1、一.平行四邊形真題與模擬題分類匯編（難題易錯(cuò)題）1.四邊形ABCD是正方形，AC與BD,相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E、F是直線AD兩動(dòng)點(diǎn)，且AE=DF,CF所在直線與對(duì)角線BD所在直線交于點(diǎn)G,連接AG,直線AG交BE于點(diǎn)H.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E、F在線段AD上時(shí)，求證：ZDAG=ZDCG：猜想AG與BE的位置關(guān)系，并加以證明：（2）如圖2,在（1）條件下，連接H0,試說(shuō)明H0平分ZBHG；（3）當(dāng)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)到如圖3所示的位置時(shí)，其它條件不變，請(qǐng)將圖形補(bǔ)充完整，并直接寫(xiě)出ZBH0的度數(shù).【答案】（1）證明見(jiàn)解析：AG丄BE.理由見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）ZBHO=45.【解析】試題分析：（1）根據(jù)

2、正方形的性質(zhì)得DA=DC,ZADB=ZCDB=45%則可根據(jù)“SAS”證明AADGaCDG,所以ZDAG=ZDCG：根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB二DC,ZBAD=ZCDA=90%根據(jù)SAS證明ABE雯DCF,則ZABE=ZDCF,由于ZDAG二ZDCG,所以ZDAG二ZABE,然后利用ZDAG+ZBAG=90得到ZABE+ZBAG=90%于是可判斷AG丄BE；（2）如答圖1所示，過(guò)點(diǎn)0作0M丄BE于點(diǎn)M,ON丄AG于點(diǎn)N,證明AON雯BOM,可得四邊形OMHN為正方形，因此H0平分ZBHG結(jié)論成立；（3）如答圖2所示，與（1）同理，可以證明AG丄BE；過(guò)點(diǎn)0作0M丄BE于點(diǎn)M,ON丄AG于點(diǎn)N,構(gòu)造

3、全等三角形AAON雯BOM,從而證明OMHN為正方形，所以H0平分ZBHG,即ZBHO=45.試題解析：（1）四邊形ABCD為正方形，DA二DC,ZADB=ZCDB=45,在厶ADG和厶CDG中AD=CDaADG=乙CDGDG=DGADG竺CDG（SAS）,ZDAG=ZDCG：AG丄BE.理由如下：四邊形ABCD為正方形，AB二DC,ZBAD=ZCDA=90,在厶ABE和厶DCF中AB=DClBAF=乙CDFAE=DFABE竺DCF(SAS),ZABE=ZDCF,ZDAG=ZDCG,ZDAG=ZABE,ZDAG+ZBAG=90,ZABE+ZBAG=90%ZAHB=90,AG丄BE；(2)由(1

4、)可知AG丄BE.如答圖1所示，過(guò)點(diǎn)O作OM丄BE于點(diǎn)M,ON丄AG于點(diǎn)N,則四邊形OMHN為矩形.又OA丄OB,ZAON=ZBOMZAON+ZOAN=90%ZBOM+ZOBM=90,ZOAN=ZOBM在厶AON與厶BOM中，LOAN=乙OBMOA=OB乙AON=LBOMAON婁BOM(AAS)OM=ON,矩形OMHN為正方形，HO平分ZBHG(3)將圖形補(bǔ)充完整,如答圖2示,ZBHO=45.答圖2與（1）同理，可以證明AG丄BE.過(guò)點(diǎn)0作0M丄BE于點(diǎn)M,ON丄AG于點(diǎn)N,與（2）同理，口J以證明AON雯BOM,口J得OMHN為正方形，所以HO平分ZBHG,/.ZBHO=45.考點(diǎn)：1、四邊

