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1、矩量法在電磁散射中的應(yīng)用介紹矩量法在電磁散射中的應(yīng)用介紹矩量法在電磁散射中的應(yīng)用介紹矩量法在電磁散射中的應(yīng)用一矩量法在電磁散射問(wèn)題中的應(yīng)用電磁散射問(wèn)題是電磁學(xué)中的一個(gè)重要研究領(lǐng)域,研究電磁波的散射機(jī)理以及計(jì)算其散射場(chǎng)強(qiáng)的大小與散布,擁有十分重要的實(shí)質(zhì)意義。矩量法作為一種有效的數(shù)值計(jì)算方法在此中有著寬泛的應(yīng)用。但作為一種計(jì)算方法它也有著自己的缺點(diǎn),為認(rèn)識(shí)決這些問(wèn)題,人們提出了各樣方案,矩量法在這個(gè)過(guò)程中也獲取了很大的發(fā)展。MoM(MethodofMoments)本來(lái)是一種近似求解線性算子方程的方法,經(jīng)過(guò)它能夠?qū)⑺阕臃匠剔D(zhuǎn)變?yōu)橐痪仃嚪匠?,從而?jīng)過(guò)求解此矩陣方程獲取最后的近似解。MoM最早是由兩位數(shù)

2、學(xué)家和V.IKrylov提出的,后出處KKMei引入計(jì)算電磁學(xué),最后被RF.Harryington在其著作計(jì)算電磁場(chǎng)中的矩量法中加以系統(tǒng)描繪。利用矩量法求解電磁問(wèn)題的主要長(zhǎng)處是:它嚴(yán)格地計(jì)算了各個(gè)子系統(tǒng)間的互耦,而算法自己又從根本上保證了偏差系統(tǒng)整體最小而不產(chǎn)生數(shù)值色散?,F(xiàn)在MoM被寬泛應(yīng)用于計(jì)算電磁學(xué)中,固然它不可以辦理電大尺寸目標(biāo)的電磁問(wèn)題,但鑒于MoM的各樣加快方法仍遇到極大重視,如多層快速多極子方法MLMFA等。電磁散射問(wèn)題是電磁學(xué)中的一個(gè)重要研究領(lǐng)域,研究電磁波的散射機(jī)理以及計(jì)算其散射場(chǎng)強(qiáng)的大小與散布,擁有十分重要的實(shí)質(zhì)意義。在實(shí)質(zhì)生活中,碰到的散射目標(biāo)常常不單擁有復(fù)雜的幾何形狀,并

3、且組成的資料也各不同樣。所以對(duì)復(fù)雜目標(biāo)的電磁散射特征進(jìn)行快速、高效的剖析,擁有重要的理論意義和適用價(jià)值。電磁散射問(wèn)題只有在相對(duì)簡(jiǎn)單的狀況下才能夠用嚴(yán)格的分析法來(lái)求解,比方對(duì)很少量形狀規(guī)則的物體。關(guān)于電大物體,能夠用高頻近似方法,比如幾何光學(xué)法(GO)、物理光學(xué)法(PO)、幾何繞射理論(GTD)、物理繞射理論(PTD)、一致性幾何繞射理論(UTD)、復(fù)射線法(CT)等來(lái)求解散射場(chǎng)。反之,關(guān)于電小物體,能夠用準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)來(lái)進(jìn)行剖析。介乎這二者之間的物體,一般采納數(shù)值方法。當(dāng)前剖析電磁散射問(wèn)題的數(shù)值方法主要有微分方程法和積分方程法。微分方程法有有限差分法(FDM)、時(shí)域有限差分法(FDTD)、頻域有限差

