1、主講教師：吳波計算機在材料科學與工程中的應用College of Materials Science and EngineeringFuzhou University教學目錄緒論 （1） 網(wǎng)絡(luò)與資源的應用 （2）實驗方案設(shè)計、模型與數(shù)據(jù)處理 （8）主要物理場的數(shù)值模擬 （4）計算機輔助材料設(shè)計與模擬 （12）過程控制 （4）材料檢測分析 （4）狹義的計算材料學數(shù)學建模數(shù)據(jù)處理數(shù)值求解材料設(shè)計與模擬廣義的計算材料學 第四單元 主要物理場的數(shù)值模擬3 數(shù)學模型 數(shù)學模型：用數(shù)學語言對所研究的客觀對象或系統(tǒng)的特征和數(shù)量關(guān)系建立的符號系統(tǒng)。數(shù)學模型建立內(nèi)容主導方程第一邊界條件定解條件幾何條件物理條件初

2、始條件邊界條件定解條件第二邊界條件第三邊界條件圖1 多場耦合關(guān)系的有向圖 圖中圓圈內(nèi)部表明的是一個物理場，如位移場(位移)，括弧內(nèi)部指該場的基本場變量。有向線段表明的是場之間單向作用，箭頭的起點發(fā)于源場，終點指向目的場，如從電場到位移場的有向線段表明電場對位移場的作用。線段中間的文字表明發(fā)生作用的物理量，如電場力表明電場是通過電場力對位移場發(fā)生作用的。 多物理場耦合分析具有以下幾個特點： 溫度場是影響范圍最廣的場。所有的場在不同程度上都受到了溫度的影響，這主要是因為任何一種場都具有其物質(zhì)實體，這種實體的屬性一般是溫度的函數(shù)。 所有場都會對位移場發(fā)生作用。其作用主要是通過力來實現(xiàn)的，雖然位移場的

3、基本變量是位移，但是外界場主要通過力如磁場力、電場力、流體壓力和熱應力等使之發(fā)生變形。 位移場和流場是影響較弱的場。一般而言，二者不會對電磁場發(fā)生較大的作用。這主要是因為二者的介質(zhì)通常不同。電磁場在空氣中傳播時，空氣的強流動也不會對電磁場發(fā)生太大的影響。當電磁場在固體中傳播時，固體的小變形不會對介質(zhì)的性能造成過于明顯的影響。 性質(zhì)相似的場容易發(fā)生相互作用。流場和位移場中發(fā)生的是比較宏觀的機械運動，二者容易發(fā)生流固耦合作用；電磁場源于場間光子的相互交換，二者性質(zhì)相同而使得電磁場幾乎成為不可分割的兩個場(靜電場和靜磁場是電磁場的特殊情況)；溫度場源于大量分子的無規(guī)則運動，是微觀機械運動的宏觀表現(xiàn)，

4、這與宏觀機械運動的流場和位移場不同。 所以總體上，上述五個場可以分為三類：結(jié)構(gòu)場和流場是一類，電磁場是一類，溫度場是一類。 MATLAB程序中的偏微分方程(PDE)工具箱提供了一種用有限元法求解偏微分方程得到數(shù)值近似解的方法，可以求解線性的橢圓型、拋物線型、雙曲線型偏微分方程及本征型方程和簡單的非線性偏微分方程。 3.1.2 數(shù)值分析方法 問題的提出： 對于某一材料科學與工程問題，通過建模，其基本方程（微分方程）和相應的定解條件已知。求解基本方程的兩種途徑：(1)精確的解析解（解析法）建立明確的函數(shù)表達式。(2)近似的數(shù)值求解（數(shù)值解）一系列數(shù)據(jù)對4.1 數(shù)值模擬方法 (離散化方法)4.2 物

5、理場的模擬 溫度場應力場濃度場有限差分法（FDM）有限單元法（FEM）邊界元法 （BEM）Tensile Round Bar FEM model Von Mises stress distribution Tensile Round Bar Local failure probability distribution under 80,000 cyclic loadsLocal failure probability distribution under 100,000 cyclic loadsFour-Point-Bend Bar Four-point-bend load FFFEM mod

6、el, displacement and Von Mises stress distribution Four-Point-Bend Bar Four-point-bend load FFFEM model, displacement and Von Mises stress distribution Local failure probability distribution under 100,000 cyclic loadsLocal failure probability distribution under 120,000 cyclic loadsFailure Probabilit

