1、應(yīng)用多元統(tǒng)計分析第三章習(xí)題解答1第1頁第1頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)假設(shè)檢查 3-1 設(shè)XNn(,2In), A為對稱冪等陣,且rk(A)=r(rn),證實 證實 因A為對稱冪等陣，而對稱冪等陣特性值非0即1,且只有r個非0特性值，即存在正交陣(其列向量ri為相應(yīng)特性向量)，使2第2頁第2頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查3第3頁第3頁其中非中心參數(shù)為第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查4第4頁第4頁3-2 設(shè)XNn(,2In), A，B為n階對稱陣.若AB 0 ,證實XAX與XBX互相獨(dú)立. 證實思緒：記rk(A)=r. 因A為n階對稱陣,存在正交陣,使得 A=diag(1,r 0,.,0) 令YX，則

2、YNn(,2In), 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查且5第5頁第5頁 又由于 XBX=YB Y= YHY其中H=B 。假如能夠證實XBX可表示為Yr+1，,Yn函數(shù)，即H只是右下子塊為非0矩陣。則XAX 與XBX互相獨(dú)立。第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查6第6頁第6頁 證實 記rk(A)=r. 若r=n,由ABO,知B Onn,于是XAX與XBX獨(dú)立； 若r=0時,則A0,則兩個二次型也是獨(dú)立. 下列設(shè)0rn.因A為n階對稱陣,存在正交陣,使得第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查7第7頁第7頁 其中i0為A特性值(i=1,r).于是令r第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查 由ABO可得DrH11O ， DrH12O

3、 .因Dr為滿秩陣,故有H11Orr，H12Or(n-r) . 由于H為對稱陣，因此H21O(n-r)r .于是8第8頁第8頁 由于Y1，,Yr ,Yr+1 ,Yn互相獨(dú)立，故XAX與XBX互相獨(dú)立.第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查令YX，則Y Nn(,2In), 且9第9頁第9頁 設(shè)XNp(,),0,A和B為p階對稱陣,試證實 (X-)A(X-)與(X-)B(X-)互相獨(dú)立 AB0pp.第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查3-310第10頁第10頁由“1.結(jié)論6”知與互相獨(dú)立 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查11第11頁第11頁 性質(zhì)4 分塊Wishart矩陣分布:設(shè)X() Np(0,) (1,n)互相獨(dú)立

4、，其中又已知隨機(jī)矩陣則第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查試證實Wishart分布性質(zhì)(4)和T2分布性質(zhì)(5).3-412第12頁第12頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查證實: 設(shè)記, 則即13第13頁第13頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查當(dāng)12 =O 時,對1,2,n, 互相 獨(dú)立.故有W11與W22互相獨(dú)立.由定義3.1.4可知14第14頁第14頁 性質(zhì)5 在非退化線性變換下,T2統(tǒng)計量保持不變. 證實:設(shè)X() (1,n) 是來自p元總體Np(,)隨機(jī)樣本, X和Ax分別表示正態(tài)總體X樣本均值向量和離差陣,則由性質(zhì)1有第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查令其中C是pp非退化常數(shù)矩陣，d是p1常向量。則15第

5、15頁第15頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查因此16第16頁第16頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查3-5 對單個p維正態(tài)總體Np(,)均值向量檢查問題，試用似然比原理導(dǎo)出檢查H0:=0(=0已知)似然比統(tǒng)計量及分布. 解:總體XNp(,0)(00),設(shè)X()(=1,n) (np)為來自p維正態(tài)總體X樣本.似然比統(tǒng)計量為P66當(dāng)=0已知檢查17第17頁第17頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查18第18頁第18頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查19第19頁第19頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查因因此由3“一2.結(jié)論1”可知20第20頁第20頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查 3-6 (均值向量各分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系檢查)

6、 設(shè)總體XNp(,)(0),X()(1,n)(np)為來自p維正態(tài)總體X樣本，記(1,p).C為kp常數(shù)(kp),rank(C)=k,r為已知k維向量.試給出檢查H0:Cr檢查統(tǒng)計量及分布.解：令則Y()(1,n) 為來自k維正態(tài)總體Y樣本，且21第21頁第21頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查檢查這是單個k維正態(tài)總體均值向量檢查問題.利用3.2當(dāng)y = CC未知時均值向量檢查給出結(jié)論,取檢查統(tǒng)計量:22第22頁第22頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查 3-7 設(shè)總體XNp(，) (0), X() (1,n)(np)為來自p維正態(tài)總體X樣本，樣本均值為X，樣本離差陣為A.記(1,p).為檢查H0:1=