4、分法(FDFD)、時(shí)域平面波法(PWTD)、時(shí)域多分辨剖析法(MRTD)、有限元法(FEM)、傳輸線矩陣法(TLM)等,積分方程法有表面積分方程法(SIEM)、矩量法(MOM)、界限元法(BEM)、體積分方程法(VIEM)、快速多極子法(FMM)、時(shí)域積分方程法(IETD)等。這些方法各有優(yōu)弊端,有的是為了防止矩陣求逆,有的是為了加快收斂,有的是為了提升精度,還有的是為了減少儲(chǔ)存等。它們被寬泛應(yīng)用于求解復(fù)雜的工程電磁場(chǎng)問(wèn)題中。應(yīng)用微分方程法求解電磁散射問(wèn)題時(shí),由于散射體的外空間為無(wú)窮大,需要人為設(shè)置截?cái)嘟缦奘骨蠼獾貐^(qū)有限,這類截?cái)嘟缦薜囊霑?huì)致使非物理的反射現(xiàn)象。矩量法是一種將連續(xù)方程失散化成

5、代數(shù)方程組的方法,常常被看作數(shù)值“精準(zhǔn)解”。它既合用于電磁場(chǎng)積分方程又合用于微分方程,因?yàn)橐呀?jīng)有有效的數(shù)值計(jì)算方法求解微分方程,所以當(dāng)前矩量法多半用來(lái)求解積分方程。因?yàn)榇朔椒芙鉀Q界限比較復(fù)雜的一些問(wèn)題,因此獲取了寬泛的應(yīng)用。需要注意的是,固然矩量法中求解阻抗矩陣的表達(dá)式較為簡(jiǎn)單,但其計(jì)算工作量很大,關(guān)于以積分方程為基礎(chǔ)的失散方程,其系數(shù)矩陣往常為滿矩陣,全部元素都需大批的數(shù)值計(jì)算。特別跟著目標(biāo)電尺寸的增大,矩量法獲取的系數(shù)矩陣將快速增大,這將給計(jì)算機(jī)內(nèi)存和CPU帶來(lái)深重的負(fù)擔(dān)。為了克服這些困難,人們對(duì)傳統(tǒng)矩量法進(jìn)行了一些改良,提出了一些快速、有效的方法,如快速多極子方法(FMM)和多層快速多

6、極子方法(MLFMM),阻抗矩陣局部化(IML)方法和壓縮或稀少化阻抗矩陣的小波分解法,(鑒于快速Fourier變換的CGFFT法、稀少矩陣規(guī)則網(wǎng)格(SMCG)法和自適應(yīng)積分法(AIM),來(lái)降低計(jì)算機(jī)內(nèi)存和計(jì)算量的需求。在這些快速剖析方法中,需要的計(jì)算量和內(nèi)存分別降為D(NlogW)和0(N),N為未知變量數(shù)??墒?,這些改良的方法仍舊受傳統(tǒng)矩量法失散尺寸的限制。采納整域基函數(shù)取代分域基函數(shù)能夠降低矩量法系數(shù)矩陣的維數(shù)。但是,在絕大部分狀況下,難以找到適合的整域基函數(shù)。為此,最近幾年來(lái),人們又相繼睜開了一些鑒于部分域(子域或塊)觀點(diǎn)來(lái)降低矩陣維數(shù)的研究,如多層矩量法(MMM)、子域多層法(SMA

7、)、合成基函數(shù)(SBF)法等。這些方法經(jīng)過(guò)對(duì)問(wèn)題的部分域進(jìn)行剖析來(lái)結(jié)構(gòu)宏基函數(shù),宏基函數(shù)的域比傳統(tǒng)矩量法的大,所以能夠降低未知變量數(shù)。這幾種方法是經(jīng)過(guò)迭代的方式遞歸地修正互耦項(xiàng)來(lái)改良解的收斂性。特點(diǎn)基函數(shù)法(CBFM)是近兩年提出來(lái)的一種新的求解電磁散射問(wèn)題的有效方法。二矩量法的基來(lái)源理矩量法是將算子方程轉(zhuǎn)變?yōu)榫仃嚪匠蹋笄蠼庠摼仃嚪匠痰姆椒ǎ驗(yàn)樵谇蠼夥匠踢^(guò)程中,需要計(jì)算廣義矩量,所以我們稱這類方法稱為矩量法,其實(shí)質(zhì)是內(nèi)域基加權(quán)余量法。(一)失散化過(guò)程已知算子方程:LfgL程g已知,f獨(dú)一確立。設(shè)fnfn(n是系數(shù),fn是基函數(shù))。其n中fn不必定是齊備的,n越大,不必定越好,只有fn齊備

