負(fù)板帶電，電位，電容器具有的電能為平行板U電場(chǎng)能量例如，兩個(gè)導(dǎo)體組成電容，正板帶電，電位電荷連續(xù)分布的帶電體的電能為

第i個(gè)帶電體的電量終值:(2)式中電荷元處的電位、電荷密度。是整個(gè)帶電體在處產(chǎn)生的電位！求和變積分2、電荷連續(xù)分布帶電體的電場(chǎng)能量

電場(chǎng)能量電荷連續(xù)分布的帶電體的電能為第i個(gè)帶電體的電量終值:(電場(chǎng)能量電場(chǎng)能量電荷以分布在以S′面包圍的體積V′內(nèi)，電場(chǎng)的能量:

無(wú)電荷有電荷能量密度電荷以分布在以S′面包圍的體積V′內(nèi)，電場(chǎng)的能量:無(wú)：整個(gè)電場(chǎng)分布體積！再利用矢量等式電場(chǎng)的能量表為將代入上式得：能量密度：整個(gè)電場(chǎng)分布體積！再利用矢量等式電場(chǎng)的能量表為將式中,是整個(gè)電場(chǎng)所在的體積，應(yīng)為無(wú)窮大，故電場(chǎng)的邊界面S在無(wú)窮遠(yuǎn)處，對(duì)分布在有限區(qū)域內(nèi)的電荷（當(dāng)成點(diǎn)電荷），有

(a)能量密度式中,是整個(gè)電場(chǎng)所在的體積，應(yīng)為無(wú)窮大，故電場(chǎng)的因此,當(dāng)時(shí)，有將式（b）代入式(a)得：電場(chǎng)能量體密度式(1)為電場(chǎng)能量表達(dá)式。

(1)

(2)

(b)能量密度因此,當(dāng)時(shí)，有將式（b）代入式(a)得對(duì)各向同性均勻介質(zhì)

(3)電場(chǎng)能量體密度為能量密度對(duì)各向同性均勻介質(zhì)(3)電場(chǎng)能量體密度為能量密度

例2-13若真空中電荷q均勻分布在半徑為a的球體內(nèi)，計(jì)算電場(chǎng)能量。解：用高斯定理可以得到電場(chǎng)為(r<a)(r>a)例題例2-13若真空中電荷q均勻分布在半徑為a的球所以

例題所以例題

例2-14若一同軸線內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，之間填充介電常數(shù)為ε的介質(zhì)，當(dāng)內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為U(外導(dǎo)體的單位為零)時(shí)，求單位長(zhǎng)度的電場(chǎng)能量。解：設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體間電壓為U時(shí)，內(nèi)導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電量為ρl，則導(dǎo)體間的電場(chǎng)強(qiáng)度為兩導(dǎo)體間的電壓為例題例2-14若一同軸線內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)即

單位長(zhǎng)度的電場(chǎng)能量為例題即單位長(zhǎng)度的電場(chǎng)能量為例題2.9電場(chǎng)力引入——已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫(kù)侖定律可以計(jì)算帶電體電荷之間的電場(chǎng)力。但是，對(duì)于電荷分布復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫(kù)侖定律計(jì)算電場(chǎng)力是非常困難的，有時(shí)甚至無(wú)法求積。為了計(jì)算具有一定電荷分布的帶電體之間的電場(chǎng)力，通常采用虛位移法。2.9電場(chǎng)力引入——已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫(kù)侖

虛位移法求帶電導(dǎo)體所受電場(chǎng)力的思路是：假設(shè)在電場(chǎng)力F的作用下，受力導(dǎo)體有一個(gè)位移dr，從而電場(chǎng)力作功F·dr；因這個(gè)位移會(huì)引起電場(chǎng)強(qiáng)度的改變，這樣電場(chǎng)能量就要產(chǎn)生一個(gè)增量dWe；再根據(jù)能量守恒定律，電場(chǎng)力作功及場(chǎng)能增量之和應(yīng)該等于外源供給帶電系統(tǒng)的能量dWb，即電場(chǎng)力虛位移法求帶電導(dǎo)體所受電場(chǎng)力的思路是：假設(shè)在

