1、第三章：中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 3.1 中值定理本節(jié)將運(yùn)用微分學(xué)的兩個(gè)基本定理,這些定理是爭(zhēng)論函數(shù)在區(qū)間上整體性質(zhì)的省力工具,為此,先介紹 Rollo 定理：Rollo 定理：如函數(shù) fx 滿意：（i）fx 在 a,b 上 連續(xù)；（ii ）fx 在（ a,b）可導(dǎo),（iii ）fa =fb, 就在（ a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得f =0. 證明 ：由（ i）知 fx 在a,b上連續(xù),故 fx 在上必能得最大值 又有二種情形：M 和最小值 m,此時(shí),ff（1）M=m,即 fx 在a,b上得最大值和最小值相等, 從而知,此時(shí) fx 為常數(shù)：fx M=m,f x0,因此,可知為（ a,b）內(nèi)任一點(diǎn),都

2、有f 0；（2）Mm,此時(shí) M 和 m 之中,必有一個(gè)不等于 fa或 fb,不妨設(shè) Mfa（對(duì)mfa同理證明）,這時(shí)必定在（ a,b）內(nèi)存在一點(diǎn),使得 f=M, 即 fx 在點(diǎn)得最大值；下面來證明： f =0 第一由（ ii）知 f 是存在的,由定義知：f =lim xfx flim xfxM .* xx由于 M 為最大值,對(duì)x 有 fx Mfx M0, 當(dāng) x時(shí),有fxffxM0 xx當(dāng) x0）；xn1解：x limlnxx limx n nx1x lim1n0；xnnx求x limxn,（n 為正整數(shù),【例 5】xe解：x limxnx limnxn1x limnn21xn2exexexn

3、e注 1：例 5中的 n 可推廣到任意正數(shù)；x n x n2：例 4 例 5說明當(dāng) x 時(shí),e , x , ln x ,0 n 0 都是無窮大量, 但 e 較 x 高階,x 較 nln x 高階,不妨用以下記號(hào)表示：e xx nln x；【例 6】x lim xx sinsin xx 能否用 L Hospital 法就？解：如用 L Hospital 法就,就有sin xx lim xx sinsin xx x lim 11 coscos xx 不存在,但x lim xx sinsin xx x lim 11 sin xx 11 00 1；x這說明對(duì)此題 L Hospital 法就不適合,這是

4、為什么？這是由于定理的第三個(gè)條件不滿足；【例 7】lim x 0 xlnxx0（ 0型lnx,x）；11【例 8】x lim 0 111 （0 型xlnxlnx）；ln1xx1x【例 9】x lim11xe （1 型,同上）；x 3、3 Taylor 公式多項(xiàng)式是函數(shù)中最簡(jiǎn)潔的一種,用多項(xiàng)式近似表達(dá)函數(shù)是近似運(yùn)算中的一個(gè)重要內(nèi)容,在2、8 中,我們已見過：sinxx,ex1x ,1x 111x等近似運(yùn)算公式,xn就是多項(xiàng)式表示函數(shù)的一個(gè)特殊情形,下面我們將推廣到一個(gè)更廣泛的、更高精度的近似公式；設(shè) f x 在 0 x 的某一開區(qū)間內(nèi)具有直到 n 1 階導(dǎo)數(shù),試求一個(gè)多項(xiàng)式2 nP n x a

5、0 a 1 x x 0 a 2 x x 0 a n x x 0 1 來近似表達(dá) f x ,并且 Pn x 和 f x 在 0 x 點(diǎn)有相同的函數(shù)值和直到 n階導(dǎo)數(shù)的各階導(dǎo)數(shù),即：P n x 0 f x 0 , P n x 0 f x 0 , P n x 0 f x 0 , , P n n x 0 f n x 0 ；下 面 確 定 Pn x 0 的 系 數(shù) a 0 , a 1 , a n, 通 過 求 導(dǎo) , 不 難 得 到 n a 0 f x 0 , a 1 1 f x 0 , a 2 1 2 f x 0 , a 3 1 2 3 f x 0 , a n n . f x 0 n P n x f

6、x 0 f x 0 x x 0 f x 0 x x 0 2 f x 0 x x 0 n 2 2 . n .這個(gè) Pn x 即為所求；Taylor 中值定理：假如函數(shù) f x 在 x 的某區(qū)間 a , b 內(nèi)具有直到 n 1 階的導(dǎo)數(shù),就當(dāng)xa,b時(shí),f x 可表示為xx 0的一個(gè)多項(xiàng)式Pnx 和一個(gè)余項(xiàng)Rnx 之和： n f x f x 0 f x 0 x x 0 f x 0 x x 0 2 f x 0 x x 0 nR n x 3 2 . n .其中 R n x f n 1 x x 0 n 1（介于 0 x 與 x之間） n 1 .證明：令 R n x f x P n x ,下證 在 0 x

7、 與 x之間,使得：f n 1 n 1R n x x x 0 n 1 .由于 f x 有直到 n 1 階導(dǎo)數(shù),Pn x 為多項(xiàng)式,故 Rn x 在 a , b 內(nèi)有直到 n 1 階 n 導(dǎo) 數(shù) , 并 且 R n x 0 R n x 0 R n x 0 R n x 0 0； 現(xiàn) 對(duì) 函 數(shù) Rn x 和n 1 x x 0 在以 x 和 x 為端點(diǎn)的區(qū)間上應(yīng)用 Cauchy 中值定理,R n x R n x R n x 0 R n 1 n 1 n 1 n 1 n（1在 0 x 與 x 之間） x x 0 x x 0 x 0 x 0 n 1 1 x 0 R n 1 R n 1 R n x 0 R