7、2=p ,H1:1,2,p至少有一對不相等.令則上面假設(shè)等價于H0：C=0p-1,H1：C 0p-1試求檢查H0 似然比統(tǒng)計量和分布.解：至少有一對不相等.23第23頁第23頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查利用3-6結(jié)果知，檢查H0似然比統(tǒng)計量及分布為：其中(注意:3-6中k在這里為p-1)24第24頁第24頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查 3-8 假定人體尺寸有這樣普通規(guī)律:身高(X1),胸圍(X2)和上半臂圍(X3)平均尺寸百分比是641.假設(shè)X ()(1,n)為來自總體X=(X1,X2,X3)隨機(jī)樣本.并設(shè)XN3(,)，試?yán)帽?.5中男嬰這一組數(shù)據(jù)檢查三個尺寸(變量)是否符合這一規(guī)律(寫出

8、假設(shè)H0,并導(dǎo)出檢查統(tǒng)計量). 解：檢查三個尺寸(變量)是否符合這一規(guī)律問題可分成假設(shè)檢查問題.由于其中注意:25第25頁第25頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查檢查假設(shè)H0為 利用3-6結(jié)論，取檢查統(tǒng)計量為：由男嬰測量數(shù)據(jù)(p=3,n=6)計算可得 T2=47.1434, F=18.8574, p值=0.0091950未知.檢查H0似然比統(tǒng)計量為記其中30第30頁第30頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查其中 A=A1+A2稱為組內(nèi)離差陣.B稱為組間離差陣. 31第31頁第31頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查由于似然比統(tǒng)計量32第32頁第32頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查因此33第33頁第33頁第三章

9、多元正態(tài)總體參數(shù)檢查由定義3.1.5可知由或由于34第34頁第34頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查可取檢查統(tǒng)計量為檢查假設(shè)H0否認(rèn)域為35第35頁第35頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查3-11 表3.5給出15名2周歲嬰兒身高(X1)，胸圍(X2)和上半臂圍(X3)測量數(shù)據(jù).假設(shè)男嬰測量數(shù)據(jù)X()(1,6)為來自總體N3( (1)，)隨機(jī)樣本.女嬰測量數(shù)據(jù)Y() (1,9)為來自總體N3 (2)，)隨機(jī)樣本.試?yán)帽?.5中數(shù)據(jù)檢查H0:(1) =(2) (=0.05). 解:這是兩總體均值向量檢查問題. 檢查統(tǒng)計量取為(p=3,n=6,m=9):36第36頁第36頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查其

10、中故檢查統(tǒng)計量為用觀測數(shù)據(jù)代入計算可得:故H0相容.明顯性概率值37第37頁第37頁 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查 3-12 在地質(zhì)勘探中，在A、B、C三個地域采集了一些巖石，測其部分化學(xué)成份見表3.6.假定這三個地域巖石成份遵從N3(i)，i)(i1，2，3)(=0.05). (1) 檢查H0：123；H1：1,2,3不全等; (2) 檢查H0：(1)(2),H1：(1)(2); (3) 檢查H0:(1) (2)(3),H1:存在ij,使(i)(j); (4) 檢查三種化學(xué)成份互相獨(dú)立. 解:(4)設(shè)來自三個總體樣本為(p=3,k=3)檢查H0似然比統(tǒng)計量為38第38頁第38頁第三章 多元正

11、態(tài)總體參數(shù)檢查似然比統(tǒng)計量分子為39第39頁第39頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查稱為合并組內(nèi)離差陣.40第40頁第40頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查41第41頁第41頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查似然比統(tǒng)計量分母為42第42頁第42頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查檢查H0似然比統(tǒng)計量可化為:43第43頁第43頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查 Box證實了，在H0成立下當(dāng)n時， =-blnV2(f)，其中 V=0.7253, =-blnV=3.2650,因 p=0.35250.05.故H0相容，即隨機(jī)向量三個分量(三種化學(xué)成份)互相獨(dú)立.44第44頁第44頁第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)檢查 或者利用定理3.2.1,當(dāng)n充足大時， =-2ln2(f)，其中 f=p+p(p+1)/2-(p+p)=3, V=0.7253, =0.1240 , =-2ln