1.電荷不變?nèi)绻撐灰七^程中，各個(gè)導(dǎo)體的電荷量不變，就意味著各導(dǎo)體都不連接外源，此時(shí)外源對(duì)系統(tǒng)作功dWb為零，即因此，在位移的方向上，電場(chǎng)力為

電場(chǎng)力1.電荷不變因此，在位移的方向上，電場(chǎng)力為

2.電位不變?nèi)绻谔撐灰频倪^程中，各個(gè)導(dǎo)體的電位不變，就意味著每個(gè)導(dǎo)體都和恒壓電源相連接。此時(shí)，當(dāng)導(dǎo)體的相對(duì)位置改變時(shí)，每個(gè)電源因要向?qū)w輸送電荷而作功。設(shè)各導(dǎo)體的電位分別為φ1、φ2、…、φn，各導(dǎo)體的電荷增量分別為dq1、dq2、…、dqn，則電源作功為系統(tǒng)的電場(chǎng)能量為電場(chǎng)力2.電位不變系統(tǒng)的電場(chǎng)能量為電場(chǎng)力系統(tǒng)能量的增量為電場(chǎng)力系統(tǒng)能量的增量為電場(chǎng)力

例2-15若平板電容器極板面積為A，間距為x，電極之間的電壓為U，求極板間的作用力。解：設(shè)一個(gè)極板在yoz平面，第二個(gè)極板的坐標(biāo)為x，此時(shí)，電容器儲(chǔ)能為當(dāng)電位不變時(shí)，第二個(gè)極板受力為例題例2-15若平板電容器極板面積為A，間距當(dāng)電荷不變時(shí)，考慮到將能量表達(dá)式改寫為例題當(dāng)電荷不變時(shí)，考慮到將能量表達(dá)式改寫為例題

虛位移法還能分析導(dǎo)體受到的力矩。若假設(shè)某一導(dǎo)體繞z軸有一個(gè)角位移dθ，則其所受力矩的z分量Tz作功為Tzdθ，這時(shí)，力矩計(jì)算式為例題虛位移法還能分析導(dǎo)體受到的力矩。若假設(shè)某一導(dǎo)體2022/11/1134作業(yè)2-12-52-62-92-152-122022/10/22134作業(yè)2-12022/11/1

靜電場(chǎng)是指由相對(duì)觀察者靜止且量值不隨時(shí)間變化的電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)。

本章任務(wù)：本章是靜電學(xué)內(nèi)容，主要介紹靜止電荷所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)的基本性質(zhì)和規(guī)律；還介紹靜電場(chǎng)與場(chǎng)域內(nèi)其它媒質(zhì)的相互作用和相互影響。從庫(kù)侖定律和疊加原理出發(fā)，運(yùn)用矢量分析，討論真空中靜電場(chǎng)的基本方程。

靜電場(chǎng)是本課程的基礎(chǔ)。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可類比推廣到恒定電場(chǎng),恒定磁場(chǎng)及時(shí)變場(chǎng)。

靜電場(chǎng)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖第二章靜電場(chǎng)2022/10/22靜電場(chǎng)是指由相對(duì)觀察者靜止且量值2022/11/1基本實(shí)驗(yàn)定律（庫(kù)侖定律）基本方程電位（）數(shù)值法解析法直接積分法分離變量法鏡像法，電軸法唯一性定理

靜電場(chǎng)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖邊界條件有限差分法邊值問題微分方程分界面銜接條件基本物理量（電場(chǎng)強(qiáng)度）EE的旋度E的散度靜電參數(shù)(電容及部分電容)靜電能量與力2022/10/22基本實(shí)驗(yàn)定律（庫(kù)侖定律）基本方程電位（2022/11/11372022/11/1137

