1、2001-2022年我國(guó)人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型研究與實(shí)證分析摘要：本文首先建立了我國(guó)人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型，給出了模型中參數(shù)確實(shí)定方法，并用20012022年的人口數(shù)據(jù)得到了我國(guó)人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型。最后用該模型預(yù)測(cè)了20222022年我國(guó)的人口總數(shù)。關(guān)鍵詞：人口問題人口增長(zhǎng)數(shù)學(xué)模型實(shí)證分析一、引言當(dāng)今人類面臨的五大問題：1人口問題；2工業(yè)化的資金問題；3糧食問題；4不可再生的資源問題；5環(huán)境污染問題即生態(tài)平衡問題，人口問題名列榜首。一些開展中國(guó)家的出生率較高，眾多的人口使國(guó)家背上沉重的包袱，人均糧食缺乏，人均資源缺乏，工業(yè)化資金有限、生態(tài)平衡被嚴(yán)重破壞，等等，都與人口太多有關(guān)。而歐洲一些興隆國(guó)家如法國(guó)

2、、德國(guó)等，人口增長(zhǎng)率為零甚至為負(fù)，造成人口老齡化，勞動(dòng)力短缺，也是不容無(wú)視的問題。建立人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型，用以描繪人口增長(zhǎng)過程，通過分析，對(duì)人口增長(zhǎng)進(jìn)展預(yù)測(cè)，為國(guó)家制定相應(yīng)的人口政策提供根據(jù)，以控制人口增長(zhǎng)，于國(guó)于民均有利。二、人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型影響人口增長(zhǎng)的因素很多：人口基數(shù)，出生率和死亡率的上下，人口男女比例的大小，人口年齡組成情況，工農(nóng)業(yè)消費(fèi)程度的上下，營(yíng)養(yǎng)條件、醫(yī)療程度、人口素質(zhì)、環(huán)境污染情況。另外，各個(gè)民族的風(fēng)俗習(xí)慣、傳統(tǒng)觀念、自然災(zāi)害、戰(zhàn)征、人口遷移，等等，對(duì)人口增減也有很大影響。我們先把問題簡(jiǎn)化，僅考慮影響人口增長(zhǎng)的主要因素出生率與死亡率，或者說增長(zhǎng)率出生率減去死亡率及人口基數(shù)，

3、其余因素的影響不予考慮，建立一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，假設(shè)需要，再在這個(gè)模型的根底上逐步考慮次要因素，進(jìn)而建立精度更高的模型。人口的增長(zhǎng)過程我們用微分過程來(lái)描繪，雖然人口總數(shù)是按照整數(shù)變化的，且不是時(shí)間的可微函數(shù)，但是，假設(shè)總數(shù)很大時(shí)，就可以近似地認(rèn)為它是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，甚至是可微函數(shù)。這種處理方法，數(shù)學(xué)上稱為離散變量的連續(xù)化處理。設(shè)某區(qū)域在時(shí)刻t以年為單位的人口數(shù)為pt，這個(gè)區(qū)域的出生率為b，死亡率為d，經(jīng)過時(shí)間t，在這段時(shí)間內(nèi)出生人數(shù)為bpt，死亡人數(shù)為dpt，總?cè)丝诘母淖兞繛閜=b-dpt，當(dāng)t0時(shí)，有=b-dp，其中b-d不能假設(shè)為常數(shù)，否那么我們將得出人口數(shù)將無(wú)限增加當(dāng)bd時(shí)，或者人口數(shù)將