5、形綜合題；2、全等三角形的判定與性質(zhì)；3、正方形的性質(zhì)2.在圖1中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,等腰直角三角形FAE的斜邊AE=2b,且邊AD和AE在同一直線上.操作示例當(dāng)2ba時(shí)，如圖1,在BA上選取點(diǎn)G,使BG=b,連結(jié)FG和CG,裁掉FAG和CGB并分別拼接到FEH和厶CHD的位置構(gòu)成四邊形FGCH.思考發(fā)現(xiàn)小明在操作后發(fā)現(xiàn)：該剪拼方法就是先將FAG繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到厶FEH的位置，易知EH與AD在同一直線上.連結(jié)CH,由剪拼方法可得DH=BG,故CHD竺CGB,從而又可將ACGB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90倒ACHD的位置.這樣，對(duì)于剪拼得到的四邊形FGCH（如圖1）,過(guò)點(diǎn)F作FM丄AE于

6、點(diǎn)M（圖略），利用SAS公理可判斷HFM雯CHD,易得FH=HC=GC=FG,ZFHC=90.進(jìn)而根據(jù)正方形的判定方法，可以判斷出四邊形FGCH是正方形.實(shí)踐探究（1）正方形FGCH的面積是_；（用含a,b的式子表示）（2）類比圖1的剪拼方法，請(qǐng)你就圖2圖4的三種情形分別畫(huà)出剪拼成一個(gè)新正方形的示意圖.圖1=a囹2K2a時(shí)（如圖5）,能否剪拼成一個(gè)正方形？若能，請(qǐng)你在圖5中畫(huà)出剪拼成的正方形的示意圖；若不能，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.圖Y【答案】（1）a2+b2；（2）見(jiàn)解析；聯(lián)想拓展：能剪拼成正方形.見(jiàn)解析.【解析】分析：實(shí)踐探究：根據(jù)正方形FGCH的面積=BG2+BC2進(jìn)而得出答案；應(yīng)采用類比的方法，

7、注意無(wú)論等腰直角三角形的人小如何變化，BG永遠(yuǎn)等于等腰直角三角形斜邊的一半.注意當(dāng)b=a時(shí)，也可直接沿正方形的對(duì)角線分割.詳解：實(shí)踐探究：正方形的面積是：BG2+BC2=a2+b2；剪拼方法如圖2圖4；聯(lián)想拓展：能，剪拼方法如圖5（圖中BG=DH=b）點(diǎn)睛：本題考查了幾何變換綜合，培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力和動(dòng)手操作能力：運(yùn)用類比方法作圖時(shí)，應(yīng)根據(jù)范例抓住作圖的關(guān)鍵：作的線段的長(zhǎng)度與某條線段的比值永遠(yuǎn)相等，旋轉(zhuǎn)的三角形，連接的點(diǎn)都應(yīng)是相同的3操作與證明：如圖1,把一個(gè)含45。角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊CB、C

8、D上,連接AF.取AF中點(diǎn)EF的中點(diǎn)N,連接MD、MN.（1）連接AE,求證：AAEF是等腰三角形;猜想與發(fā)現(xiàn)：（2）在（1）的條件下，請(qǐng)判斷MD、MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，得出結(jié)論.結(jié)論1：DM、MN的數(shù)量關(guān)系是.；結(jié)論2：DM、MN的位置關(guān)系是一；拓展與探究：（3）如圖2,將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180%其他條件不變，則（2）中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的知識(shí)證明出CE=CF,繼而證明出ABE雯AADF,得到AE=AF,從而證明出AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的數(shù)量關(guān)系是相

9、等，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和三角形中位線定理即可得出結(jié)論.位置關(guān)系是垂直，利用三角形外角性質(zhì)和等腰三角形兩個(gè)底角相等性質(zhì)，及全等三角形對(duì)應(yīng)角相等即可得出結(jié)論；（3）成立，連接AE,交MD于點(diǎn)G,標(biāo)記出各個(gè)角，首先證明出11MNIIAE,MN=AE,利用三角形全等證出AE=AF,而DM=AF,從而得到DM,MN數(shù)量相等的結(jié)論，再利用三角形外角性質(zhì)和三角形全等，等腰三角形性質(zhì)以及角角之間的數(shù)屋關(guān)系得到ZDMN=ZDGE=90.從而得到DM、MN的位置關(guān)系是垂直.試題解析:（1）v四邊形ABCD是正方形,AB=AD=BC=CD,ZB=ZADF=90,TCEF是等腰直角三角形，ZC=90%