8、n 2 n n n n 1 n 1 1 x 0 n 1 1 x 0 n 1 x 0 x 0 n 1 n 2 x 0 （2介于 1與 x 之間）如此連續(xù)下去,經(jīng)過 n 1 次后,一個(gè) n 1 介于 n與 x 之間,使得 n 1 R n x n 1 R n n 1 ,明顯 n 1 介于 0 x 與 x 之間；一般地,記號(hào) x x 0 n 1 . n 1 R n x R n n 1 n 1 x x 0 n 1 .又由于 R n x f x P n x 而 Pn x 為 n 次多項(xiàng)式,故當(dāng) n 1 n 1 n 1 P n x 0 R n x f x n 1 n 1 R n x n 1 f 或 R n

9、x f x x 0 n 1（介于 x 與 x 之間）； x x 0 n 1 . n 1 .注 1：（3）式稱為 f x 按 x x 0 的冪綻開到 n 階的 Taylor 公式,Rn x 的表達(dá)式（ 4）稱為 Lagrange型余項(xiàng)；2：當(dāng)n0時(shí)（ 3）變?yōu)椋篺x fx0fxx 0（介于x 與 x 之間）,這就是Lagrange公式；3：從（3）式可看出：用（2）式的多項(xiàng)式 Pn x 來近似表達(dá) f x ,所產(chǎn)生的誤差為 Rn x ,再 由 （ 4 ） 式 , 不 難 看 出 ： 如 在 a , b 上 , 有 f n 1 x M, 就 有 ：R n x n M1 . x x 0 n 1,此時(shí)

10、 lim x x 0 x R n x x0 n 0,即 R n x x x 0 n x x 0 4：如特殊地,取 x 0 0,這時(shí)（ 3）式變?yōu)椋?n f 0 2 f 0 nf x f 0 f 0 x x R n x （ 5）.2 n .這里 R n x f n 1 x n 1（介于 0 與 x 之間）,我們稱（5）為 f x 的 Maclourin n 1 .公式；【例 1】 求fxex的 Maclourin 公式；exxn1又fn1 x x efx fnx 解：fxfxf0 f0 f0 f n 0 1,ex所以fn1 xexR nx 01, n1 .令代入（ 5）式得：x e1xx2xne

11、xxn1 0k1 ；.2n .n1 .【例 2】 求fxsinx的 Maclaurin 公式；sin,解：fnxsinkfn022當(dāng) n1,5,9,13, 時(shí)f n 0 1,當(dāng) n2,6,10,14, 時(shí)fn0 0,按（ 15）式,得：sinxxx3x 51 m1x2m1R 2mxR nx.3.5 2 m1 .其中：R 2mxf2m1xx2m1sinx2m1 x2m101 ；22m1 .2 m1 .注：P 2mx P 2m1x R 2mx R 2m1x ；同理有：cosx1x2x41mx2mR 2m1x,.2.4 2 m .其中：R2m1xcosxmm.1x2m201 ；22【例 3】求1x

12、的 Maclourin 公式；解：1x 1x2 .1 x21 2 x31 2n1 xn.3n .其中：R nx1 n2nxn1 1xn1,（01）1 .【例 4】求ln1x 的 Maclourin 公式；解：ln1xxx2x31 n1xnR nx23nRnx1n 1n .xn11n1 .1 nn111xxn1；xn 3、4 函數(shù)單調(diào)性的判定法單調(diào)函數(shù)是函數(shù)中的一個(gè)重要部分,從圖形上看,單調(diào)增加（削減） 函數(shù)是一條沿 x軸正向上升（下降）的曲線,曲線上各點(diǎn)處切線斜率都是非負(fù)的（非正的）,即yyfx,0yfx 0 yfx 單增,就yfx0,如yfx單減,就f x 0；下面來證明反之亦成立,設(shè) y

13、f x 在 a , b 上連續(xù),在 a , b 內(nèi)可導(dǎo),在 a , b 內(nèi)任取兩點(diǎn) x 1 , x 2 x 1 x 2 ,在區(qū)間 x 1x 2 上應(yīng)用 Lagrange中值定理,故在 x 1x 2 內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得：f x 2 f x 1 f x 2 x 1 ,由于 x 2 x 1 0 f x 2 f x 1 與 f 同號(hào),（i）如在a,b內(nèi),f x 0,就有f0fx 2fx 10,即fx 2fx 1,此時(shí),yf x 單增；,就有f0fx 2fx 10,即fx 2fx 1,（ii）如在a,b 內(nèi),fx 0單減；此時(shí),yf x 綜和上述正反兩方面,得：判定法：設(shè) f x 在 a , b 上連

14、續(xù),在 a , b 內(nèi)可導(dǎo),就：（1）f x 在 a , b 上單增的充要條件是 f x 0；（2）f x 在 a , b 上單減的充要條件是 f x 0；注 1：此“ 單增” 或“ 單減” 與課本上的意義有些區(qū)分,它是指：如 x 1 x 2,就有“f x 1 f x 2 ” 或“f x 1 f x 2 ” 或稱“ 不減” 或“ 不增”；而對(duì) x 1 x 2 時(shí),有“f x 1 f x 2 ” 或“f x 1 f x 2 ” 時(shí),稱為“ 嚴(yán)格單增” 或“ 嚴(yán)格單減”；在不特殊要求下,也可稱為“ 單增” 或“ 單減”；2：如 f x 在 a , b 內(nèi)有 f x 0 f x 0 ,就 f x 在

15、 a , b 上嚴(yán)格遞增（嚴(yán)格遞減） ；嚴(yán)格遞增（i）f x 0；（ii）在任何子區(qū)間上 f x 0；3： a , b 可換成其它任何區(qū)間,包括無窮區(qū)間,結(jié)論成立；【例 1】證明：當(dāng) x 0 時(shí),x ln 1 x ；證明：令 f x x ln 1 x f x 1 1 x 01 x 1 x所以,當(dāng) x 0 時(shí),f x 0,所以 f x 為嚴(yán)格遞增的f x f 0 0 ln 1 0 0,所以 x ln 1 x ；【例 2】爭(zhēng)論 f x 3 x x 3單調(diào)性；解：f x 3 x x 3 3 1 x 1 x （）當(dāng) 1時(shí),f x 0 所以 f x 在 , 1 上嚴(yán)格遞減；（）當(dāng) 1 x 1 時(shí) , f