4、無(wú)限減少，這顯然是不符合實(shí)際情況的。根據(jù)歷史資料作數(shù)理統(tǒng)計(jì)，我們可以假設(shè)出生率和死亡率均是人口數(shù)pt的線性函數(shù)，且b=-npt，d=r+spt，式中，n，r，s都是正的常量，此假設(shè)說明，當(dāng)人口總數(shù)增加時(shí)，出生率將隨人口總數(shù)的增加而減少，死亡率卻隨人口總數(shù)的增加而增加，即b是pt的減函數(shù)，d是pt的增函數(shù)。這個(gè)假設(shè)顯然是符合客觀實(shí)際的。因此上面的微分方程可以寫成：=b-dp=-rp-n+sp假設(shè)記=-r，=n+s，那么有：=p-p1其初始條件為pt=p，其中，稱為生命系數(shù)，一般來(lái)說，常數(shù)與相比是很小的，假設(shè)pt不太大，-p項(xiàng)可稱為競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)與p相比可以忽略，人口總數(shù)將按指數(shù)方式增長(zhǎng)，當(dāng)pt很大時(shí)，-

5、p項(xiàng)不能忽略，由于這一項(xiàng)的作用，人口總數(shù)劇增的速度將減緩下來(lái)。因此-p項(xiàng)也可稱為控制項(xiàng)。方程1是Bernulli方程，也是一階可別離變量的微分方程，用別離變量法求解，在應(yīng)用初始條件后1的通解為：pt=2或pt=3這就是人口增長(zhǎng)的計(jì)算公式。稱為L(zhǎng)gisti方程，方程1在數(shù)學(xué)上稱為阻滯方程。討論2，可以得出人口總數(shù)具有如下規(guī)律：1.當(dāng)t時(shí)，pt，即不管初值如何，人口總數(shù)最終將趨向于極限值。2.當(dāng)0p時(shí)，所以pt是時(shí)間t的單調(diào)增函數(shù)，又因?yàn)?-2p=-2pp-p，顯然，當(dāng)p時(shí)，0，曲線向下凹，當(dāng)p時(shí)，0，曲線向上凸，函數(shù)pt的圖形稱為S形曲線。3.在人口總數(shù)到達(dá)極限值一半即以前，是加速增長(zhǎng)時(shí)期，過這

6、一點(diǎn)以后，增長(zhǎng)的速度逐漸減小，進(jìn)入減速增長(zhǎng)時(shí)期，最后增長(zhǎng)速度為0，趨近于極限值。三、模型中和確實(shí)定為了獲得我國(guó)人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型，需要確定1式中的和。和一般采用最小二乘法來(lái)確定，方法如下:令p=p-p，作L=p-p+p，對(duì)取和偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于零，那么得=2p-p+p-p=0=2p-p+pp=0由此得方程組p-p=ppp-p=pp解此方程組，可確定和的值。另一種方法是文獻(xiàn)1中的方法。主要利用e=4確定和的值。由4式有e=及e=相除得e=，再假定t-t=t-t可得=解此方程可得=5另一方面，從e=取對(duì)數(shù)可得=ln四、人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型與實(shí)證分析下面我們用文獻(xiàn)中的方法確定和的值。以2001年的

7、人口總數(shù)為p，p=127627，2022年的人口總數(shù)為p，p=130756，2022年的人口總數(shù)為p，p=133474，代入5經(jīng)計(jì)算可得=148670，=ln=0.0462，及=3.10810因此，我國(guó)人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型為：pt=6以上計(jì)算說明，我國(guó)人口增長(zhǎng)的最大值極限值為14.867億，且用模型6對(duì)2001-2022的人口總數(shù)重新進(jìn)展了計(jì)算與預(yù)測(cè)，計(jì)算說明，相對(duì)誤差很小，模型具有較高的精度?？捎糜陬A(yù)測(cè)2022-2022年人口總數(shù)。預(yù)測(cè)結(jié)果見表1后5行。表12001-2022年的人口總數(shù)萬(wàn)人五、結(jié)語(yǔ)通過利用上述人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型，我們得到了一些有價(jià)值的結(jié)論，我國(guó)人口的最大值為15億。到十二五末人口總數(shù)為13.7億。但是從長(zhǎng)遠(yuǎn)看，隨著我國(guó)人口老齡化的到來(lái)，我國(guó)的人口政策一定會(huì)作出調(diào)整，人口總數(shù)還