8、,n越大越靠近真值。方程失散為:nLfngn此過(guò)程的主要目的在于將算子方程轉(zhuǎn)為代數(shù)方程,詳細(xì)步驟以下:(1)在算子L的定義域內(nèi)適合的選擇一組基函數(shù),f1,f2,f3.fn,他們應(yīng)當(dāng)是線性沒(méi)關(guān)的。將未知函數(shù)f(x)表示為該組基函數(shù)的線性組合,并取有限項(xiàng)近似,即:f(x)N(2-1)nfnfNxnfnn1n1(3)將公式(2-1)利用算子的線性,可將算子方程化為代數(shù)方程,即:N(2-2)nL(fn)gn1于是,待求f(x)的問(wèn)題化解為求解fn的系數(shù)n的問(wèn)題。(二)取樣查驗(yàn)過(guò)程為了使f(x)的近似函數(shù)fNx之間的偏差極小,一定進(jìn)行抽樣查驗(yàn),在抽樣點(diǎn)上使加權(quán)均勻偏差為零,從而確立未知系數(shù)n,這一過(guò)程的

9、基本步驟以下:(1)在算子L的值域內(nèi)取適合的選擇一組加權(quán)函數(shù)w1,w2,w3.wn,他們也是線性沒(méi)關(guān)的。(2)將wm與式(2-2)取內(nèi)積進(jìn)行抽樣查驗(yàn),因?yàn)橐_立N個(gè)未知數(shù),需要進(jìn)行N次抽樣查驗(yàn),則NnL(fn),wmg,wm(m1,2,3.N)(2-3)n1(3)利用算子的線性和內(nèi)積的性質(zhì),將(2-3)式轉(zhuǎn)變?yōu)榫仃嚪匠蹋?N(2-4)nL(fn),wmg,wm(m1,2,3.N)(選配過(guò)程)n1將它寫成矩陣形式:lmnngn(2-5)于是,求解代數(shù)方程問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼饩仃嚪匠痰膯?wèn)題。(三)矩陣求逆一旦求得了矩陣方程,經(jīng)過(guò)慣例的矩陣求逆或求解線性方程組,就能夠獲取矩陣方程的解。假如lmn是非奇怪

10、的,則它的逆矩陣lmn1是存在的,則矩陣方程的解為:1(2-6)nlmngm將求得的睜開系數(shù)n帶入到(2-1)式中,就能夠獲取本來(lái)算子方程的近似解為:NfNxnfn(x)(2-7)n1以上所述是矩量法求解算子方程的基本過(guò)程,在矩量法的全部應(yīng)用中,往常都要按照這個(gè)一致的過(guò)程。因?yàn)閒(x)和fNx之間存在近似,故算子方程的左端近似值與右端精準(zhǔn)值之間存在以下關(guān)系:NxnL(fn(x)g(x)(2-8)n1三基函數(shù)與權(quán)函數(shù)的選擇矩量法的求解過(guò)程是簡(jiǎn)單的,求解步驟是一致的,應(yīng)用起來(lái)比較方便。求解精度取決于好多要素,比如失散化的成都、基函數(shù)和權(quán)函數(shù)的選用和矩陣的求解過(guò)程等,此中基函數(shù)與權(quán)函數(shù)的選擇特別重要