庫(kù)侖定律與電場(chǎng)強(qiáng)度

高斯定理

靜電場(chǎng)的旋度與靜電場(chǎng)的電位

電偶極子

電介質(zhì)中的場(chǎng)方程

靜電場(chǎng)的邊界條件

導(dǎo)體系統(tǒng)的電容

電場(chǎng)能量與能量密度

電場(chǎng)力第二章靜電場(chǎng)2022/10/2232022/10/223庫(kù)侖定律與電場(chǎng)2022/11/1138庫(kù)侖定律2.1庫(kù)侖定律與電場(chǎng)強(qiáng)度圖2–1庫(kù)侖定律用圖2022/10/224庫(kù)侖定律2.1庫(kù)侖定律與電場(chǎng)強(qiáng)度圖式中：R=r-r′表示從r′到r的矢量；R是r′到r的距離；R°是R的單位矢量；ε0是表征真空電性質(zhì)的物理量，稱為真空的介電常數(shù)，其值為

庫(kù)侖定律表明，真空中兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的作用力的大小與兩點(diǎn)電荷電量之積成正比，與距離平方成反比，力的方向沿著它們的連線，同號(hào)電荷之間是斥力，異號(hào)電荷之間是引力。點(diǎn)電荷q′受到q的作用力為F′，且F′=-F，可見兩點(diǎn)電荷之間的作用力符合牛頓第三定律。庫(kù)侖定律可推廣到無(wú)限大各向同性均勻介質(zhì)中式中：R=r-r′表示從r′到r的矢量；R是r′到r的距離；

庫(kù)侖定律只能直接用于點(diǎn)電荷。所謂點(diǎn)電荷，是指當(dāng)帶電體的尺度遠(yuǎn)小于它們之間的距離時(shí)，將其電荷集中于一點(diǎn)的理想化模型。對(duì)于實(shí)際的帶電體，一般應(yīng)該看成是分布在一定的區(qū)域內(nèi)，稱其為分布電荷。用電荷密度來(lái)定量描述電荷的空間分布情況。電荷體密度的含義是，在電荷分布區(qū)域內(nèi)，取體積元ΔV，若其中的電量為Δq，則電荷體密度為其單位是庫(kù)/米3(C/m3)。這里的ΔV趨于零，是指相對(duì)于宏觀尺度而言很小的體積，以便能精確地描述電荷的空間變化情況；但是相對(duì)于微觀尺度，該體積元又是足夠大，它包含了大量的帶電粒子，這樣才可以將電荷分布看作空間的連續(xù)函數(shù)。庫(kù)侖定律庫(kù)侖定律只能直接用于點(diǎn)電荷。所謂點(diǎn)電荷，是指

如果電荷分布在宏觀尺度h很小的薄層內(nèi)，則可認(rèn)為電荷分布在一個(gè)幾何曲面上，用面密度描述其分布。若面積元ΔS內(nèi)的電量為Δq，則面密度為

對(duì)于分布在一條細(xì)線上的電荷用線密度描述其分布情況。若線元Δl內(nèi)的電量為Δq，則線密度為庫(kù)侖定律如果電荷分布在宏觀尺度h很小的薄層內(nèi)，則可認(rèn)2022/11/1電荷電場(chǎng)電荷

場(chǎng)與分子、原子等組成的物質(zhì)一樣，也具有能量、動(dòng)量和質(zhì)量。場(chǎng)是一種特殊形態(tài)的物質(zhì)。實(shí)物物質(zhì)

場(chǎng)

實(shí)驗(yàn)證實(shí)了兩靜止電荷間存在相互作用的靜電力，但其相互作用究竟是怎樣實(shí)現(xiàn)的？電場(chǎng)強(qiáng)度2022/10/22電荷電場(chǎng)電荷場(chǎng)與分