10、/.CE=CF,/.BC-CE=CDCF,即BE=DF,ABE竺ADF,AE二AF,AEF是等腰三角形；（2）DM.MN的數(shù)量關(guān)系是相等，DM.IVIN的位置關(guān)系是垂直；在RtAADF中DM是斜邊AF的中線,/.AF=2DM,/MN是ZkAEF的中位線,/.AE=2MN,-/AE=AF,/.DM=MN；/ZDMF=ZDAF+ZADM,AM二MD,ZFMN=ZFAE,ZDAF=ZBAE,/.ZADM=ZDAF=ZBAE,ZDMN=ZFMN+ZDMF=ZDAF+ZBAE+ZFAE=ZBAD=90%/.DM丄MN；(3)(2)中的兩個(gè)結(jié)論還成立，連接AE,交MD于點(diǎn)G,點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)，點(diǎn)N為EF的

11、中點(diǎn)，1/.MNIIAE,MN=AE,由已知得,AB=AD=BC=CD,ZB=ZADF,CE=CF,又BC+CE二CD+CF,即BE=DF,二ABE旻ADF,AAE=AF,在RtAADF中,T點(diǎn)M為AF的1中點(diǎn)，DM=AF.DM=MN,TABE雯ADF,/.Z1=Z2,/ABIIDF,/.Z1=Z3,同理可證：Z2=Z4,/.Z3=Z4,DM二AM,/.ZMAD=Z5,/.ZDGE=Z5+Z4=ZMAD+Z3=90,/MNIIAE,/.ZDMN=ZDGE=90,/.DM丄MN所以(2)中的兩個(gè)結(jié)論還成立.質(zhì).如圖1,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系：如圖2,當(dāng)ZABO90。時(shí)，請(qǐng)判斷線段OE

12、與OF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明4.在AABC中，AB=BC，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A,0,C重合).過(guò)點(diǎn)A,點(diǎn)C作直線BP的垂線，垂足分別為點(diǎn)E和點(diǎn)F,連接OE,OF.(1)(2)理由2/3【解析】【分析】【答案】OF=OE；(2)OF丄EK,OF=OE,理由見(jiàn)解析：(3)OP的長(zhǎng)為石或(1)如圖1中，延長(zhǎng)E0交CF于K,證明ZkAOE雯“COK,從而可得OE=OK,再根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得OF=OE；(2)如圖2中，延長(zhǎng)E0交CF于K,由已知證明ZkABE妥BCF,AOE雯COK,繼而可證得AEFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性

13、質(zhì)即可得OF丄EK,OF=OE；(3)分點(diǎn)P在A0上與CO上兩種情況分別畫(huà)圖進(jìn)行解答即可得.【詳解】(1)如圖1中，延長(zhǎng)E0交CF于K,OA=OC,ZAOE=ZCOK,.二AOE竺COK,.二OE=OK,5FK是直角三角形，OF=1-OE;(2)如圖2中，延長(zhǎng)EO交CF于K,ZABC=ZAEB=ZCFB=90,/.ZABE+ZBAE=90%ZABE+ZCBF=90,/.ZBAE=ZCBF.AB二BC,ABE竺BCF,BE=CF,AE=BF,AOE雯COK,AE=CK,OE=OK,/.FK=EF,EFK是等腰直角三角形,.OF丄EK,OF=OE；(3)如圖3中，點(diǎn)P在線段AO,延長(zhǎng)E0交CF于K