16、 x 0 所以 f x 在-1,1上嚴(yán)格遞增；（）當(dāng) 1 x 時(shí),f x 0 所以 f x 在 ,1 上嚴(yán)格遞減；【例 2】中的 , 1 , 1,1 , ,1 通常稱為單調(diào)區(qū)間并且 , 1 , ,1 稱為單調(diào)增加區(qū)間, -1,1稱為單調(diào)削減區(qū)間,而 x ,1 x 1 二點(diǎn)恰為單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn),不難知 f 1 f 1 0；一般講,f x 在定義域內(nèi)未必單調(diào),但可用適當(dāng)?shù)囊恍c(diǎn)把定義域分為如干個(gè)區(qū)間,便得 f x 在每一個(gè)區(qū)間上都是單調(diào)函數(shù)；而這些分點(diǎn)主要有兩大類：其一是導(dǎo)數(shù)等于 0 的點(diǎn),即 f x 0 的根；其二是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；事實(shí)上,只要 f x 在定義域內(nèi)連續(xù),且只在有限 n 個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)

17、不存在,就可用分點(diǎn)將區(qū)間分為如干個(gè)小區(qū)間,使得 f x 在各小區(qū)間上,保持有相同的符號(hào),即恒正或恒負(fù),這樣 f x 在每個(gè)小區(qū)間上為增函數(shù)或減函數(shù),各小區(qū)間就相對(duì)地稱為單增區(qū)間或單減區(qū)間；【例 3】求 y 2 x 5 3 x 2 的單調(diào)區(qū)間；5 2解：y 2 x 3 5 x 3 在（-,+）上連續(xù),當(dāng) X 0 時(shí),2 1y 103 x 3 103 x 3 103 x3x 1再令 y=0,解得, X=1 為導(dǎo)數(shù)等于 0 的點(diǎn),又當(dāng) X=0 時(shí),函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的存在,所以 X=0 為不行導(dǎo)的點(diǎn),現(xiàn)用X=0 和 X=1 作為分點(diǎn)來將（ -,+）分為（ -, 0）,0,1和1,+三個(gè)區(qū)間；（）在（ -,

18、0）上,f x 0,所以 f x 在 , 0 上為單增函數(shù)；（）在（ 0,1）上,f x 0,所以 f x 在0,1上單減；（）在 ,1 上,f x 0,所以 f x 在（ 1,+）上單增；【例 4】方程 ln x ax（其中 a0）有 n 個(gè)實(shí)根？解：設(shè) f x ln x ax f x 1 ax令 f x 0 , x 1,用 x 1 點(diǎn)將其定義域 （0,+）分為（0,1/a）a a和1/a,+二個(gè)區(qū)間,且（）當(dāng) 0 x 1 時(shí),f x 0,所以 f x 在 0 , 1 是單增的,故當(dāng) x 1 時(shí),a a axfx1f1；時(shí),fx0,所以fx在1,上為單減的,故當(dāng)x1 時(shí),aa x（）當(dāng)aaf

19、xf1；a1時(shí) ,fxf1 1lna即 對(duì)由 （ ）（ ） 知 , 當(dāng)xa xa0 ,fx1lna,下面來爭(zhēng)論lnax有幾個(gè)實(shí)根：=0,此時(shí),（a）如 1+lna0,即 a1/e 時(shí),fx0,即方程無解；（b）如 1+lna=0,即 a=1/e時(shí),fx0,且僅在 X=1/a=e 時(shí),有fx方程有唯獨(dú)的解；（c）如 1+lna0,即 0a1/e 時(shí),f（1/a）0,又在（ 0,1/a）上,f x 單增,且lim f x ,故在（ 0,1/a）上,函數(shù) f x 與 x 軸有一個(gè)且只一個(gè)交點(diǎn),即方程x 0的根,又在 1 a , 上,f x 單減,且x lim f x ,故在 1 a , 上,f x

20、與 X軸有一個(gè)且只有一個(gè)交點(diǎn),即方程的根,合起來,此時(shí)方程有二個(gè)實(shí)根；3.5 函數(shù)的極值的求法上節(jié) 例 3中,用 X=0,和 X=1 兩點(diǎn)將 f x 2 x 5 3x 2的定義域（ -,+）分為三小區(qū)間（ -,0）,0,1,1 ,使用 f x 分別在這三個(gè)小區(qū)間上單增,單減,單增（見圖）,從圖中不難看出,在 X=0 的一個(gè)較小范疇內(nèi),f x 在 X=1 點(diǎn)的最小區(qū)間都是慮的局部情形,而不是整體這就是將爭(zhēng)論的極值；定義：設(shè)函數(shù) f x 在點(diǎn) X 0的某鄰域 U x 0 上有定義,如對(duì) x U x 0 有 f x f x 0 ,（f x f x 0 ）定義：設(shè)函數(shù) f x 在點(diǎn) X0 處的得極大值

21、（微小值）點(diǎn) X 0 稱為極大點(diǎn)（微小點(diǎn)） ,極大值,微小值統(tǒng)稱為極值,極大點(diǎn),微小點(diǎn)統(tǒng)稱為極點(diǎn)；明顯在上節(jié) 例 3中,X=0,X=1 均為極點(diǎn),注：極大點(diǎn),微小點(diǎn)未必統(tǒng)一；定理 1：（極值的必要條件）,如函數(shù)fx在0 x 點(diǎn)可導(dǎo),且取得極值,就fx00；注： 1、一般地,fx0在xx0處有fx00,就稱0 x 為f x 的駐點(diǎn)或穩(wěn)固點(diǎn),上定理 1 即是可導(dǎo)函數(shù)的極點(diǎn)必為穩(wěn)固點(diǎn)；2、定理 1 不是充分的即駐點(diǎn)未必是極點(diǎn),及例：fx3 x在 x =0 處的情形；=3、定理 1 只對(duì)可導(dǎo)函數(shù)而言,對(duì)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn), 函數(shù)也可能取及極值, 例：f x x ,在 x=0 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在,但取得微小值；

