1、( ) 根 典 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN平方根 算術(shù)平方根 立方根三說一、平根、算術(shù)平根、立根知識點概 1. 平方根、術(shù)平方的概念與性如果一個數(shù) 的平方等于 （即 a ），那么這個數(shù) x 就叫做 a 的平方根（或二次方根），記作： ，這里 a 是 的平方數(shù)，故 a 必是一個非負數(shù) 0 ；例 如 16 的平方根是4從定義還可得出：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；負數(shù)沒有平方根；0 的平方根只有一個 0，即為它本身。正數(shù) a 的正的平方根叫做 的算術(shù)平方根，表示為 的算術(shù)平方根是 4 從定義中容易發(fā)現(xiàn)：算術(shù)平方根具有雙重非負性： 0 ； 0

2、 。2. 平方根、術(shù)平方的區(qū)別與聯(lián)區(qū)別：定義不同；個數(shù)不同；表示方法不同；取值范圍不同：平方根可以是正數(shù)、負數(shù)、零，而算術(shù)平方根只能取零及正數(shù)， 即非負數(shù)。聯(lián)系：它們之間具有包含關(guān)系；它們賴以生存的條件相同，即均為非負數(shù)；0 的平根以及算術(shù)平方根均為 03. 立方根定義與質(zhì)22 2 2 2 如果一個數(shù) x 立方等于 （即 x 方根），記作： 。3a），那么這個數(shù) 就叫做 a 立方根（或三次立方根的性質(zhì)：正數(shù)的立方根是正數(shù)，0 的立方根是 ，負數(shù)的立方根是負數(shù)。二、解中常見的錯剖析例 錯解： 剖析：個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)， 平方根應(yīng)有兩個即3例 求 的算術(shù)平方根。錯解： 29 9 算

3、術(shù)平方根是 剖析：題是沒有搞清題目表達的意義，錯誤的認為是求 9 的術(shù)平方根，因而導致誤解，事實上本題 就是表示的 9 的算術(shù)平方根，而整個題目的意義是讓求 9 的算 術(shù)平方根的算術(shù)平方根。 9 ，而 的術(shù)平方根為 ，故 的算術(shù)平方根應(yīng)為 3 。仿此你能給出 的平方根的結(jié)果嗎？3三、典例題的探索解析例 已知： M 算數(shù)平方根， N a 立方根，求M 的平方根。分析：算術(shù)平方根及立方根的意義可知 a a 2 聯(lián)立解方程組，得： a ， 代入已知條件得： M 9 ， 0所以 M 9 3故 MN 平方根是 3 。例 已知 y 3，4 x y 求 x 算術(shù)平方根與立方根。分析：已知得 x y 32 9

4、 4 x 聯(lián)立解方程組，得： x ， 所以 x y 5因而 x 的算術(shù)平方根與立方根分別為 3 。42 22 2例 若一個正數(shù) 的兩個平方根分別為 x a的值。分析：平方根的性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，因而可構(gòu)造方 程 x 解得 x 從而 a 評注：題利用平方根的性質(zhì)，構(gòu)造一元一次方程，先求出其平方根，再進一步求出 a解法可謂簡捷明了，令人耳目一新。事實上方程思想是初中階段一種重要的數(shù)學 思想方法，應(yīng)引起同學們高度重視。例 比較 a、1a、 a 的小。1 1分析：比較 、 、 a 大小，必須搞清 a 的取值范圍，由 知 a 0 ， 知a aa 0 ，綜合得 a 0 此時仍無法比

5、較，為此可將 a 的取值分別為 ； a 三種情況進行討論，各個擊破。當 時，取 a 0.01則1 1100、 a ，顯然有 a a a a當 時， a 1a 5當 時，仿取特殊值可得 a a 1a評注：題的解答用到了分類討論的思想，所謂分類思想就是根據(jù)問題的需要將涉及的對象按一定的標準分成若干類，然后再逐類討論求解的思維方法。分類要遵循三 條原則：標準統(tǒng)一；任何兩種情況不重復；每一種情況都不能遺漏。例 已知有理數(shù) 滿足 2004 a ，求 2004 2 的值。分析：察表達式 2005 的隱含條件，被開方數(shù)應(yīng)為非負數(shù)即 a 亦即 ，原已知式可化為： 2005 a 2005 2005 200420

6、05例 若 、 合關(guān)系式3 2 x y m y 2005 x 試求 m 值。分析：察等式的右邊的兩個表達式的被開方數(shù)互為相反數(shù)，再結(jié)合只有非負數(shù)才 有算術(shù)平方根，因而必有 6所以 y 。原已知式可化為：3 y 2 x 再變形得： 2 *將 y 代入（*得：6015 4010 0由算術(shù)平方根的非負性，再根據(jù)“干個非負數(shù)的和為零，則其中每一個非負數(shù)均 為零”可得 y 4010 y 解這個方程組得： m 2008評注：住題目中隱含的算術(shù)平方根具有雙重非負性： 0 ； 0 解決此類問題的關(guān)鍵。例 9.有理數(shù) 、c 在數(shù)軸對應(yīng)點如下圖所示，化簡b 。分析：據(jù)數(shù)軸上的點表示的數(shù)，右邊的總比左邊的數(shù)大可知： 0， ，a 再結(jié)合算術(shù)平方根應(yīng)為非負數(shù)，因而7原式 a評注：例借助以形（數(shù)軸）輔數(shù)（確 ， ， 的符號）的方法解題的，是數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn)。所謂數(shù)形結(jié)合思想就是在已知條件下建立數(shù)和形之間的關(guān)系，以形輔數(shù)，以數(shù)定形，利用數(shù)、形的相互關(guān)系來解題的思維方法。例 10.借助計算器計算下列各題：（1 11 （2 22（3 111111 （4 仔細觀察上面幾道題及其計算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律你能解釋這一規(guī)律嗎分析：用計算器計算得：（1 11 （2 1111 （3 111111 222 333（4 11111111 33338 觀察上述各式的結(jié)果，容易猜想其中的規(guī)