電荷q′對(duì)電荷q的作用力，是由于q′在空間產(chǎn)生電場(chǎng)，電荷q在電場(chǎng)中受力。用電場(chǎng)強(qiáng)度來(lái)描述電場(chǎng)，空間一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度定義為該點(diǎn)的單位正試驗(yàn)電荷所受到的力。在點(diǎn)r處，試驗(yàn)電荷q受到的電場(chǎng)力為電場(chǎng)強(qiáng)度q′為場(chǎng)源電荷（試驗(yàn)電荷為點(diǎn)電荷、且?guī)щ娏孔銐蛐?引入電場(chǎng)不影響電場(chǎng)分布）電荷q′對(duì)電荷q的作用力，是由于q′在空間產(chǎn)2022/11/1注意2022/10/22注意2022/11/1

路徑矢量R的單位矢量為：注意

公式中路徑矢量R為：

習(xí)慣上，將場(chǎng)源電荷Q所在位置稱為“源點(diǎn)”，用坐標(biāo)來(lái)表示；而將實(shí)驗(yàn)電荷q。所在位置稱為“場(chǎng)點(diǎn)”，用坐標(biāo)來(lái)表示。圖

點(diǎn)電荷的電場(chǎng)2022/10/22路徑矢量R的單位矢量為：注意公式中路2022/11/1由力的疊加原理得所受合力

點(diǎn)電荷

對(duì)的作用力

故處總電場(chǎng)強(qiáng)度

電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理(注意:是矢量疊加)注意2022/10/22由力的疊加原理得所受合力點(diǎn)電荷

對(duì)于體分布的電荷，可將其視為一系列點(diǎn)電荷的疊加，從而得出r點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為同理，面電荷和線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)于體分布的電荷，可將其視為一系列點(diǎn)電荷的疊加2022/11/1

電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量積分一般先轉(zhuǎn)化為標(biāo)量積分,然后再合成,即點(diǎn)電荷的數(shù)學(xué)模型

積分是對(duì)源點(diǎn)進(jìn)行的,計(jì)算結(jié)果是場(chǎng)點(diǎn)的函數(shù)。

點(diǎn)電荷可以被看成是一個(gè)體積很小,電荷密度很大，總電量不變的帶電小球體。當(dāng)時(shí)，電荷密度趨近于無(wú)窮大，通常用沖擊函數(shù)表示點(diǎn)電荷的密度函數(shù)。圖2.1－5

單位點(diǎn)電荷的密度分布點(diǎn)電荷的密度2022/10/22電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量積分一般先轉(zhuǎn)化為標(biāo)例2-1一個(gè)半徑為a的均勻帶電圓環(huán)，求軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解：取坐標(biāo)系如圖2-2，圓環(huán)位于xoy平面，圓環(huán)中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，設(shè)電荷線密度為ρl

。圖2-2例2-1用圖例題例2-1一個(gè)半徑為a的均勻帶電圓環(huán)，求軸線上的所以例題所以例題2022/11/1151立體角：由過一點(diǎn)的射線，繞過該點(diǎn)的某一軸旋轉(zhuǎn)一周所掃出的錐面所限定的空間。2.2高斯定理圖2–3立體角2022/10/2217立體角：由過一點(diǎn)的射線，繞過該點(diǎn)的某若S是封閉曲面，則高斯定理對(duì)任一有向曲面S，面上的面積元dS對(duì)某點(diǎn)O’的立體角是：（單位：球面度(sr)）立體角可正可負(fù)，視夾角而定。若S是封閉曲面，則高斯定理對(duì)任一有向曲面S，面上的面

高斯定理描述通過一個(gè)閉合面電場(chǎng)強(qiáng)度的通量與閉合面內(nèi)電荷間的關(guān)系。先考慮點(diǎn)電荷的電場(chǎng)穿過任意閉曲面S的通量：