22、4、證明可仿照 Rolle 中值定理的證明,此處不證了；如何判別 f x 在 x0 點(diǎn)取得極值,有下二個(gè)定理：定理 2（判別法 1）,設(shè)連續(xù),fx在 x0點(diǎn)連續(xù),在 x0 的某肯定心鄰域U0 x 0內(nèi)可導(dǎo)（）如當(dāng) x（ x0 , x0 ）時(shí), f （x）0,當(dāng) x（x0,x0 + ）時(shí),f （x） 0,就 f（x）在 x0 點(diǎn)取得極大值；（）如當(dāng) x（ x0 , x0 ）時(shí), f （x）0,當(dāng) x（x0,x0 + ）時(shí),f （x） 0,就 f（x）在 x0 點(diǎn)取得微小值；定理 3（判別法 2）設(shè) f（x）在 x0 的某鄰域內(nèi)可導(dǎo),且f（x0）=0,f （ x0）存在（）如 f （ x0）0,就

23、 f（x）在 x0 點(diǎn)取得極大值；（）如 f （ x0）0,就 f（x）在 x0 點(diǎn)取得微小值；（）如 f （ x0）=0,就此差別法 2 換效；證：（） f （x 0）=lim f （ x）- f （x0）/x- x0= lim f （ x）/ x- x 00 故存在 x0的某鄰域 U（x0 , ）,當(dāng) X（ x0 , ）時(shí), f （x）/x- x0；即 f （x）與 x- x0 反號(hào),當(dāng) x（x0 ,x0）時(shí),f （x）0,當(dāng) x（x0,x0+ ）時(shí), f （ x）0；由差別法 1,f（x）在 x0 點(diǎn)取得極大值；（） 反例 1 f （x）=x2在 x=0 點(diǎn)取得微小值；反例 2 f（x）

24、=x3在 x=0 點(diǎn)取不到極值；例 1上節(jié) 例 2 f（x）=3x-x3 例 2求 f（x）=（x-2）2/3（2x+1）的極值解：由fx10 x1 0 x1為駐點(diǎn)；33x2又fx102x54,所以f 1 10310093x2 913所以fx在x1處取得極大值,且極大值為f 1 3；又f x在x2處不行導(dǎo),對(duì)充分小的0 當(dāng)x2,2 時(shí),fx0；當(dāng)x2 ,2時(shí),fx0,由判別法 1 知fx在x2處取得微小值,且微小值為f（2）=0,所以 f（x）在 x=1 處取得極大值 3,在 x=2 處取得微小值 0；3.6 最大值、最小值問題：現(xiàn)爭(zhēng)論求最大值,最小值的問題,最大（?。┲凳且徽w概念是指函數(shù)在

25、定義域 內(nèi)取到的了最大數(shù),最小數(shù)；與極大值,微小值不同；假如最大（小）值在定義域內(nèi) 部取得,就此最大（?。┲当貫闃O大（?。O,這時(shí),最大（小）點(diǎn)必為導(dǎo)數(shù)不存在 的點(diǎn)和駐點(diǎn),另外最大（?。┲等钥赡茉诙x域的端點(diǎn)上取得（如端點(diǎn)在定義域中的話）；由此,如 f（x）在定義域上取到最大（小）值；現(xiàn)給出求 大（?。┲捣椒ǎ海╥）求出 f（x）在上的全部駐點(diǎn)不行導(dǎo)點(diǎn)和端點(diǎn)；f（x）在區(qū)間上的最（ii）求出 f（x）在這些點(diǎn)上的函數(shù)值,再進(jìn)行比較：最大（?。┱呒礊樗蟮淖畲螅ㄐ。┲?；特殊地,如 f（x）在 a,b上連續(xù),可導(dǎo),此時(shí)最大（?。┲当卦隈v點(diǎn)和端點(diǎn) a、b 中取得；例 1求 f（x）=x4-2x2+3

26、 在區(qū)間 -3,2上的最大值和最小值；解：由于 f（x）在 -3,2上連續(xù),故最大值,最小值肯定存在；又 f（x）在 -3,2內(nèi)可導(dǎo),即無不行導(dǎo)的點(diǎn),下求駐點(diǎn)；令fx 43 x4x,01x 1,0 x 2,1x 31 為駐點(diǎn)；而f0,3f 12f2又在端點(diǎn)處 f-3=66,f（2）=11 經(jīng)過比較,得知最大者為 66,最小者為 2, f（x）在 -3,2上的最大值為 66,最小值為 2；摸索題： f（x）=x4-2x2+3 在 -3,2上是否存在最大,小值？為什么？例 2求 f（x）=x 4-8x 2 在-1,1上的最值；解： f（x）在 -1,1上連續(xù),可導(dǎo),最值存在,且在駐點(diǎn)和端點(diǎn)中取得；

27、令 f （ x）=4x3-16x=4x（x 2-4）=0 得 x1=0,x2=2,x3=-2,由于 2,-2（ -1,1）故去掉,所以在 -1,1中有一個(gè)駐 點(diǎn) x=0,且 f（0）=0；又在端點(diǎn)處, f（-1）=f （1）=-7,由比較得 f（X）在 -1,1上的最大值為 0,最小值為 -7；注：上例中, S=0 為 f（x）在-1,1上的唯獨(dú)的駐點(diǎn),不難驗(yàn)證 f（x）在 x=0 處取得 極大值（由于 f （0）=-16）,恰好,在 x=0 處 f（x）上取得最大值,但這并非偶然,一般地有：性質(zhì)：設(shè) f（x）在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且只有一個(gè)駐點(diǎn)x0,且如 f（x）在 x0 點(diǎn)取得極大（小）值,就 f

