1、北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及例題第一章直角三角形的邊角關(guān)系1正切：在RtABC中，銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做A的正切，記作tanA，即tanAA的對(duì)邊;A的鄰邊tanA是一個(gè)完滿的符號(hào)，它表示A的正切，常省去角的符號(hào)“”；tanA沒(méi)有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中A的對(duì)邊與鄰邊的比；tanA不表示“tan乘”以“A”；tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。例在RtABC中，若是各邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，那么銳角A的正弦值（）A.擴(kuò)大2倍B.減小2倍C.擴(kuò)大4倍D.沒(méi)有變化正弦：在RtABC中，銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作sinA，即A

2、的對(duì)邊sinA;斜邊例在ABC中，若C90，sinA1，AB2，則ABC的周長(zhǎng)為2余弦：在RtABC中，銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記作cosA，即A的鄰邊cosA;斜邊例等腰三角形的底角為30，底邊長(zhǎng)為23，則腰長(zhǎng)為（）A4B23C2D22一個(gè)銳角的正弦、余弦分別等于它的余角的余弦、正弦。30o45o60osin123222cos321222tan3133例ABC中，A，B均為銳角，且有|tanB3|（2sinA20，則ABC3）是（）A直角（不等腰）三角形B等腰直角三角形C等腰（不等邊）三角形D等邊三角形當(dāng)從低處察看高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為仰角當(dāng)從高處察看低處的目標(biāo)

3、時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為俯角在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和二個(gè)銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形。在ABC中，C為直角，A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則有(1)三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2；(2)兩銳角的關(guān)系：AB=90；(3)邊與角之間的關(guān)系：sinAa,cosAb,tanAa,ccbsinBb,cosBa,tanBb,cca(4)面積公式:S1ab1chc(hc為C邊上的高);2例在ABC中，C90，以下式子必然能成立的是（）AacsinBBabcosBCcatanBDabtanA解直角三角形的幾種基本種類

4、列表以下：例ABC中，C=90，AC=25，A的角均分線交BC于D，且AD=415，3則tanA的值為A、815B、3C、3D、1533例已知，四邊形ABCD中，ABC=ADB=900，AB=5，AD=3，BC=23，求四邊形ABCD的面積S四邊形ABCD.9.如圖2，坡面與水平面的夾角叫做坡角或叫做坡比。用字母i表示，即()ihtanAl例一人乘雪橇沿坡度為1:3的斜坡滑下，滑下距離S（米）與時(shí)間t（秒）之間的關(guān)系為S10t2t2,若滑動(dòng)時(shí)間為4秒，則他下降的垂直高度為A、72米B、36米C、363米D、183米10.從某點(diǎn)的正北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方向角。如圖3，OA、O

5、B、OC的方向角分別為45、135、225。正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角，叫做方向角。如圖4，OA、OB、OC、OD的方向角分別是；北偏東30，南偏東45(東南方向)、南偏西為60，北偏西60。Bi=h:lhClA圖4圖3圖2第二章二次函數(shù)二次函數(shù)的看法：形如yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)的函數(shù)，叫做。x的二次函數(shù)（1）自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。（2）yax2(a0)是二次函數(shù)的特例，此常常數(shù)b=c=0.（3）在寫(xiě)二次函數(shù)的關(guān)系式時(shí)，必然要搜尋兩個(gè)變量之間的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍。2.二次函數(shù)yax2的圖象是一條極點(diǎn)在原點(diǎn)且關(guān)于

6、y軸對(duì)稱的拋物線。描述拋物線常從張口方向、對(duì)稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高（或最低）點(diǎn)、拋物線與x軸的交點(diǎn)等方面來(lái)描述。函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)；拋物線的極點(diǎn)在(0，0)，對(duì)稱軸是y軸(或稱直線x0)。當(dāng)a0時(shí)，拋物線張口向上，并且向上方無(wú)量伸展。當(dāng)a0時(shí)，拋物線張口向下，并且向下方無(wú)量伸展。函數(shù)的增減性：0時(shí),y隨x增大而減小;A、當(dāng)a0時(shí)0時(shí),y隨x增大而增大.0時(shí),y隨x增大而增大;B、當(dāng)a0時(shí)0時(shí),y隨x增大而減小.當(dāng)a越大，拋物線張口越小；當(dāng)a越小，拋物線的張口越大。最大值或最小值：當(dāng)a0，且x0時(shí)函數(shù)有最小值，最小值是0；當(dāng)a0，且x0時(shí)函數(shù)有最大值，最大值是03.二次函數(shù)ya