若q位于S內(nèi)部，上式中的立體角為4π；若q位于S外部，上式中的立體角為零。對(duì)點(diǎn)電荷系或分布電荷，由疊加原理得出高斯定理為(2-15)高斯定理高斯定理描述通過一個(gè)閉合面電場(chǎng)強(qiáng)度的通量與閉

要分析一個(gè)點(diǎn)的情形，要用微分形式。如果閉合面內(nèi)的電荷是密度為ρ的體分布電荷，則式(2-15)可以寫為由于體積V是任意的，所以有高斯定理表明：某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度散度正比該點(diǎn)的電荷體密度！靜電場(chǎng)是有散度的場(chǎng)，其散度源為電荷。是所有電荷產(chǎn)生電場(chǎng)。要分析一個(gè)點(diǎn)的情形，要用微分形式。如果閉合面

高斯定理的積分形式可用來(lái)計(jì)算平面對(duì)稱、軸對(duì)稱及球?qū)ΨQ的靜電場(chǎng)問題。解題關(guān)鍵是能夠?qū)㈦妶?chǎng)強(qiáng)度從積分號(hào)提出來(lái)，這就要求找出一個(gè)封閉面（高斯面）S，且S由兩部分S1、S2組成。在S1上，電場(chǎng)強(qiáng)度與有向面積dS平行（或二者夾角固定不變），且電場(chǎng)強(qiáng)度大小不變；在S2上，有E垂直dS。這樣可求出對(duì)稱分布電荷產(chǎn)生的場(chǎng)。微分形式用來(lái)從電場(chǎng)分布計(jì)算電荷分布。高斯定理高斯定理的積分形式可用來(lái)計(jì)算平面對(duì)稱、軸對(duì)稱及球?qū)ΨQ的靜電2022/11/1圖2.4-1

閉合曲面的電通量

E

的通量?jī)H與閉合面S

所包圍的凈電荷有關(guān)。圖2.4-2

閉合面外的電荷對(duì)場(chǎng)的影響

S

面上的E

是由系統(tǒng)中全部電荷產(chǎn)生的。2022/10/22圖2.4-1閉合曲面的電通量E

例2-2假設(shè)在半徑為a的球體內(nèi)均勻分布著密度為ρ0的電荷，試求任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：當(dāng)r>a時(shí)，故

例題例2-2假設(shè)在半徑為a的球體內(nèi)均勻分當(dāng)r<a時(shí)，所以

例題當(dāng)r<a時(shí)，所以例題例2-3已知半徑為a的球內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度為求電荷分布。例題例2-3已知半徑為a的球內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度為求電解：由高斯定理的微分形式，得電荷密度為用球坐標(biāo)中的散度公式可得(r>a)(r<a)例題解：由高斯定理的微分形式由于

2.3靜電場(chǎng)的旋度與靜電場(chǎng)的電位

靜電場(chǎng)的旋度

注意：積分是對(duì)源點(diǎn)進(jìn)行，算子是對(duì)場(chǎng)點(diǎn)作用。由于2.3靜電場(chǎng)的旋度與靜電場(chǎng)的電位靜電場(chǎng)的旋度注意2022/11/1故電場(chǎng)強(qiáng)度E

的旋度等于零!因?yàn)?/p>

根據(jù)靜電場(chǎng)的疊加性原理知，上述結(jié)論同樣適用于點(diǎn)電荷群和連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。即任意形式的靜電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的旋度都恒等于零。靜電場(chǎng)是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)。靜電場(chǎng)的旋度2022/10/22故電場(chǎng)強(qiáng)度E的旋度等于零!因?yàn)楦鶕?jù)靜2022/11/1

在靜電場(chǎng)中,電場(chǎng)強(qiáng)度沿著閉合回路的環(huán)量恒等于零，即電場(chǎng)線是不可能閉合的。場(chǎng)中不存在漩渦源。電場(chǎng)力作功與路徑無(wú)關(guān),靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)。無(wú)旋場(chǎng)一定是保守場(chǎng)，保守場(chǎng)一定是無(wú)旋場(chǎng)。由斯托克斯定理，得

