1、四點(diǎn)共圓【考點(diǎn)聚焦】模塊一：輔助圓思想平面幾何中有很多題目的背景中并沒(méi)有出現(xiàn)圓，但是如果能夠適當(dāng)添加輔助圓，能讓題目解起來(lái)變得十分簡(jiǎn)單，因此，輔助圓思想是學(xué)習(xí)四點(diǎn)共圓的基礎(chǔ)幾何條件：輔助圓：以O(shè)為圓心、OA為半徑作圓，點(diǎn)B、C在上幾何條件：,輔助圓：以O(shè)為圓心、OC為半徑作圓，點(diǎn)A、D在上模塊二：四點(diǎn)共圓的判定（一）判定定理（常用）：如圖，若，則、四點(diǎn)共圓.特別地，若，則為直徑.判定定理（常用）：如圖，若，則、四點(diǎn)共圓.特別地，若，則為直徑.判定定理：（相交弦定理的逆定理）如圖，若，則、四點(diǎn)共圓.判定定理：（割線定理的逆定理）如圖，若，則、四點(diǎn)共圓.【典例剖析】模塊一例題1（1）如圖1-1，四

2、邊形ABCD中，若，則_，_（2）如圖1-2，已知四邊形ABCD，AB/CD，且，求BD的值 圖1-1 圖1-2例題2（1）如圖2-1，平面上有四個(gè)點(diǎn)A、O、B、C，其中，則_（2）如圖2-2，在中，點(diǎn)P為外一點(diǎn)（P與C在直線AB異側(cè)），且設(shè)點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接PE、CE，試判定線段AB與CE的數(shù)量關(guān)系，并給予證明 圖2-1 圖2-2模塊2【例1】如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，若，的面積為，則的值為 【變式1】如圖，在中，是的中點(diǎn)，交于，分別是上的點(diǎn)，且，若，則 【變式2】如圖，在中，是的中點(diǎn)，交于，與交于點(diǎn)，點(diǎn) 在上，若，則 【例2】如圖，在等邊三角形中，分別是邊上的點(diǎn)，

3、且，與交于，若，則 【變式】如圖，在等邊三角形中，是上一點(diǎn)，過(guò)作于，作于，若，則 【例3】如圖，在正方形中，是邊上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若，則 【變式】如圖，在直角梯形中，平分交于點(diǎn)，在上截取，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)則下列結(jié)論；平分，其中正確的有_（填序號(hào)） 【例4】如圖，在正方形中，是對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，若，則 【變式1】如圖，以的斜邊為一邊在同側(cè)作正方形，設(shè)正方形的中心為，連接，若，則正方形的邊長(zhǎng)為 【變式2】如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)，在同側(cè)，.若，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，作，交直線與點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)與，兩點(diǎn)不重合時(shí)

4、，則的值為 【例5】已知：在中,且，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段上，（1）如圖，當(dāng)時(shí)，求證：；如圖，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)到，使，連接，且交點(diǎn)為若求證：;求的長(zhǎng)度.【例6】如圖，已知中，是高，是角平分線，且，.求證：（1）；（2）. 【例7】【發(fā)現(xiàn)】若，則點(diǎn)在經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓上（如圖） 【思考】如圖，如果（點(diǎn)，在的同側(cè)），那么點(diǎn)還在經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓上嗎？請(qǐng)證明點(diǎn)也不在內(nèi)【應(yīng)用】利用【發(fā)現(xiàn)】和【思考】中的結(jié)論解決問(wèn)題：若四邊形中，點(diǎn)在邊上，（1）作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)（如圖），求證：為的外接圓的切線；（2）如圖，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，已知，求的長(zhǎng) 【例8】在中，邊上的高與三角形的內(nèi)角平分線分別交于點(diǎn),的中點(diǎn)為.

5、探索的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 【例9】如圖，為半圓的直徑，為半圓內(nèi)的一點(diǎn)，直線交半圓于點(diǎn)，直線交半圓于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，為直徑上的一點(diǎn)，且滿足，求證：. 【變式1】（2016年成都中考）如圖2-1，中，于點(diǎn) H，點(diǎn) D在AH上，且，連接BD（1）求證：；（2）如圖2-2，當(dāng)是由繞點(diǎn) H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到時(shí)，連接AE設(shè)射線 CF與AE相交于點(diǎn) G，連接 GH試探究線段 GH與 EF之間滿足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由【變式2】如圖，四邊形內(nèi)接于，分別是的中點(diǎn)，連接與的延長(zhǎng)線交于，連接與延長(zhǎng)線交于，求證：四點(diǎn)共圓.課后精練（1）如圖1-1，四邊形ABCD中，若，則_，_（2）如圖1-2，已知四邊形ABCD，AB/CD，且，求BD的值 圖1-1 圖1-2(3)在中，M是AC的中點(diǎn)，P是線段BM上的動(dòng)點(diǎn)，將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ線段CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D，猜想的大?。ㄓ煤拇鷶?shù)式表示），并加以證明. （4）如圖3-1，四邊形ABCD是正方形，M是BC上一點(diǎn)，交的外角平分線于E，求證：（5）如圖3-2，正方形ABCD的中心為O，面積為1989cm2，P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且，求PB的長(zhǎng) （5）如圖6-1，在四邊形ABCD中，則_（6）如圖6-2，在的邊AB、AC上分別取點(diǎn)Q、P，使得求證： (7)在四邊形ABCD中，求 （8）如圖3-1，AC