7、x2c的圖象是一條極點(diǎn)在y軸上且關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線二次函數(shù)yax2c的圖象中，a的符號(hào)決定拋物線的張口方向，|a|決定拋物線的張口程度大小，c決定拋物線的極點(diǎn)地址，即拋物線地址的高低。4.二次函數(shù)yax2bxc的圖象是以xb為對(duì)稱軸，極點(diǎn)在（b，2a2a4acb24a）的拋物線。（張口方向和大小由a來(lái)決定）5.二次函數(shù)yax2bxc的圖象與yax2的圖象的關(guān)系：ax2bxc的圖象能夠由yax2的圖象平移獲取，其步驟以下：將yax2bxc配方成ya(xh)2k的形式；（其中h=b，2ak=4acb2）；4a把拋物線yax2向右（h0）或向左（h0）或向下（k0，則當(dāng)xb2a時(shí)，y隨x的增大而減

8、?。粫r(shí)，y隨x的增大而增大。若a0，則當(dāng)xb2a時(shí)，y隨x的增大而增大；時(shí)，y隨x的增大而減小。最值：若a0，則當(dāng)x=b時(shí)，y最小4acb2；2a4a若a0拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；b24ac=0拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；b24ac0拋物線與x軸有0個(gè)交點(diǎn)（無(wú)交點(diǎn)）；例已知二次函數(shù)，且，則必然有（）A.B.C.D.0例已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么一元二次方程的根的情況是_.例已知拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則=_.第三章圓圓的定義：描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做圓；固定的端點(diǎn)O叫做圓心；線段OA叫做半徑；以點(diǎn)O為圓心的圓，記

9、作O，讀作“圓O”會(huì)集性定義：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的會(huì)集。其中定點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做圓的半徑，圓心確定圓的地址，半徑確定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。對(duì)圓的定義的理解：圓是一條封閉曲線，不是圓面；圓由兩個(gè)條件獨(dú)一確定：一是圓心（即定點(diǎn)），二是半徑（即定長(zhǎng)）。點(diǎn)與圓的地址關(guān)系及其數(shù)量特點(diǎn)：若是圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則點(diǎn)在圓上d=r;點(diǎn)在圓內(nèi)dr;點(diǎn)在圓外dr.例若A的半徑為5，圓心A的坐標(biāo)是(3，4)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(5，8)，則點(diǎn)P的地址為（）A、在A內(nèi)B、在A上C、在A外D、不能夠確定規(guī)若O所在平面內(nèi)一點(diǎn)P到O上的點(diǎn)的最大距離為a，最小距離為b（ab），則此圓的

10、半徑為（）AabBabCab或abDab或ab2222圓的對(duì)稱性:（1）與圓相關(guān)的看法：弦和直徑：弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑?；?、半圓、優(yōu)弧、劣?。夯。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，用符號(hào)“”表示，以CD為端點(diǎn)的弧記為“”，讀作“圓弧CD”或“弧CD”。半圓：直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧。劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧。(為了差異優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個(gè)字母表示。)弓形：弦及所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形。同心圓：圓心同樣，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓。等圓：能夠完滿重合的兩個(gè)圓叫做等圓，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓。等弧：在

11、同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。圓心角：極點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.2）圓是軸對(duì)稱圖形，直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。3）垂徑定理：垂直于弦的直徑均分這條弦，并且均分弦所對(duì)的兩條弧。推論：均分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且均分弦所對(duì)的兩條弧。說(shuō)明：依照垂徑定理與推論可知關(guān)于一個(gè)圓和一條直線來(lái)說(shuō)，若是具備：過(guò)圓心；垂直于弦；均分弦；均分弦所對(duì)的優(yōu)弧；均分弦所對(duì)的劣弧。上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可推出其他三個(gè)結(jié)論。4）定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等、所對(duì)的弦相等、所對(duì)的弦心距相等。推論:在同圓或等圓中,若是兩個(gè)圓心角

12、、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其他各組量都分別相等.例兩個(gè)同心圓的半徑分別為3cm和4cm，大圓的弦BC與小圓相切，則BC=_cm.例已知O的半徑為2cm,弦AB長(zhǎng)為23cm,則這條弦的中點(diǎn)到弦所對(duì)劣弧的中點(diǎn)的距離為()A1B2C3D4比方圖為直徑是52cm圓柱形油槽,裝入油后,油深CD為16cm,那么油面寬度AB=cm.圓周角和圓心角的關(guān)系:OABDC1）弧的看法:把極點(diǎn)在圓心的周角均分成360份時(shí),每一份的角都是1的圓心角,相應(yīng)的整個(gè)圓也被均分成360份,每一份同樣的弧叫1弧.2）圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等.這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等,而不是角