二者等價(jià)。靜電場(chǎng)的旋度2022/10/22在靜電場(chǎng)中,電場(chǎng)強(qiáng)度沿著閉合回路的環(huán)量

電場(chǎng)強(qiáng)度可表示為一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)的負(fù)梯度，所以有

可用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的負(fù)梯度表示電場(chǎng)強(qiáng)度。這個(gè)標(biāo)量函數(shù)就是靜電場(chǎng)的位函數(shù)，簡(jiǎn)稱為電位。電位φ的定義由下式確定電位的單位是伏(V)，因此電場(chǎng)強(qiáng)度的單位是伏/米(V/m)。靜電場(chǎng)的旋度電場(chǎng)強(qiáng)度可表示為一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)的負(fù)梯度，所以有2022/11/1電位的引出根據(jù)矢量恒等式

在靜電場(chǎng)中可通過求解電位函數(shù)，再利用上式可方便地求得電場(chǎng)強(qiáng)度E。式中的標(biāo)量函數(shù)稱為電位（或電勢(shì)），單位：伏特(V)。式中負(fù)號(hào)表示電場(chǎng)強(qiáng)度的方向從高電位指向低電位。靜電場(chǎng)的電位2022/10/22電位的引出根據(jù)矢量恒等式體分布的電荷在場(chǎng)點(diǎn)r處的電位為線電荷和面電荷的電位表示式與上式相似，只需將電荷密度和積分區(qū)域作相應(yīng)的改變。對(duì)于位于源點(diǎn)r′處的點(diǎn)電荷q，其在r處產(chǎn)生的電位為靜電場(chǎng)的電位體分布的電荷在場(chǎng)點(diǎn)r處的電位為線電荷和面電荷的電位表示式與2022/11/1

在靜電場(chǎng)中，任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向總是指向電位減少最快的方向，其大小等于電位的最大變化率。場(chǎng)強(qiáng)與電位的微分關(guān)系靜電場(chǎng)的電位2022/10/22在靜電場(chǎng)中，任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的因?yàn)殪o電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)，其在任意閉合回路的環(huán)量為零，即靜電場(chǎng)的電位場(chǎng)強(qiáng)與電位的積分關(guān)系因?yàn)殪o電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)，其在任意閉合回路的環(huán)量為零，或

通常，稱φ(P)-φ(P0)為P與P0兩點(diǎn)間的電位差(或電壓)。一般選取一個(gè)固定點(diǎn)，規(guī)定其電位為零，稱這一固定點(diǎn)為參考點(diǎn)。當(dāng)取P0點(diǎn)為參考點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)處的電位為

當(dāng)電荷分布在有限的區(qū)域時(shí)，選取無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)較為方便。此時(shí)，靜電場(chǎng)的電位或通常，稱φ(P)-φ(P0)為P與P0兩點(diǎn)間的電位差(或2022/11/1電位參考點(diǎn)的選擇原則

場(chǎng)中任意兩點(diǎn)的電位差與參考點(diǎn)無(wú)關(guān)。

同一個(gè)物理問題，只能選取一個(gè)參考點(diǎn)。選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡(jiǎn)單，且要有意義。例如：點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)：表達(dá)式無(wú)意義

電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)；

電荷分布在無(wú)限區(qū)域時(shí)，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)。靜電場(chǎng)的電位2022/10/22電位參考點(diǎn)的選擇原則場(chǎng)中任意兩點(diǎn)