7、y of Turbine Blade 4.1.1 有限差分4.1.1.1 應用背景4.1.1.2 有限差分定義4.1.1.3 有限差分解題步驟4.1.1.4 誤差分析4.1.1.1 有限差分的應用背景有限差分法在材料成形領(lǐng)域的應用較為普遍，目前材料加工中的傳熱分析（如鑄造過程中的傳熱凝固、塑性成形過程中的傳熱、焊接過程中的傳熱等），流動分析（如鑄件充型過程、焊接熔池的產(chǎn)生、移動等）。與有限元法相比，有限差分法在流場分析方面優(yōu)勢明顯。 有限差分定義以有限差分代替無限微分，以差分方程代替微分方程，以數(shù)值計算代替數(shù)學推導的過程，從而講連續(xù)函數(shù)離散化，以有限的離散的數(shù)值代替連續(xù)的函數(shù)分布。由主導方程和

8、定解條件，組成微分方程組選擇合適的網(wǎng)格布局、步長，進行區(qū)域離散化；采用精確法或迭代法解差分方程對數(shù)值解進行精度和收斂性的分析和檢驗用數(shù)學方法或物理方法，選擇合適的差分形式，替代主導方程和定解條件，構(gòu)成差分格式2.2.3 有限差分法解題基本步驟1）建立微分方程根據(jù)問題的性質(zhì)選擇計算區(qū)域，建立微分方程式、初始條件和邊界條件。2）構(gòu)建差分格式首先對求解區(qū)域進行離散化，確定計算節(jié)點，選擇網(wǎng)格布局、差分形式和步長；然后以有限差分代替無限微分，以差商代替微商，以差分方程代替微分方程及邊界條件。3）求解差分方程差分方程通常是一組數(shù)量較多的線性代數(shù)方程，其求解方法主要包括兩種：精確法和近似法。其中精確法又稱直

9、接法，主要包括矩陣法、Gauss消元法及主元素消元法等；近似法又稱間接法，以迭代法為主，主要包括直接迭代法、間接迭代法以及超松弛迭代法。4）精度分析和檢驗對所得到的數(shù)值解進行精度與收斂性分析和檢驗。網(wǎng)格布局示意圖網(wǎng)格線布局b，單元體布局c節(jié)點 步長正交網(wǎng)格線系區(qū)域離散化i , jxyi-1 , ji+1 , ji, j+1i, j-1xy步長和差分步長 :相鄰兩節(jié)點的距離或單元體長度一階差分：xf = xi+1 xi，xb= xi xi-1 ， xc =(xi+1 xi-1)/2yf =yj+1 yj，yb=yj yj-1 ， yc=(yi+1 yi-1)/2正交網(wǎng)格線系區(qū)域離散化i , jx

10、yi-1 , ji+1 , ji, j+1i, j-1xy一階差商一階差商： y/ x= (yi+1 yi)/ x y/ x= (yi yi-1)/ x y/ x= (yi+1 yi-1)/ 2xU=u(x,y),則一階差商u/ x=(ui+1,j ui,j ) / x u/ y=(ui,j+1 ui,j ) / yu/ x=(ui,j ui-1,j ) / x u/ y=(ui,j ui,j-1 ) / yu/ x =(ui+1,j ui-1,j ) / 2x u/ y =(ui,j+1 ui,j-1 ) / 2y對于 y = y(x)，二階差商：d2y/dx2= (yi+2 2yi+1 +

11、 yi)/ x2d2y/dx2 = (yi 2yi-1 + yi-2)/ x2d2y/dx2 = (yi+1 2yi + yi-1)/ x2對于U=u(x,y),則二階差商：d2u/dx2 =(ui+1,j 2ui,j + ui-1,j ) / x2d2u /dy2 =(ui,j+1 2ui,j + ui,j-1 ) / y2對于 y = y(x)，二階差分： 2yf = yi+2 2yi+1 + yi 2yb = yi 2yi-1 + yi-2 2yc= yi+1 2yi + yi-1實例2.2.3-1（見教材第32頁）有限差分網(wǎng)格示意圖i , jxyi-1 , ji+1 , ji, j+1

12、i, j-1xy11645327890.50.5T0=900oCTm=100oC=Ti+1-2Ti+Ti-1=00=Ti+1-2Ti+Ti-1=02.2.5 商用有限差分程序簡介 （中仿科技 總代理）1、FLAC有限差分程序 （商業(yè)化） FLAC（Fast Lagrangian Analysis of Continua，連續(xù)體快速拉格朗日分析法）是一個基于顯式有限差分方法的連續(xù)介質(zhì)程序，主要用來模擬土、巖、或其它材料的非線性力學行為，可以解決眾多有限元程序難以模擬的復雜的工程問題，例如大變形、大應變、非線性及非穩(wěn)定系統(tǒng)（甚至大面積屈服/失穩(wěn)或完全塌方）等問題。 2、UDEC/3DEC有限差分程