28、（x）必在 x0 點(diǎn)取得最大（?。┲?；例 3在曲線 y=1/x（x0）上取一點(diǎn)使之到原點(diǎn)的距離為最近解：曲線上任一點(diǎn)（ x,y）就（ 0,0）點(diǎn)的距離為sx2y2即sx211x2,而求 x 使 s 最小值可轉(zhuǎn)化為求 x 使 s2=x2+1/x2最小,由題意知,這個(gè)最近距離是存2在 的 , 即 函 數(shù) 的 最 小 值 存 在 ； 由 s 2 2 x 2 13 2 x3 1 0 x 1 ,1 x 2x x（舍去）所以當(dāng) x0 時(shí),只有一個(gè)駐點(diǎn) x=1,且在 x=1 點(diǎn)2 s80；所以 s2在 x=1 處取得微小值 2,所以 s 在 x=1 處取得微小值2 ；而這個(gè)微小值2 即為 S 在區(qū)間（ 0,

29、+）上的最小值；注：在實(shí)際問題中,如由題意得知最大值或最小值存在,且肯定在所致慮的區(qū)間內(nèi)部 取得,此時(shí),如在該區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn),那么不必再作爭(zhēng)論,就可肯定 f（x0）就是所求的最大值或最小者； 3.7 曲線的凹凸與拐點(diǎn) 為了較精確地描出函數(shù)的圖形, 單知道函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值是不行的,比如說,f（x）在a,b上單調(diào),這時(shí)會(huì)顯現(xiàn)圖中的幾種情形,l1 是 一段凸弧 l2 是一段凹弧,l 3即有凸的部分,也有凹的部分,曲線具有這種凸和凹的性質(zhì),稱為凸凹性；從幾何意義上看,凸弧具有這種特點(diǎn)：從中任取兩點(diǎn),連此兩點(diǎn)的弦總在曲線的下方；進(jìn)而不難知道,在（a,b）中任意取兩個(gè)點(diǎn)函數(shù)在這兩點(diǎn)處的函數(shù)值的平

30、均值 小于這兩點(diǎn)的中點(diǎn)處的函數(shù)值；凹弧也有相仿的特點(diǎn)；定義：設(shè) f（x）在 a,b上連續(xù),如對(duì) Vx 1,x2（ a,b）恒有：f（x1+x2/2）f（x1）+f（x2）/2 或 f（x1+x 2/2） f（x1）+f（x2）/2 這稱為 f（X）在 a,b上的圖形是凹的（凸的）或凹弧（凸?。?；注： 1、有的書也用此線的位置來定義；2、上面等式有些書上帶等號(hào),例如對(duì) y=x4 定理：設(shè) f（x）在 a,b上連續(xù)在 a,b內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù),（i）如在 a,b內(nèi), f （ x）0,就 f（x）在 a,b上的圖形是凸的；（ii）如在（ a,b）內(nèi), f （x）0,就 f（x）在 a,b上的圖形

31、是凹的；證明：下面證（ i）從（ a,b）中任取二點(diǎn) x1,x2不防設(shè) x1x2 由 lag range中值定理,fx22xfx12x 2f1x22x 1x12x212x 2fx12fx 1f2x22x 1x 12x 1x2所以fx 12fx2fx 12x21 2ffx2fx12x 21fx 12x2fx 121f1f2x 22x 1f12x 24x12其中21,又由于fx 02f0fx 12fx2fx 12x20 x2,由定義,即得；即 f x 1 x 2 f x 1 2例 1判別曲線 y=2x 2+3x+1 的凹凸性解：由于 y=4x+3,y =40 所以曲線 y=2x2+3x+1 在其定

32、義域（ -, +）上是凹的；例 2證明當(dāng) x0,1時(shí),有不等式證：第一,由p,1xp0 1,x px 1p,即證 1 x px 2 p p 1xp xpx 1 1x x p1,2x 0現(xiàn)證：1p 12令 f xxp1xp1 xpx 2.fpfpfx xp的圖形在 0,1上凹的1xp 1x 1x pxp1xp即222p2例 3爭(zhēng)論曲線 y=arctanx 的凹凸性解 y 12,1 x當(dāng) x 0 時(shí), y 0；y曲線1 y2 x2 當(dāng) xxarctanx 在 0 時(shí), y 0； 是凸的, 0 上是凹的,在,0從例 3中不難知道點(diǎn) X=0 為曲線的凹部分與凸部的分界點(diǎn)定義,連續(xù)曲線上的 凸弧的分界點(diǎn)

33、稱為曲線的拐點(diǎn)；如 f（x）在（ a,b）內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù), x0 點(diǎn)的拐點(diǎn),就有 f （x 0）=0,且在 x0左 右兩邊, f （ x）異號(hào),由此不難求拐點(diǎn)的步驟：（i）求出 f （x）=0,在（ a,b）中的全部解 x=x 0；（ii）對(duì)（）中所求的每一個(gè)x0,察 f （x）在 x0左右兩邊的符號(hào),如異號(hào),就x0為拐點(diǎn),如同號(hào),就x0 不是拐點(diǎn)；x 2 1 的拐點(diǎn) x例 4求y解：y 1xex,yx2 ex. 令y0 x2 .當(dāng)x2 時(shí) ,y3x0 ,當(dāng)x2 時(shí)1 x20 21x 32,y 11.0 x2 為拐點(diǎn).例 5求y5x2的拐點(diǎn)；10解：y11x82x5x123338593x令 y

34、=0 x=1,但此時(shí),在 x=1 鄰近,不論 x1 仍是 x1,都有 y 0,x=1 不是拐點(diǎn)；然而,當(dāng)x=0 時(shí), y 不存在,但當(dāng) x0 時(shí), y 0,當(dāng) x0 時(shí), y 0,由定義知, x=0 為拐點(diǎn)；3.8 函數(shù)圖形的描畫依據(jù)前 n 節(jié)所學(xué)的學(xué)問, 我們可較精確地畫出函數(shù)的圖, 描畫函數(shù)圖象的一般步驟：1、確定函數(shù)的定義域,并求出f （ x）,f （ x）2、求出 f （ x）=0 和 f （ x）=0 的全部根,及不行導(dǎo)點(diǎn),并用這些點(diǎn)將 定義域分為如干個(gè)小區(qū)間；3、確定 f （ x）和 f （ x）在這些子區(qū)間上的符號(hào),并且由此確定的函數(shù) 圖形的升降,凹凸及極點(diǎn)和拐點(diǎn)；4、確定水平,