將E=-▽?duì)沾敫咚苟ɡ淼奈⒎中问?，得到若討論的區(qū)域ρ=0，則電位微分方程變?yōu)?/p>

上述方程為二階偏微分方程，稱為拉普拉斯方程。其中▽2在直角坐標(biāo)系中為靜電場(chǎng)的電位將E=-▽?duì)沾敫咚苟ɡ淼奈⒎中问?/p>

例2-4位于xoy平面上的半徑為a、圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的帶電圓盤，面電荷密度為ρS，如圖2-4所示，求z軸上的電位。解：由面電荷產(chǎn)生的電位公式：例題例2-4位于xoy平面上的半徑為a、圓心在例題例題圖2-4均勻帶電圓盤以上結(jié)果是z>0的結(jié)論。對(duì)任意軸上的任意點(diǎn)，電位為例題圖2-4均勻帶電圓盤以上結(jié)果是z>0的結(jié)論。對(duì)任意軸例2-5求均勻帶電球體產(chǎn)生的電位。解：(r>a)(r<a)由此可求出電位。當(dāng)r>a時(shí)，當(dāng)r<a時(shí)，例題例2-5求均勻帶電球體產(chǎn)生的電位。解：(r>a)

例2-6若半徑為a的導(dǎo)體球面的電位為U0,球外無(wú)電荷，求空間的電位。解：即例題例2-6若半徑為a的導(dǎo)體球面的電位為U0再對(duì)其積分一次，得

在導(dǎo)體球面上，電位為U0，無(wú)窮遠(yuǎn)處電位為零。分別將r=a、r=∞代入上式，得這樣解出兩個(gè)常數(shù)為例題再對(duì)其積分一次，得在導(dǎo)體球面上，電位為U所以

總之，真空中靜電場(chǎng)的基本解可歸納為例題所以總之，真空中靜電場(chǎng)的基本解可歸納為例題圖2-5電偶極子2.4電偶極子電偶極子是指由間距很小的兩個(gè)等量異號(hào)點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)，如圖所示。真空中電偶極子的電場(chǎng)和電位可用來(lái)分析電介質(zhì)的極化問題。圖2-5電偶極子2.4電偶極子電偶極子是指由間距很

用電偶極矩（矢量）表示電偶極子的大小和空間取向，它定義為電荷q乘以有向距離l，即電偶極子在空間任意點(diǎn)P的電位為其中，r1和r2分別表示場(chǎng)點(diǎn)P與q和-q的距離，r表示坐標(biāo)原點(diǎn)到P點(diǎn)的距離。當(dāng)l<<r時(shí)，電偶極子用電偶極矩（矢量）表示電偶極子的大小和空間取電偶極子電偶極子從而有其電場(chǎng)強(qiáng)度在球坐標(biāo)中的表示式為電偶極子從而有其電場(chǎng)強(qiáng)度在球坐標(biāo)中的表示式為電偶極子圖2-6電偶極子的電場(chǎng)分布電偶極子電偶極子的場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱性。電偶極子的電位和電場(chǎng)分別與r2和r3成反比。因?yàn)樵谶h(yuǎn)區(qū)，正負(fù)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)有一部分相互抵消的緣故。圖2-6電偶極子的電場(chǎng)分布電偶極子電偶極子的場(chǎng)分布2.5電介質(zhì)中的場(chǎng)方程

靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體

導(dǎo)體內(nèi)有許多自由電荷，在靜電場(chǎng)E的作用下，自由電荷要做定向運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體的表面將聚集這些電荷，如圖。當(dāng)導(dǎo)體表面聚集的電荷產(chǎn)生的附加電場(chǎng)E’

與靜電場(chǎng)E的大小相等時(shí)，自由電荷將不再做定向運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體進(jìn)入靜電平衡狀態(tài)。

導(dǎo)體表面聚集的電荷，產(chǎn)生附加電場(chǎng)E’。導(dǎo)體處于靜電平衡狀態(tài)時(shí)，具有如下性質(zhì)：導(dǎo)體內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度等于零；導(dǎo)體是一個(gè)等（電）位體，其表面是等位面；導(dǎo)體表面處的電場(chǎng)強(qiáng)度方向一定垂直于導(dǎo)體表面；電荷只能分布于其表面。2.5電介質(zhì)中的場(chǎng)方程靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體導(dǎo)體內(nèi)有2.5電介質(zhì)中的場(chǎng)方程