14、,作PH丄OF于H,A/|CF-AE|=2,EF=2書(shū),AE=CK,/.FK=2,在RtAEFK中，tanZFEK=VI,二ZFEK=30,ZEKF=60,31/.EK=2FK=4,0F=-EK=2,2OPF是等腰三角形，觀察圖形可知，只有0F=FP=2,ZBOP=90,0H=2-羽,時(shí)，ZPOF=ZPFO=30,綜上所述：op的長(zhǎng)為點(diǎn)血或羋.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等，綜合性較強(qiáng)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.5.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)0作直線EF丄BD,交AD于點(diǎn)E,交

15、BC于點(diǎn)F,連接BE、DF,且BE平分ZABD.求證：四邊形BFDE是菱形；直接寫(xiě)出ZEBF的度數(shù)；(2)把中菱形BFDE進(jìn)行分離研究，如圖，點(diǎn)G、I分別在BF、BE邊上，且BG=BI,連接GD,H為GD的中點(diǎn)，連接FH并延長(zhǎng)，交ED于點(diǎn)J,連接IJ、IH、IF、IG.試探究線段IH與FH之間滿足的關(guān)系，并說(shuō)明理由；把中矩形ABCD進(jìn)行特殊化探究，如圖，當(dāng)矩形ABCD滿足AB=AD時(shí)，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE、EF、DF,使DEF是等腰直角三角形，DF交AC于點(diǎn)G.請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AG、GE、EC三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)詳見(jiàn)解析；60。.(2)IH=*FH；(3)EG2=A

16、G2+CE2.【解析】【分析】由NDOEXBOF,推出EO=OF,VOB=OD,推出四邊形EBFD是平行四邊形，再證明EB=ED即可.先證明AABD=2ADB,推出Z408=30,延長(zhǎng)即可解決問(wèn)題.IH=y/3FH.只要證明是等邊三角形即可.結(jié)論：EG2=AG2+CE2.如圖3中，將ADG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到DCM,先證明DEG竺DEM,再證明ECA4是直角三角形即可解決問(wèn)題.【詳解】(1)證明：如圖1中，四邊形ABCD是矩形，.ADIIBC,OB=OD,ZEDO=ZFBO,在厶DOE和厶BOF中，ZEDO=ZFBOOD=OB,ZEOD=ZBOFDOEBOF,EO=OF,JOB=OD,四

17、邊形EBFD是平行四邊形，EF丄BD,OB=OD,EB=ED,四邊形EBFD是菱形.BE平分ZABD,ZABE=Z.EBDtEB=ED,ZEBD=ZEDB,ZABD=2ZADB9ZABD+ZADB=90。,:.AADB=309ZABD=60。，ZABE=AEBO=ZOBF=30,ZEBF=60.結(jié)論:IH=y/3FH理由：如圖2中，延長(zhǎng)BE到M,使得EM=EJ.連接MJ.四邊形EBFD是菱形,Z8=60,EB=BF=ED,dewbf,ZFGH,在DH丿和GHF中，ZDHG=ZGHFDH=GH,zJDH=ZFGHDHJ里GHF,DJ=FG,JH=HF.EJ=BG=EM=BI,BE=IM=BF,Z

18、MEJ=A8=60%ME丿是等邊三角形，/.MJ=EM=NI,ZM=ZB=60在厶B/FfflAMJI中，BI=MJZB=ZM,BF=IMBIF里MJI,IJ=IF,ZBFI=ZMIJ,HJ=HF9IH丄JF,ZBFI+ZB/F=120,ZM/J+ZB/F=120/.ZJ/F=60,JIF是等邊三角形，在RtAIHF中，zIHF=90。,ZIFH=609ZF/H=309IH=FH結(jié)論：EG2=AG2+CE2.理由：如圖3中，將AADG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到CM,AFED四點(diǎn)共圓，ZEDF=ZDAE=45ZADC=9QZADF+ZEDC=45,ZADF=ZCDM.ZCDM+ZCDE=45=Z