35、鉛直漸近線,以及其它漸近線；5、確定某些特殊點(diǎn)的坐標(biāo),比如：與坐標(biāo)的交點(diǎn)；6、沿 x 增大的方向按上爭(zhēng)論的結(jié)果,將點(diǎn)用曲線光滑連結(jié)起來,分點(diǎn)的坐標(biāo),以把圖描得更準(zhǔn)些,另外,仍可以觀看 例 1作出函數(shù) y=xe-x 的圖形f（x）的奇偶性,周期性協(xié)作作用；解（） y=xe-x的定義域?yàn)椋?-, +）y=（1-x）e-x,y =（x-2）e-x（）令 y=0 x=1,令 y =0 X=2 用 x=1,x=2,將（ -,+）分為三部分（ -, 1）,1,2,2,+ （-, 1）上, y 0,y 0, f（X）的圖形在（ -,1）上是單增的,且是凸的在1,2上,y 0,y 0,f（x）的圖形在（ 1,

36、2）上是單減的,且是凸的在2,+上, y0, y 0,f （x）的圖形在 2,+是單減的,且是凹的；進(jìn)而得 x=1 為極大點(diǎn), x=2 為拐點(diǎn)（）當(dāng) x+時(shí) xe-x0, y=0 是水平漸近線,當(dāng) x-時(shí) xe-x-（） f（ 1）=e-1,f（2）=2e-2,f （0）=0,從而得四個(gè)點(diǎn)的 f（-1）=-e坐標(biāo)（ 0,0）,（1,1/e）,（2,2e-2）,（-1,-e）將（）（）（）的結(jié)果列成下表：X （-, 1）1 （1,2）2 （2,+）y+ 0 - - - y- - - 0 + Y=f（X）的圖形凸極大凸拐點(diǎn)凹3.9 曲率一、弧微分：設(shè) f（x）在 a,b上連續(xù),在（ a,b）內(nèi)有連

37、續(xù)導(dǎo)數(shù),在曲線 y= f（x）上取一點(diǎn) M 0（x0,y0）為度量弧長(zhǎng)的基點(diǎn),規(guī)經(jīng)沿x 增大的方向?yàn)榍€的方向,對(duì)曲線上任一點(diǎn) M （x,y）有向弧段 M 0 M 的長(zhǎng)度 S 規(guī)定如下：S 的肯定值等于 M 0 M 的長(zhǎng)度,當(dāng)有向弧段 M 0 M 的方向與曲線的正向一樣時(shí),S0,相反時(shí), S0,明顯, S 是 x 的函數(shù), S=S（x）,且是 X 的單調(diào)增加函數(shù),現(xiàn)求 dS/dx 及 ds；是 x,x+ x 是（a,b）內(nèi)兩個(gè)鄰近的點(diǎn),在曲線M 當(dāng) x 有增量 x 時(shí),設(shè)弧 S 有增量 S；ds 1 y 2 ds 1 y 2dx dx2ds 1 y dx二、曲率的運(yùn)算公式y(tǒng)=f（x）上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

38、為 M,我們學(xué)過不少直線,但直線是不彎的,曲線是彎曲的,但各地方,彎曲的程度是不同的,比如,一族同心圓,直徑大的彎曲程度沒有直徑小的厲害；那么用什么來描述彎曲程度的呢？這里我們用曲率,設(shè)曲線上 M 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為 S,切線的傾角 + ,我們用比值 s 表示弧 M M 的平均彎曲程度,即平均曲率,記為 Ks為曲線在 M 點(diǎn)的曲率,如 特殊地令 S0,這里 M M,這時(shí),稱上平均曲率的極限：k lim s 0 s 存在,就有：k dds k lim s 0 stg y sec 2. d y d y2 dxdx 1 y2 y又 ds 1 y dx k 31 y 2 2例 1 求圓 X2+y2=a 2

39、 上各點(diǎn)的曲率1x2解：2x2yy0 xyy0yxy1y2y3y0y 11y2y1y2yy1y1y2k1y23 2y1y212y11x2y2a如曲線方程為xk t2 t2t3 tyf（x）tt2三、曲率圓與曲率半徑D,使DM1在 M 點(diǎn)處的直線,靠凹的一側(cè)上取一點(diǎn)k以 D 為圓心,為半徑作圓；3.10 方程的近似解有時(shí),方程 f（x）=0 的解是比較難求的,故用近似的解來代替；所謂=0 的解,就是曲線y= f（x）與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；第一,假設(shè) f（x）=0 的解在（ a,b）之中,并且 f（a）,f（b）異號(hào),又設(shè)f（x）在a,b上連續(xù),且有二階導(dǎo)數(shù),且在a,b上, f （x）與 f （

40、x）不變號(hào),此時(shí), y= f（x）在（a,b）上單調(diào),且其凹凸性不變,這樣 y= f（x）在（a,b）上的圖形不外乎有四種：又由 f（x）單調(diào) f（x）=0 在 （a,b）內(nèi)只有一個(gè)解；一、弦位法對(duì)圖 1 來分析,連 A（a,f（a）和 B（b,f（b）兩點(diǎn),得直線：y f a f b f a x a 它與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：b ax 1 af b b af a f a 明顯 x1 比 b 更接近 x0,這是第一次代替,為了保證更高精度,在區(qū)間 a,x1x 1 a上更用上述同樣的方法；使 x 2 a f a 如此連續(xù)下去,直到 f x 1 f a xkxk1小于指定的誤差為止；二、切線法