13、序 UDEC/3DEC是針對巖體不連續(xù)問題開發(fā)，用于模擬非連續(xù)介質(zhì)在靜、動態(tài)載荷作用下的反應，包括塊體間的完全脫離的有限差分方程序。UDEC/3DEC可以在所有的windows環(huán)境下安裝運行，利用標準輸出窗口（如記事本）進行命令流操作。包含有多種材料模型，包括動畫在內(nèi)的多種圖形捕捉和輸出功能，用戶可以利用內(nèi)置FISH語言而最大程度地控制模型運行。 圖2-3 用3DEC程序模擬石塔的穩(wěn)定性 圖2-2 用3DEC程序模擬石拱橋的坍塌過程3、PFC有限差分程序 PFC（Particle Flow Code）是利用顯式差分算法和離散元理論開發(fā)的微、細觀力學程序，它是從介質(zhì)的基本粒子結(jié)構(gòu)的角度考慮介質(zhì)的

14、基本力學特性，并認為給定介質(zhì)在不同應力條件下的基本特性主要取決于粒子之間接觸狀態(tài)的變化，適用于研究粒狀集合體的破裂和破裂發(fā)展問題、以及顆粒的流動（大位移）問題。圖2-4 不同孔隙率下凝灰?guī)r的PFC3D模型 有限元方法，F(xiàn)inite ElementMethod， FEM有限元分析 Finite ElementAnalysis，F(xiàn)EA有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法有限元方法的基本思想： 把連續(xù)的幾何結(jié)構(gòu)離散成有限個單元，并在每一個單元中設(shè)定有限個節(jié)點，從而將連續(xù)體看作僅在節(jié)點處相連接的一組單元的集合體，同時選定場函數(shù)的節(jié)點值作為基本未知量，并在每一單元中假設(shè)一近似插值函數(shù)以表示單元中場函數(shù)

15、的分布規(guī)律，再建立用于求解節(jié)點未知量的有限元方程組，從而將一個連續(xù)域中的無限自由度問題化為離散域中的有限自由度問題，求解得到節(jié)點值后就可以通過設(shè)定的插值函數(shù)確定單元上以致整個集合體上的場函數(shù)。有限元離散過程中，相鄰單元在同一節(jié)點上場變量相同達到連續(xù)，但未必在單元邊界上任一點連續(xù)；在把載荷轉(zhuǎn)化為節(jié)點載荷的過程中，只是考慮單元總體平衡，在單元內(nèi)部和邊界上不用保證每點都滿足控制方程。由于單元可以設(shè)計成不同的幾何形狀，因而運用有限元法可以模擬和逼近復雜的求解域。顯然，如果差值函數(shù)滿足一定的要求，隨著單元數(shù)量的增加，求解的精度會不斷提高而最終收斂于精確解。從理論上講，無限增加單元的數(shù)量，可以得到問題的精

16、確解，但此舉必會導致計算時間的無限增加，因此，在解決實際工程過程中，求解所得的數(shù)據(jù)只要滿足工程需要即可。有限元的優(yōu)勢與有限差分法相比，有限元法的準確性與穩(wěn)定性都比較好，這是由于有限元法必須假定值在網(wǎng)格點之間的變化規(guī)律（既插值函數(shù)），并將其作為近似解，而有限差分法只考慮網(wǎng)格點上的數(shù)值而不考慮值在網(wǎng)格點之間如何變化。 有限元法常用術(shù)語 1、實體（Entity-客觀存在的事物及其運動形態(tài) （實際并獨立存在的事物）2、單元（Element)有限元模型中每一個小的塊體稱為一個單元。根據(jù)其形狀的不同，可以將單元劃分為以下幾種類型：線段單元、三角形單元、四邊形單元、四面體單元和六面體單元等。由于單元是構(gòu)成有