11、,能夠直接影響到求解的精度?;瘮?shù)能夠分為全域基和分域基,權(quán)函數(shù)能夠分為權(quán)函數(shù)、分域權(quán)和點(diǎn)般配,它們之間的不一樣組合便形成不一樣的方法。下邊簡(jiǎn)單的對(duì)此進(jìn)行介紹。1、全域基函數(shù):全域基函數(shù)是指算子L定義域內(nèi)的全域上存在一組基函數(shù)。他們應(yīng)當(dāng)知足界限條件。在矩量法求解的失散化過(guò)程中,選擇全域基函數(shù)作為睜開函數(shù),實(shí)質(zhì)大將未知函數(shù)表示為全域存在的若干個(gè)失散化基函數(shù)的線性組合。2、分域基函數(shù):分域基函數(shù)不是在算子L定義域的全域上存在的,而只是存在于算子定義域的各個(gè)分域上的函數(shù)。選擇分域基函數(shù)作為未知函數(shù)的睜開函數(shù),在矩量法求解的失散化過(guò)程中是一種地區(qū)失散,即未知函數(shù)表示為各個(gè)分域上存在的函數(shù)線性組合。3、

12、全域權(quán):在算子L的值域內(nèi)選擇一組權(quán)函數(shù)w1,w2,w3.wm,它是一組在L值域內(nèi)的全域上存在的權(quán)函數(shù)。在此方法中,如果選擇wnfn,即權(quán)函數(shù)等于基函數(shù),則稱此方法為伽略金法。4、點(diǎn)般配:全域基、全域權(quán)的伽略金發(fā)是一種常用的求解方法??墒?,假如算子自己是復(fù)雜的積分算子,或許選擇了比較復(fù)雜的基函數(shù),因?yàn)閮?nèi)積運(yùn)算自己又是積分運(yùn)算,從而使矩陣元素lmn和gm的形成十分困難。這時(shí)為了簡(jiǎn)化,我們能夠利用函數(shù)的選擇性將函數(shù)作為權(quán)函數(shù)將使內(nèi)積計(jì)算得以簡(jiǎn)化。四算例問(wèn)題:計(jì)算帶電導(dǎo)體板的電容。正方形板,邊長(zhǎng)為2a,位于z0??臻g中隨意一點(diǎn)電位(x,y,z)aax,ydxdy,此中aa40RR(xx)2(yy)2(

13、zz)2。在板上V為常數(shù),有Vaax,y,此中電荷散布x,y為待求,dxdy40RaaR(xx)2(yy)2,電容為:Cq1aady。計(jì)算當(dāng)a4時(shí)方板的歸一化電容C。dxx,yVVaa2a1選用分域基:方板各邊N平分,2b2a,此中MN2個(gè)子域。定義:N1,此中在Sn上為1,不然為0。將x,ynN2帶入fnnfn0n1Vadxadyx,y中,有aa40RnN2Vlmnn,n1此中l(wèi)mnadxady1。lmn是Sn上單位振幅的均aa40(xx)2(yy)2勻電荷密度在Sm的中心處產(chǎn)生的電位。所以有C1nN21SnnSnlmnVn1m,n物體的電容式其各小塊電容的總和加上每一對(duì)小塊間的互電容。Lf

14、Lx,yadxax,yVdyaa40(xx)2(yy)22取wm(xxm)(yym)lmnN2N2nN21VN21nN21lmn1V1SnnSn1Mlmn11M1CMMV3lmn的計(jì)算:lnn:由Sn自己面上的單位電荷密度在此中心處產(chǎn)生的電位(自作用單元)bblnnbdxb12bdyln1240 x2y20而互作用單元:lmndxdySnxm)2(yym)240(xnxm)2(ynym)2Sn40(x經(jīng)過(guò)計(jì)算模擬能夠發(fā)現(xiàn)當(dāng)N取值越大時(shí),結(jié)果將趨近于一個(gè)定值。當(dāng)N為20時(shí),計(jì)算獲取歸一化電容為40.29PF,特別靠近理論計(jì)算值40PF,偏差為0.725%,在偏差同意范圍內(nèi)。程序:#pragmao