41、對(duì)圖 1 來分析,在 A（a,f（a）作切線 y- f （a）= f （a）（x- a）它與 x 軸交f a 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x 1 af a 明顯 x1 比 a 更接近 x0,這是第一次靠近,為了更精確,在（x1f（x1 ）點(diǎn)再作切線,等其次次靠近 x 2 x f x 1 f x 1 1如此下去,直到 x k x k 1 小于指定誤差為止；一般地,作切線的端點(diǎn)的縱坐標(biāo)與 f （x）同號(hào)三、綜合法這是把弦位法與切線結(jié)合在一起使用一對(duì)圖 1 來分析：用統(tǒng)位法及 x 1,用切線法得x1,現(xiàn)用 x1 , x1代替 a,b在x1 , x1上用綜合法,使其次次改進(jìn)法規(guī)x2 ,x2,如此下去,直到xR- x

42、R 小于指定的誤差為止；第四章不定積分教學(xué)目的與要求1懂得原函數(shù)概念、不定積分和定積分的概念；2 把握不定積分的基本公式,把握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理,把握換元 積分法與分部積分法；3 求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)潔無理函數(shù)的積分；在其次章中, 我們爭(zhēng)論了怎樣求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)問題,本章將爭(zhēng)論它的反問題,即要求一個(gè)導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù),也就是求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù),使它的導(dǎo)函數(shù)等于已知函數(shù)；這是積分學(xué)的基本問題之一；4.1 不定積分的概念與性質(zhì) 一 原函數(shù)與不定積分的概念定義 1 假如在區(qū)間上,可導(dǎo)函數(shù),的導(dǎo)函數(shù)為,即對(duì)任一,都有或那末函數(shù)就稱為（或）在區(qū)間上的原函數(shù)；例如, x2 是 2x

43、 的原函數(shù), lnx 是 1/x 的原函數(shù)因,故是的原函數(shù)；注： 1 由此定義上問題是：已知fx,如何去求原函數(shù)定理 1：）在區(qū)2那一個(gè)函數(shù)具備何種條件,才能保證它的原函數(shù)肯定存在呢？如存在是否唯獨(dú)如 fx在 I 上連續(xù),就fx在 I 上肯定有原函數(shù)；留意：并不是任意在I 上有定義的函數(shù)都有原函數(shù),反例fx ,1x0,0 x0定理 2：設(shè) fx在區(qū)間 I 上有原函數(shù),且Fx 是其中一個(gè)原函數(shù),就1 fx的任意兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)2 Fx+C 也是 fx的原函數(shù)定義 2 在區(qū)間上,函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為（或間上的不定積分,記作；其中記號(hào)稱為積分號(hào),稱為被積函數(shù),稱為被積表達(dá)式,稱為積

44、分變量；由此定義及前面的說明可知,假如是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù),那么就是的不定積分,即；因而不定積分可以表示的任意一個(gè)原函數(shù)；第一,假如有,那么,對(duì)任意常數(shù)C,明顯也有,即假如是的原函數(shù),那也是的原函數(shù)；其次,當(dāng)為任意常數(shù)時(shí),表達(dá)式就可以表示的任意一個(gè)原函數(shù)；也就是說,的全體原函數(shù)所組成的集合,就是函數(shù)族；例 1 求 . 解 由于=,所以是的一個(gè)原函數(shù)；因此. 例 2求. 解 當(dāng)時(shí), 由于=, 所以是在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)；因此,在內(nèi),當(dāng)時(shí),由于=,由上同理,在內(nèi),將結(jié)果合并起來,可寫作例 3、已知Fx是lnx的一個(gè)原函數(shù),x求：dFsinxlnsinxcosxdx解：F/xlnxxdFsin xdF

45、sinxdsinxdsinxsinx例 4、fx的導(dǎo)函數(shù)是sinx,就fx的原函數(shù)sin x c 1 x c 2, 1c 、2c 為任意常數(shù) 例 5、在以下等式中,正確的結(jié)果是 C A、f/xdxfx B 、fdfxfxC、dfxdxfx D 、dxdxfxdx二基本積分表由于積分是微分的逆運(yùn)算,因此可以有微分基本表導(dǎo)出積分表；見課本積分表；三不定積分的性質(zhì)依據(jù)不定積分的定義,可以推得它的如下兩個(gè)性質(zhì)：性質(zhì) 1 函數(shù)的和的不定積分等于各個(gè)函數(shù)的不定積分的和,即. 留意：差的積分等于積分的差性質(zhì) 2 求不定積分時(shí) , 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來 , 即 是常數(shù) , .例 1

46、求 . 解 =例 2xx11dx1x1151dxx24x2x23x4-x4dx例 3ex1ex dxex4x74xx1C1dxexlnxC4471dxedxxxx例 4 x21 2dxx42x21 dxx4dx2x2dx1 dxx52x3xC4.2 兩53類換元法及舉例利用基本積分表與積分的性質(zhì) , 所能運(yùn)算的不定積分是特別有限的 . 因此 , 有必要進(jìn)一步來爭(zhēng)論不定積分的求法 . 把復(fù)合函數(shù)的微分法反過來求不定積分 , 利用中間變量的代換 , 得到復(fù)合函數(shù)的積分法 , 稱為換元積分法 , 簡(jiǎn)稱換元法 . 換元法通常分成兩類 .一第一類換元法設(shè) fu 具有原函數(shù) Fu ,即 F u f u 和

47、 f u du F u C 令 u = x ,其中 x是可導(dǎo)的,就 Fu=F x 明顯是復(fù)合函數(shù),又由于： F x F u x f u x f x x 這說明 F x 是 f x x 的一個(gè)原函數(shù),就f x x dx F x C F u | u x C f u du | u x 定理 1 設(shè) fu 具有原函數(shù) Fu, u = x 可導(dǎo) , 就有換元公式 : f x x dx F x f u du | u x 留意：1Fx不是fx的原函數(shù)！2 Fu 是 fu 的原函數(shù)是針對(duì)積分變量u 而言的,Fx是fx x的原函數(shù)是針對(duì)積分變量x 而言的；fxx的形式,在令3 運(yùn)用第一類積分換元法關(guān)鍵在于設(shè)法將