介質(zhì)的極化

電介質(zhì)與導(dǎo)體不同，介質(zhì)內(nèi)的電子被束縛在原子核周圍，沒有可自由運(yùn)動(dòng)的自由電荷。在外電場(chǎng)的作用下，正負(fù)電荷會(huì)向相反方向產(chǎn)生微小的位移，從而形成極化電荷。這種現(xiàn)象就稱為電介質(zhì)的極化。

按照介質(zhì)分子內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不同，可將其分為兩類：極性分子和非極性分子。此外，還有部分介質(zhì)是由離子組成的。我們主要討論由分子組成的介質(zhì)。

這些極化電荷構(gòu)成了新的附加場(chǎng)源，使原電場(chǎng)的分布發(fā)生變化。2.5電介質(zhì)中的場(chǎng)方程介質(zhì)的極化電介質(zhì)與導(dǎo)體不同

兩類電介質(zhì)（1）無(wú)極分子介質(zhì)：分子中的正、負(fù)電荷等效中心重合，分子無(wú)電偶極矩。如H2、CH4、CO2無(wú)極分子（2）有極分子介質(zhì)；分子中的正、負(fù)電荷等效中心不重合，分子有電偶極矩。如HCl、H2O、NH3有極分子固有電偶極矩HHOH2O介質(zhì)的極化兩類電介質(zhì)（1）無(wú)極分子介質(zhì)：分子中的正、負(fù)電荷等效中有極分子無(wú)極分子

導(dǎo)體中的電子通常稱為自由電子，它們所攜帶的電荷稱為自由電荷。介質(zhì)中的電荷是不會(huì)自由運(yùn)動(dòng)的，這些電荷稱為束縛電荷。

在電場(chǎng)作用下，介質(zhì)中束縛電荷發(fā)生位移，這種現(xiàn)象稱為極化。無(wú)極分子有極分子Ea介質(zhì)的極化極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場(chǎng)的源。有極分子無(wú)極分子導(dǎo)體中的電子通常稱為自由電子，它們所無(wú)極分子在電場(chǎng)中，正負(fù)電荷中心會(huì)被拉開一段距離，產(chǎn)生感應(yīng)電偶極矩，這稱為位移極化。感應(yīng)電偶極矩l（1）無(wú)極分子介質(zhì)位移極化（displacementpolarization）

兩類電介質(zhì)極化有極分子在電場(chǎng)中，固有電偶極矩會(huì)轉(zhuǎn)向電場(chǎng)的方向，這稱為轉(zhuǎn)向極化。（2）有極分子介質(zhì)轉(zhuǎn)向極化(orientationpolarization)l說明：（1）靜電場(chǎng)中，有極分子也有位移極化，

但主要是轉(zhuǎn)向極化；介質(zhì)的極化無(wú)極分子在電場(chǎng)中，正負(fù)電荷中心會(huì)被拉開一段距離，產(chǎn)生感應(yīng)電偶極化的結(jié)果：電介質(zhì)內(nèi)部的總電矩不為零的偶極子將產(chǎn)生一個(gè)附加電場(chǎng)。極化電荷產(chǎn)生的附加電場(chǎng)在電介質(zhì)中只能削弱外加電場(chǎng)而不能將其抵消為零。故電介質(zhì)內(nèi)部總電場(chǎng)強(qiáng)度一般不為零。

電場(chǎng)是由電荷產(chǎn)生的，因此附加電場(chǎng)可以認(rèn)為是在電介質(zhì)內(nèi)部及表面形成了產(chǎn)生附加電場(chǎng)的等效電荷分布，但此電荷都是被束縛在偶極子中的，故稱為束縛電荷（極化電荷）。極化的分類單原子的電子——電子極化化合物（分子）——電子極化、離子極化具有固