13、與弧相等.即不能夠?qū)懗葾OB=,這是錯(cuò)誤的.（3）圓周角的定義:極點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓訂交的角,叫做圓周角.（4）圓周角定理:一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對(duì)的弧也相等；推論2:半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是直徑；例下面四個(gè)命題中,正確的一個(gè)是()均分一條弦的直徑必垂直于這條弦均分一條弧的直線垂直于這條弧所對(duì)的弦圓心角相等,圓心角所對(duì)的弧相等在一個(gè)圓中,均分一條弧和它所對(duì)弦的直線必經(jīng)過(guò)這個(gè)圓的圓心比方圖，ABC內(nèi)接于O，若A=40，則OBC的度數(shù)為（A20B40C50D70）比方圖，小

14、明同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)測(cè)量圓直徑的工具，標(biāo)有刻度的尺子OA、OB在O點(diǎn)釘在一起，并使它們保持垂直，在測(cè)直徑時(shí)，把O點(diǎn)靠在圓周上，讀得刻度OE=8個(gè)單位，OF=6個(gè)單位，則圓的直徑為（）A12個(gè)單位B10個(gè)單位C1個(gè)單位D15個(gè)單位確定圓的條件:（1）確定一個(gè)圓必定的具備兩個(gè)條件:圓心和半徑,圓心決定圓的地址,半徑?jīng)Q定圓的大小.經(jīng)過(guò)一點(diǎn)能夠作無(wú)數(shù)個(gè)圓,經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)也能夠作無(wú)數(shù)個(gè)圓,其圓心在這個(gè)兩點(diǎn)線段的垂直均分線上.2）經(jīng)過(guò)三點(diǎn)作圓要分兩種情況:經(jīng)過(guò)同素來(lái)線上的三點(diǎn)不能夠作圓.經(jīng)過(guò)不在同素來(lái)線上的三點(diǎn),能且僅能作一個(gè)圓.定理:不在同素來(lái)線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.(3)三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三

15、角形的看法:i.三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形:經(jīng)過(guò)一個(gè)三角形三個(gè)極點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的外接圓,這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.三角形的外心:三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三極點(diǎn)的距離相等.例平行四邊形的四個(gè)極點(diǎn)在同一圓上，則該平行四邊形必然是（）A、正方形B、菱形C、矩形D、等腰梯形直線與圓的地址關(guān)系直線和圓訂交、相切、相離的定義:訂交:直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓訂交,這時(shí)直線叫做圓的割線.相切:直線和圓有獨(dú)一公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相切,這時(shí)直線叫做圓的切線,獨(dú)一的公共點(diǎn)做切點(diǎn).相離:直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相離.（2）直線與圓的

16、地址關(guān)系的數(shù)量特點(diǎn):設(shè)O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d；dr直線L和O訂交.d=r直線L和O相切.dr直線L和O相離.3）切線的判判定理:經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.4）切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn).推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.解析性質(zhì)定理及兩個(gè)推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系,可得以下結(jié)論:若是一條直線具備以下三個(gè)條件中的任意兩個(gè),即可推出第三個(gè).垂直于切線;過(guò)切點(diǎn);過(guò)圓心.（5）三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的看法.和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心,這

17、個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.6）三角形內(nèi)心的性質(zhì):三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.過(guò)三角形極點(diǎn)和內(nèi)心的射線均分三角形的內(nèi)角.由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線:連接內(nèi)心和三角形的極點(diǎn),該線均分三角形的這個(gè)內(nèi)角.例以下四個(gè)命題中正確的選項(xiàng)是（）與圓有公共點(diǎn)的直線是該圓的切線垂直于圓的半徑的直線是該圓的切線到圓心的距離等于半徑的直線是該圓的切線過(guò)圓直徑的端點(diǎn)，垂直于此直徑的直線是該圓的切線A、B、C、D、例過(guò)O外一點(diǎn)P作O的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)為A和B，若AB=8，AB的弦心距為3，則PA的長(zhǎng)為()A、5B、20C、25D、833比方圖，P為O外一點(diǎn)，PA、PB分別切O于A、B，CD切O于點(diǎn)E，分別交

