1、15-7 波函數(shù) 薛定諤方程1薛定諤（1887-1961）奧地利物理學(xué)家。建立了薛定諤方程，很好的解釋了電子的行為，導(dǎo)致波動力學(xué)出現(xiàn)（1926年1月）。除波動力學(xué)外，當(dāng)時已建立了海森堡的矩陣力學(xué)（當(dāng)時被稱為量子力學(xué)），薛定諤證明了這兩種理論在數(shù)學(xué)上是完全等價的。薛定諤由于建立波動力學(xué)（現(xiàn)一般稱為量子力學(xué)）而和狄拉克同獲1933年諾貝爾物理學(xué)獎。2波函數(shù)31、波函數(shù)（wave function）平面簡諧波函數(shù)： y = Acos( t-kx)復(fù)數(shù)表示：概率波波函數(shù)：2、波函數(shù)的統(tǒng)計解釋一維三維物質(zhì)波是“概率波”，它是怎樣描述粒子在空間各處出現(xiàn)的概率呢？ 量子力學(xué)假定：微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)表示。

2、 玻恩對 的統(tǒng)計解釋(1926) ：波函數(shù) 是描述粒子在空間概率分布的“概率振幅”。其模方代表 t 時刻，在坐標(biāo) 附近單位體積中發(fā)現(xiàn)一個粒子的概率，稱為“概率密度”。4rdVx yz 在t 時刻，在 附近dV內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為：在空間 發(fā)現(xiàn)粒子的概率為：它無直接的物理意義，對單個粒子：不同于經(jīng)典波的波函數(shù)，和波函數(shù)的位相。有意義的是給出粒子概率密度分布；對大量粒子：給出粒子數(shù)的分布；53、統(tǒng)計解釋對波函數(shù)提出的要求1）有限性：在空間任何有限體積元V中找到 歸一化：在空間各點的概率總和必須為1。 歸一化因子歸一化條件：根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，它應(yīng)有以下性質(zhì)：必須為有限值。粒子的概率若則62）單值性

3、：度在任意時刻、任意位置都是確定的。3）連續(xù)性：波函數(shù)應(yīng)單值，從而保證概率密波函數(shù)連續(xù)，保證概率密度連續(xù)。波函數(shù)作出的統(tǒng)計解釋，獲得了1954年諾貝玻恩（M.Born，英籍德國人，1882 1970）由于進行了量子力學(xué)的基本研究，特別是對爾物理學(xué)獎。7 波函數(shù)本身“測不到，看不見”，是一個很抽象的概念，但是它的模方給我們展示了粒子在空間分布的圖像，即粒子坐標(biāo)的取值情況。當(dāng)測量粒子的某一力學(xué)量的取值時，只要給定描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)，按照量子力學(xué)給出的一套方法就可以預(yù)言一次測量可能測到哪個值，以及測到這個值的概率是多少。 對波恩的統(tǒng)計詮釋是有爭論的，愛因斯坦就反對統(tǒng)計詮釋。他不相信“上帝玩擲骰子游

4、戲”，認(rèn)為用波函數(shù)對物理實在的描述是不完備的，還有一個我們尚不了解的“隱參數(shù)”。雖然至今所有實驗都證實統(tǒng)計詮釋是正確的，但是這種關(guān)于量子力學(xué)根本問題的爭論不但推動了量子力學(xué)的發(fā)展，而且還為量子信息論等新興學(xué)科的誕生奠定了基礎(chǔ)。8 與自由粒子相聯(lián)系的德布羅意波，是一個單色平面波。4、自由粒子的波函數(shù)沿+x傳播的單色平面波，波函數(shù)：復(fù)數(shù)形式可寫成 微觀粒子波函數(shù)一般是坐標(biāo)和時間的復(fù)函數(shù)，因此采用復(fù)數(shù)形式的平面波表達式，只要把其中描述波動性的參量、k換成描述粒子性的參量E、p就可以了。自由粒子：能量和動量都不變的粒子9其中由德布羅意關(guān)系 ，得自由粒子波函數(shù)：（空間因子）105、狀態(tài)疊加原理量子力學(xué)要

5、求：也是該體系的一個可能的狀態(tài)。展開系數(shù)Cn為任意復(fù)常數(shù)。 若疊加中各狀態(tài)間的差異無窮小，積分代替求和：則應(yīng)該用，則它們的線性組合 若體系具有一系列互異的可能狀態(tài)11薛定諤方程12一、自由粒子薛定諤方程自由粒子波函數(shù)（一維）13 對波函數(shù)的運算、變換或操作。：算符 代表用 乘波函數(shù) ：對波函數(shù)取復(fù)共軛：算符 代表對波函數(shù)關(guān)于 求導(dǎo)：算符 代表對波函數(shù)關(guān)于 求導(dǎo)例如算符(operator)14 對于非相對論性自由粒子： 算符對應(yīng)關(guān)系：作用于波函數(shù)， 算符和力學(xué)量的對應(yīng)關(guān)系：一維運動自由粒子的薛定諤方程15 設(shè)粒子在勢場U(x,t)中運動，能量關(guān)系為二、薛定諤方程 算符對應(yīng)關(guān)系：作用于波函數(shù)，得薛

6、定諤方程。16三維：引入拉普拉斯算符：薛定諤方程：17若 和 是薛定諤方程的解，則 也是薛定諤方程的解。是線性齊次微分方程，解滿足態(tài)疊加原理。方程中含有虛數(shù) i它的解 是復(fù)函數(shù)，復(fù)數(shù)不能直接測量。而 的模方代表概率密度，可測量。是量子力學(xué)的基本方程，描述非相對論性粒 子波函數(shù)隨時間演化規(guī)律。18三、一維不含時薛定諤方程除以 ，得若勢函數(shù)U(x)不顯含時間 t，代入薛定諤方程，=E (常數(shù))（1）（2）方程（1）的解為：C 為積分常量19數(shù)學(xué)上：E 不論取何值，方程都有解。 物理上：E 只有取一些特定值，方程的解才能滿足波函數(shù)的條件（單值、有限、連續(xù)）。滿足方程的特定的E 值，稱為能量本征值。