19、EDG,在ADEM和DEG中，DE=DE/2由（2）知,BE=AF,/.AF=73+1.即：當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B,E,F三點(diǎn)共線時(shí)候，線段AF的長(zhǎng)為-1或石+1.&現(xiàn)有一張矩形紙片ABCD（如圖）,其中AB=4cm9BC=6cm，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).將紙片沿直線AE折疊，點(diǎn)B落在四邊形AECD內(nèi)，記為點(diǎn)過(guò)E作EF垂直FC,交BC于F.（1）求處、EF的位置關(guān)系：（2）求線段FC的長(zhǎng),并求ABTC的面積.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）BEC=.23【解析】【分析】（1）由折線法及點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可證得BEC是等腰三角形，再有條件證明ZAEF=90即可得到AE丄EF；（2）連接BB,通過(guò)折疊，可

20、知ZEBB=ZEBB,由E是BC的中點(diǎn)，可得EB=EC,ZECBz=ZEBZC,從而可證ABBC為直角三角形，在RtAAOB和RtABOE中，可將OB,BB的長(zhǎng)求出，在RtABBr中，根據(jù)勾股定理可將BC的值求出.【詳解】（1）由折線法及點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，EB=EB=EC,ZAEB=ZAEB,BEC是等腰三角形，又EF丄FCEF為ZBEC的角平分線，即ZBEF=ZFEC,ZAEF=180Q-（Z/AEB+ZCEF）=90,即ZAEF=9Q即AE丄EF：（2）連接BB，交AE于點(diǎn)O,由折線法及點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，EB=EB=EC,ZEBB=ZEBB,ZECB=ZEBG又BBlC三內(nèi)角之和為180,

21、ZBB,C=90；點(diǎn)廳是點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)，AE垂直平分BB：在RtAAOB和RtA30E中,BO2=AB2-AO2=BE2-（AE-AO）2將BE=3cm,AE=5cm,16.*A0=cm,5i12B0=-AO2=cm,/.BB=2B0=cm,5/.在RtABBC中，BC=JbC2BB2=由題意門(mén)J知四邊形OEFF是矩形，EF=0B，=2,5【點(diǎn)睛】考查圖形的折疊變化及三角形的內(nèi)角和定理勾股定理的和矩形的性質(zhì)綜合運(yùn)用.關(guān)鍵是要理解折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和人小不變，只是位置變化.9.問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1,點(diǎn)E.F分別在正方形ABCD的邊BC、CD

22、上,ZEAF=45,連接EF、則EF=BE+DF,試說(shuō)明理由；（2）類比引申如圖乙在四邊形ABCD中加如ZBAD=90點(diǎn)E.F分別在邊BC、CD上上EAFV若ZB,ZD都不是直角，則當(dāng)Z3與ZD滿足等量關(guān)系時(shí)，仍有EF二BE+DF；（3）聯(lián)想拓展如圖3,在AABC中也BAC=90：AB二AC點(diǎn)D、E均在邊BC匕且ZDA&45。，猜想B6DE、ECD【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析;（3）詳見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）把AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至2XADG,可使AB與AD重合，證出AFG雯AAFE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF二FG,即可得出答案；把厶ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

23、至厶ADG,可使AB與AD重合，證出AFE仝AFG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG,即可得出答案：把厶ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF,證明AFE雯AFG(SAS),則EF=FG,ZC=ZABF=45%ABDF是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可作出判斷.AB二AD,.把AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至2XADG,可使AB與AD重合，如圖1,ZADC=ZB=90o,ZFDG=180o,點(diǎn)F.D.G共線，則ZDAG二ZBAE,AE=AG,ZFAG=ZFAD+ZGAD=ZFAD+ZBAE=90o-45o=45=ZEAF,即ZEAF=ZFAG,在厶EAF和厶GAF中，AF=AF,ZEAF二ZGAF,AE=AG,.AFG雯AFE(SAS),EF=FG=BE+DF：(2)ZB+ZD=180o時(shí)，EF二BE+DF：AB二AD,把AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AADG,可使AB與AD重合,如圖2,ZBAE=ZDAG,ZBAD=90o,ZEAF=45o,ZB