18、PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA=5，則PCD的周長(zhǎng)為（）A5B7C8D107.圓和圓的地址關(guān)系.（1）外離、外切、訂交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種地址關(guān)系的定義.外離:兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn),并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外面時(shí),叫做這兩個(gè)圓外離.外切:兩個(gè)圓有獨(dú)一的公共點(diǎn),并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外,每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外面時(shí),叫做這兩個(gè)圓外切.這個(gè)獨(dú)一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).訂交:兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)叫做這個(gè)兩個(gè)圓訂交.內(nèi)切:兩個(gè)圓有獨(dú)一的公共點(diǎn),并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外,一個(gè)圓上的都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí),叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切.這個(gè)獨(dú)一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).內(nèi)含:兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn),并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一

19、個(gè)圓的內(nèi)部時(shí),叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含.兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一個(gè)特例.2）兩圓地址關(guān)系的性質(zhì)與判斷:兩圓外離dR+r兩圓外切d=R+r兩圓訂交R-rdR+r(Rr)兩圓內(nèi)切d=R-r(Rr)兩圓內(nèi)含dr)3）相切兩圓的性質(zhì):若是兩個(gè)圓相切,那么切點(diǎn)必然在連心線上.4）訂交兩圓的性質(zhì):訂交兩圓的連心線垂直均分公共弦.例已知O1的半徑r為3cm，2的半徑R為，兩圓的圓心距12為，O4cmOO1cm則這兩圓的地址關(guān)系是（）（A）訂交（B）內(nèi)含（C）內(nèi)切（D）外切弧長(zhǎng)及扇形的面積（1）圓周長(zhǎng)公式:圓周長(zhǎng)C=2R(R表示圓的半徑)（2）弧長(zhǎng)公式:弧長(zhǎng)lnR(R表示圓的半徑,n表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù))1803）

20、扇形定義:一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.4）弓形定義:由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形.弓形弧的中點(diǎn)到弦的距離叫做弓形高.（5）圓的面積公式.圓的面積SR2(R表示圓的半徑)（6）扇形的面積公式:扇形的面積S扇形nR2(R表示圓的半徑,n表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù))360（7）弓形的面積公式:ABOOOABABCCC(1)當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí),S弓形S扇形S三角形(2)當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí),S弓形S扇形S三角形(3)當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí),S弓形1R2S扇形2比方圖，一塊邊長(zhǎng)為8cm的正三角形木板ABC，在水平桌面上繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至ABC的地址時(shí)，極點(diǎn)C從

21、開(kāi)始到結(jié)束所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為(點(diǎn)A、B、C在同素來(lái)線上)（）CARo60ABCA、16B、8C、64D、16333例要修一段如上圖所示的圓弧形彎道，它的半徑是48m，圓弧所對(duì)的圓心角是60，那么這段彎道長(zhǎng)_m(保留).例兩同心圓中，大圓的弦AB切小圓于C點(diǎn)，且AB=20cm,則夾在兩圓間的圓環(huán)面積是_cm29.圓錐的相關(guān)看法:1）圓錐能夠看作是一個(gè)直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形,另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面,斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面.2）圓錐的側(cè)面張開(kāi)圖與側(cè)面積計(jì)算:圓錐的側(cè)面張開(kāi)圖是一個(gè)扇形,這個(gè)扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長(zhǎng)、弧長(zhǎng)是圓錐底面圓的周長(zhǎng)、圓心是圓

22、錐的極點(diǎn).若是設(shè)圓錐底面半徑為r,側(cè)面母線長(zhǎng)(扇形半徑)是l,底面圓周長(zhǎng)(扇形弧長(zhǎng))為c,那么它的側(cè)面積是:S側(cè)1cl12rlrl22S表S側(cè)S底面rlr2r(rl)例一個(gè)圓錐的底面半徑為3，高為4，則圓錐的側(cè)面積是。例圓錐的底面半徑為3cm,側(cè)面張開(kāi)圖是圓心角為120o的扇形,求圓錐的側(cè)面積。與圓相關(guān)的輔助線1）如圓中有弦的條件,常作弦心距,或過(guò)弦的一端作半徑為輔助線.2）如圓中有直徑的條件,可作出直徑上的圓周角.3）如一個(gè)圓有切線的條件,常作過(guò)切點(diǎn)的半徑(或直徑)為輔助線.4）若條件交代了某點(diǎn)是切點(diǎn)時(shí),連接圓心和切點(diǎn)是最常用的輔助線.第四章統(tǒng)計(jì)與概率實(shí)驗(yàn)頻率與理論概率的關(guān)系可是在實(shí)驗(yàn)次數(shù)很多時(shí),實(shí)驗(yàn)頻率湊近于理論看法,但實(shí)驗(yàn)次