7、E ：與 E 對應(yīng)的本征波函數(shù)。結(jié)論：定態(tài)粒子在空間的概率分布不隨時間改變。定態(tài)：能量取確定值的狀態(tài)。E ( x)：定態(tài)波函數(shù)一維定態(tài)薛定諤方程。若粒子處于E，則粒子的能量為E。2015-8 一維定態(tài)問題 15-8-1 一維無限深勢阱 求解步驟：1.寫出具體問題中勢函數(shù)U(x)的形式，代入一維定態(tài)薛定諤方程的一般形式，得本問題中的薛定諤方程。代入一維定態(tài)薛定諤方程： 勢函數(shù)為一維有限深勢阱一維無限深勢阱21得薛定諤方程：2.求解波函數(shù)粒子不能逸出勢阱令方程解：223.用歸一化條件和標(biāo)準(zhǔn)化條件確定積分常數(shù)方程解邊界條件： 邊界條件：得：A不可能為零23歸一化條件： 于是，波函數(shù)：241)由于波函

8、數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件和邊界條件的約束，E 只取能某些特定值，即無限深勢阱中粒子的能量是量子化的。激發(fā)態(tài)能級的能量： 4.討論解的物理意義基態(tài)能級的能量： 最小能量E1不為零粒子不可能靜止不動，滿足不確定關(guān)系。25能級間隔 能量趨于連續(xù)，回到經(jīng)典情況。在 n 很大時，能量趨于連續(xù)，這就是經(jīng)典物理的圖象。 即本征值26概率密度： （2）勢阱中不同位置粒子出現(xiàn)的概率不相同。波函數(shù)為駐波形式，勢阱中不同位置粒子出現(xiàn)的概率不相同,峰值處較大。兩端為波節(jié)，粒子不能逸出勢阱。能級越高，駐波波長越短，峰值增多，相同，量子經(jīng)典歸一化條件，曲線下面積相等。2715-8-2 一維勢壘 隧道效應(yīng) 隧道效應(yīng)：粒子能量小于勢壘而穿

9、透勢壘的現(xiàn)象。勢壘一、一維方勢壘問題： 勢函數(shù) 28區(qū)（xa) 區(qū)薛定諤方程為： ( )區(qū)薛定諤方程為：（E U0可以有：粒子穿過勢壘區(qū)和能量守恒并不矛盾。只要勢壘區(qū)寬度 x = a 不是無限大，粒子有波動性，遵從不確定關(guān)系，從能量守恒的角度看是不可能的。以至33經(jīng)典量子隧道效應(yīng)343. 掃描隧道顯微鏡（STM）（Scanning Tunneling Microscopy） STM是一項技術(shù)上的重大發(fā)明，原理：利用量子力學(xué)的隧道效應(yīng)1986. Nob：魯斯卡（E.Ruska） 1932發(fā)明電 子顯微鏡畢寧（G.Binning）羅爾（Rohrer）發(fā)明STM表面的微觀結(jié)構(gòu)（不接觸、不破壞樣品）。

10、用于觀察35掃描隧道顯微鏡探針樣品表面材料表面碳原子的排列結(jié)構(gòu)36例. 能量為30eV的電子遇到一個高為40eV的勢壘，試估算電子穿過勢壘的概率。 勢壘寬度為1.0nm； 勢壘寬度為0.1nm。解 （1）（2）估算時可以忽略G。幾乎就不能穿透勢壘！ 電子穿透勢壘的概率很大，接近于4%。 37 諧振子不僅是經(jīng)典物理的重要模型，而且也是量子物理的重要模型。如：黑體輻射、分子振動，若選線性諧振子平衡位置為坐標(biāo)原點和勢能m 粒子的質(zhì)量k 諧振子勁度系數(shù)諧振子的角頻率15-8-4 一維諧振子零點，則一維線性諧振子的勢能可以表示為：晶格點陣振動。1.勢能382. 諧振子的定態(tài)薛定諤方程3. 諧振子的能量

11、n = 0, 1, 2, 解定態(tài)薛定諤方程得由和有39 能量特點：(1)量子化，等間距： 符合不確定關(guān)系(3)有選擇定則： (2)有零點能：所以室溫下分子可視為剛性。能級躍遷要滿足(4) 當(dāng)n 時，符合玻爾對應(yīng)原理。能量量子化能量連續(xù)（宏觀振子能量相應(yīng)n 1025 ，E 10-33J ）分子振動E （10 2 10 1 eV） kT (室溫)，404. 諧振子的波函數(shù)Hn是厄密（Hermite）多項式，最高階是 415. 概率密度波函數(shù)概率密度n = 0 xn = 0 xn = 1xn = 1xn = 2xn = 2x42線性諧振子 n =11 時的概率密度分布： 經(jīng)典諧振子在原點速度最大，停留時間短，振子在兩端速度為零，粒子出現(xiàn)的概率?。怀霈F(xiàn)的概率最大。虛線是經(jīng)典結(jié)果43xn很大EnE1E2E00U(x)概率密度的特點：(1) 概率在E U 區(qū)仍有分布 隧道效應(yīng)44例如基態(tài)位置概率分布在 x = 0 處最大，(3) 當(dāng)n 時，經(jīng)典振子在x = 0處概率最小。符合玻爾對應(yīng)原理。量子概率分布xn很大0n=1n