15、nceclassMartixprivate:constintM;constintN;boolflag;double*array;public:Martix(double*_array,int_M,int_N):M(_M),N(_N)array=_array;flag=false;Martix(int_M,int_N):M(_M),N(_N)flag=true;array=newdouble*M;for(inti=0;iM;i+)arrayi=newdoubleN;for(inti=0;iM;i+)for(intj=0;jN;j+)arrayij=0;MartixGauss();voidshow

16、();voidswap(inti,intj);intMax(inti);Martixoperator+(Martix&T);Martixoperator-(Martix&T);Martixoperator*(Martix&T);Martixoperator*(doublet);friendMartixoperator*(doublet,constMartix&T)Martixsum(T.M,T.N);for(inti=0;iT.M;i+)for(intj=0;jarray;intGetM()returnthis-M;intGetN()returnthis-N;boolGetFlag()retu

17、rnthis-flag;Martix();#includeMartix.h#include#includeusingnamespacestd;voidMartix:show()for(inti=0;iM;i+)coutfixedright;for(intj=0;jN;j+)coutsetw(10)setprecision(6)arrayij;coutendl;MartixMartix:Gauss()Martixsum(M,N);for(inti=0;iN;i+)sum.arrayii=1;for(inti=0;iN;i+)if(abs(arrayii)=0.00001&iM-1)if(abs(

18、arrayMax(i)i)=0.00001)continue;intcount=Max(i);swap(i,count);sum.swap(i,count);elseif(abs(arrayii)0.00001&i=N-1)cout沒(méi)有逆矩陣endl;exit(0);/*cout變換前show();*/doubletemp=arrayii;for(intj=0;jN;j+)arrayij=arrayij/temp;sum.arrayij=sum.arrayij/temp;for(intk=i+1;k=0.00001)for(intj=0;jN;j+)arraykj=arraykj-temp*a

19、rrayij;sum.arraykj=sum.arraykj-temp*sum.arrayij;doublet=abs(array00);for(inti=1;iarrayii);if(abs(t)=0.0001)cout沒(méi)有逆矩陣=0;i-)for(intj=0;jN;j+)for(intk=i+1;kN;k+)sum.arrayij=sum.arrayij-arrayik*sum.arraykj;returnsum;voidMartix:swap(inti,intj)doubletemp=0;for(intk=0;kM,this-N);for(inti=0;iM;i+)for(intj=0

20、;jarrayij;returnsum;MartixMartix:operator+(Martix&T)Martixsum(T.M,T.N);if(M!=T.M|N!=T.N)cout錯(cuò)誤endl;for(inti=0;iM;i+)for(intj=0;jarrayij+T.arrayij;returnsum;MartixMartix:operator-(Martix&T)Martixsum(T.M,T.N);if(M!=T.M|N!=T.N)cout錯(cuò)誤endl;for(inti=0;iM;i+)for(intj=0;jarrayij-T.arrayij;returnsum;MartixMa

21、rtix:operator*(Martix&T)Martixsum(T.M,T.N);if(N!=T.M)cout錯(cuò)誤endl;for(inti=0;iM;i+)for(intj=0;jT.N;j+)for(intk=0;karrayik*T.arraykj;returnsum;MartixMartix:operator*(doublet)Martixsum(this-M,this-N);for(inti=0;iM;i+)for(intj=0;jN;j+)sum.arrayij=this-arrayij*t;returnsum;intMartix:Max(inti)intcount=i;doubletemp=abs(arrayii);for(intk=i+1;kN;k+)if(tempabs(arrayki)temp=arrayki;while(temp!=abs(arraycounti)count+;returncount;Martix:Martix()#include#include#include#includeMartix.husingnamespacestd;constdoublepi=3.1

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