48、被積函數(shù)湊成uux變成不定積分fudu進(jìn)行運(yùn)算,最終用x進(jìn)行回代；4 在u x 下,fxfu,xdxdu例 1 求 2cos2xdx. 解 作變換 u=2x, 便有 2cos2xdx = cos2x 2dx = cos2x 2x dx = cos u du = sin u+C, 再以 u=2x代入 , 即得 2cos2xdx =sin 2x+C . 例 2 求 tan x dx . 解 tan x dx = s in x /cos x dx.由于 -sin x dx = d cos x, 所以假如設(shè) 因此u=cos x, 那么 du=-sin xdx, 即 -du=sin xdx,. 類似地可

49、得 cot x dx =ln|sin x|+C .在對(duì)變量代換比較嫻熟以后 , 就不肯定寫出中間變量 u. 例 3 求 chx/a dx . 解 .例 4 求 a0 .解 .下面的一些求積分的例子 , 它們的被積函數(shù)中含有三角函數(shù) , 在運(yùn)算這種積分的過程中, 往往要用到一些三角恒等式 . 例 5 求 sin 3 x dx . 解 sin 3x dx = sin 2x sinx dx=- 1 -cos 2xdcosx =- dcosx+ cos 2xdcosx=-cosx+1/3cos 3x+C. 例 6 求 cos 2 x dx .解. 附加：1、31dx131d32x1ln32xcc2x2

50、2x22、ln xdxlnxdln x2lnx3x2cx31sin 43、cos x sin 3xdxsin 3 x dsin x44、1xx2d x1d1-x21x2c-25、x2 e-x3dx1-ex3d-x31-ex3c336、2 12 dx 1 12 d x 1arc tan xca x a x a a a1a利用定理 1 來求不定積分 , 一般卻比利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法就求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要來的困難 , 因?yàn)槠渲行枰隙ǖ募记?, 而且如何適當(dāng)?shù)奶暨x變量代換 u= x 沒有一般途徑可循 , 因此要把握換元法 , 除了熟識(shí)一些典型的例子外 , 仍要做較多的練習(xí)才行 . 二 其次類換元法其次類換

51、元法從 形式上看與第一類換元法恰好相反,它是將不定積分 f x dx 通過x t 轉(zhuǎn)換成 f t t dt 來運(yùn)算,但有幾點(diǎn)需要說明；1 f t t dt 要存在,2 盡量查找這樣的 x t 使 f t t dt 簡(jiǎn)潔求出, 3；求出后要用 t 1 x 將積分變量換回到 x, 因此這里仍要求 x t 的反函數(shù)存在；定理 2 設(shè) x t 是單調(diào)的 、可導(dǎo)的函數(shù) , 并且 t 0 . 又設(shè) f t t 具有原函數(shù)t , ,就 fx 具有原函數(shù) 1 x 就有換元公式：1f x dx x C f t t dt | t 1 x 其中 t 1 x 是 x t 的反函數(shù) . 證明： 1 x t 1 t f

52、t t 1 f t f x 所以 t 1 x 是 fx 的原函數(shù),從而1f x dx x C t | t x C f t t dt | t1 x 例 1 求 a0解 求這個(gè)積分的困難在于有根式, 但我們可以利用三角公式sin2t+cos2t=1 來化去根式 . 設(shè) x=asint ,- /2 t /2, 那么 , 于是根式化為了三角式 , 所求積分化為 . 利用例 6 的結(jié)果得. 由于 x=asint ,- /2 t /2 , 所以, 于是所求積分為. 詳細(xì)解題時(shí)要分析被積函數(shù)的詳細(xì)情形 , 選取盡可能簡(jiǎn)捷的代換 . 留意 檢驗(yàn)積分結(jié)果是否正確 , 只要對(duì)結(jié)果求導(dǎo) , 看它的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函

53、數(shù),相等時(shí)結(jié)果是正確的,否就結(jié)果是錯(cuò)誤的；常用變量代換1 被積函數(shù)中含有二次根式如是a2x2,令xasint22 a 1,2 a 1u2,令xatanta2x2x2a2,令xasectax2bxC配方a2 1,uu2例 2、12x2dx令xsin,tdxcostdtt x2x x解：原式2costcostdt1 sin2tcot2tdtcsc2t1 dt1cotttC1xx2arcsinxC例 3、14dx二種解法x2xx2sec tx4cosx（2）被積函數(shù)中含一般根式例 4、13dx2t32dxt32dt2Cx解：令3x2tx原式3 t2dt3t111tdt13xt133x2233x23l

54、n2例 5、x13x2dx令xt6dx6t5dt原式t6t54dt61t2tdt6t111tdt3t6t2tln1tCC26ln16x33x66x例 6、exx1 dxtt1dtdxext212tClnt1C解：令e121dttxlnt21 t2原式t2t21t11dt22t12x e1lnx e11lnx e11 43 分部積分法這 是 一 個(gè) 新 的 積 分 方 法 , 設(shè)ux,vxu具 有 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù) , 就 有uvuvuvuv, 即uvuv uv,兩邊同時(shí)積分就有,vdxuvuvdx即udvvdu,上式就是分布積分公式；留意：使用分部積分的關(guān)鍵是如何選取 u 和 v 例 1、xco

55、s x dx xdsin xx sin x-sin x dxx sin x cos x cx x例 2、xe dx xdexexexdxxexexC例 3、arcsinx2dx2x 2arcsin x 11x2dxxarcsinx22arcsinxd1-x2x arcsinx-xarcsinx2211x2arcsinx-1-x2112dxxxarcsinx22x2arcsinx-2xC11dx例 4、ln lnxdxln ln x dln xln xxln x ln ln x-ln xx例 5、ln xdxxln x ln ln x-ln x c2cln x d1x2xlnx1dx例 6、xtan2xdxxx2lnx-1cxxx2 secx1 dx例 7、x2arctanxdtanxx22xtanxtan x dxx22x tan xln cos x-x2c2dxx2121arctanxdx1x21xarctanxarctanxdx1x2arc