17、限元模型的基礎(chǔ)，因此單元類型對于有限元分析至關(guān)重要。一個有限元程序提供的單元種類越多，該程序功能就越強大。3、節(jié)點(Node)用于確定單元形狀、表述單元特征及連接相鄰單元的點稱為節(jié)點。節(jié)點是有限元模型中的最小構(gòu)成元素。多個單元可以共用1個節(jié)點，節(jié)點起連接單元和實現(xiàn)數(shù)據(jù)傳遞的作用。4、載荷 (Load)工程結(jié)構(gòu)所受到的外在施加的力或力矩稱為載荷，包括集中力、力矩及分布力等。在不同的學科中，載荷的含義有所差別。在通常結(jié)構(gòu)分析過程中，載荷為力、位移等；在溫度場分析過程中，載荷是指溫度等；而在電磁場分析過程中，載荷是指結(jié)構(gòu)所受的電場和磁場作用。5、邊界條件 (Boundary condition)邊界

18、條件是指結(jié)構(gòu)在邊界上所受到的外加約束。在有限元分析過程中，施加正確的邊界條件是獲得正確的分析結(jié)果和較高的分析精度的關(guān)鍵。6、初始條件 (initial condition)初始條件是結(jié)構(gòu)響應前所施加的初始速度、初始溫度及預應力等。 有限元分析基本步驟建立求解域并將其離散化為有限單元，即將連續(xù)體問題分解成節(jié)點和單元等個體問題；2）假設(shè)代表單元物理行為的形函數(shù)，即假設(shè)代表單元解的近似連續(xù)函數(shù)；3）建立單元方程；4）構(gòu)造單元整體剛度矩陣；5）施加邊界條件、初始條件和載荷；6）求解線性或非線性的微分方程組，得到節(jié)點結(jié)果及其它重要信息。有限元解題示例2、問題分析這是一個具有內(nèi)熱源的一維穩(wěn)態(tài)熱傳導問題，邊

19、界條件已知，可采用有限元法求解其溫度場分布。 軟件的主要功能建立模型、結(jié)構(gòu)分析、非線性分析、電磁分析、計算流體力學分析、接觸分析、壓電分析、結(jié)構(gòu)優(yōu)化典型有限元軟件 ANSYS，ABAQUS，PATRAN前處理模塊（Preprocessor）-實體建模和網(wǎng)格劃分本體程序（求解器Solution）-求解模塊后處理模塊（Postprocessor）-結(jié)果圖形顯示和輸出ANSYS2.2 ANSYS 分析步驟1 問題描述2 建立模型（1）設(shè)定分析作業(yè)名和標題（2）定義單元類型（3）定義實常數(shù)（4）定義材料屬性（5）建立幾何模型（光盤）（6）對幾何模型劃分網(wǎng)格3 定義邊界條件并求解（1）施加位移邊界（2）

20、施加轉(zhuǎn)速慣性載荷并求解4 查看結(jié)果（1）旋轉(zhuǎn)結(jié)果坐標系（2）查看變形（3）查看應力鼠標鍵盤方式也可以用命令流輸入代替ANSYS 命令流模式/PREP7！定義標題/TITLE, TRANSVERSE SHEAR STRESSES IN A CANTILEVER BEAMANTYPE,STATICET,1,SHELL99,2,4 ! 8-NODE 殼單元PRINTOUTR,1,4,1 ! 四層軸對稱殼RMORERMORE,1,0.5,1,0.5 ! 等厚度 上機練習二：數(shù)學軟件MATLAB中PDE模塊對薄板焊接溫度場分析ANSYS有限元軟件練習旋轉(zhuǎn)光盤的應力分布徑向應變圖徑向應力圖 等效應力圖AN

21、SYS教學錄像第三章 主要物理場的數(shù)值模擬內(nèi)容： 溫度場 應力場 濃度場 耦合場重點：1 建模：數(shù)學描述微分方程形式2 求解： MATLAB中的 PDE工具箱求解 數(shù)值求解 有限差分，有限元法3.2.1 溫度場數(shù)值計算1）溫度場數(shù)學模型的建立（以玻璃池窯保溫胸墻二維穩(wěn)態(tài)傳熱為例）2）溫度場數(shù)學模型的離散化(以單元體平衡法為例，參見硅酸鹽工業(yè)熱工基礎(chǔ)P176-191)3）非穩(wěn)態(tài)傳熱的差分格式TaS1S2主導方程：2T/x2+2T/y2 =0幾何條件:保溫胸墻層數(shù)R、厚度nx、高度m y邊界條件： q1 =f,w(Tf Tw)+ w,m(Tm Tw )q2 =1(Tw Ta ) q3 =2(Tw Ta ) q4 =1/(S2 /2+1/3)(Tw Ta ) q5, 內(nèi)