1、第三章 矩陣的初等變換與線性方程組知識點(diǎn)回顧：克拉默法則2結(jié)論 1 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的.（P. 24定理4）結(jié)論 1如果線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零. （P.24定理4）設(shè)用克拉默法則解線性方程組的兩個(gè)條件： (1) 方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)； (2) 系數(shù)行列式不等于零. 線性方程組的解受哪些因素的影響？1 矩陣的初等變換一、初等變換的概念二、矩陣之間的等價(jià)關(guān)系三、初等變換與矩陣乘法的關(guān)系四、初等變換的應(yīng)用3引例：求解線性方程組一、矩陣的初等變換42523 6 25372 8取 x3 為自由變量，則 令 x

2、3 = c ，則 恒等式9三種變換： 交換方程的次序，記作 ； 以非零常數(shù) k 乘某個(gè)方程，記作 ； 一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的 k 倍，記作 . 其逆變換是：結(jié)論：由于對原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前后的方程組同解.在上述變換過程中，實(shí)際上只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知數(shù)并未參與運(yùn)算iji k ik jiji k ik jijik ik j10定義：下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：對調(diào)兩行，記作 ；以非零常數(shù) k 乘某一行的所有元素，記作 ； 某一行加上另一行的 k 倍，記作 .其逆變換是：把定義中的行換成列，就得到矩陣的初等列變換的定義 矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱

3、為初等變換 初等變換初等行變換初等列變換11增廣矩陣結(jié)論：對原線性方程組施行的變換可以轉(zhuǎn)化為對增廣矩陣的變換.122 132 314 25 3 1521617B5 對應(yīng)方程組為 令 x3 = c ，則 18說明求解線性方程組可分為消元與回代兩過程。消元過程 的實(shí)質(zhì)，就是通過一系列方程組的同解變換找到一個(gè) 形式上較簡單的方程組，然后進(jìn)行回代。這里方程組 的同解變換是指下列三種變換：對調(diào)兩個(gè)方程；以不為零的數(shù)乘某一個(gè)方程；把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上.從原方程組同解變換到形式上簡單的方程組的過程可 見，除去代表未知數(shù)的符號外，矩陣與方程組是一一 對應(yīng)的。換言之，方程組有沒有解、有什么樣的解完

4、全由各方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)及它們相互位置所成數(shù) 表，即增廣矩陣所決定。而且，對方程組作同解變換， 相當(dāng)于對它的增廣矩陣作相應(yīng)的變換。19備注帶有運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算，用“ = ”例如：矩陣加法數(shù)乘矩陣、矩陣乘法矩陣的轉(zhuǎn)置 T（上標(biāo)）方陣的行列式|不帶運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算，用“”例如：初等行變換初等列變換20有限次初等行變換有限次初等列變換行等價(jià)，記作 列等價(jià)，記作 二、矩陣之間的等價(jià)關(guān)系21有限次初等變換矩陣 A 與矩陣 B 等價(jià)，記作矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：反身性 ；對稱性 若 ，則 ；傳遞性 若 ， 則 22行階梯形矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全為零；每個(gè)臺(tái)階只有一行；階梯線的豎線后面

5、是非零行的第一個(gè)非零元素.行最簡形矩陣：非零行的第一個(gè)非零元為1;這些非零元所在的列的其它元素都為零.23行最簡形矩陣：非零行的第一個(gè)非零元為1;這些非零元所在的列的其它元素都為零.標(biāo)準(zhǔn)形矩陣：左上角是一個(gè)單位矩陣，其它元素全為零.24行階梯形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣由m、n、r三個(gè)參數(shù)完全確定，其中 r 就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).行最簡形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣三者之間的包含關(guān)系 2526利用初等行變換，把一個(gè)矩陣化為行階梯形矩陣 和行最簡形矩陣，是一種十分重要的運(yùn)算. 由引 例可知，要解線性方程組只需將增廣矩陣化為行 最簡形.行階梯形矩陣和行最簡形矩陣的比較行階梯形矩陣行最簡形矩陣自上而下，每個(gè)非零行的

6、首非零元前面的零的個(gè)數(shù)依次增加；零行在最下方.是階梯形矩陣；非零行的第一個(gè)非零元（首非零元）為；首非零元所在的列的其它元素都為特點(diǎn)作用 小結(jié)任何矩陣行最簡形矩陣行階梯形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣有限次初等行變換 有限次初等列變換 有限次初等變換 結(jié)論有限次初等行變換 27定義：由單位矩陣 E 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣.對調(diào)單位陣的兩行（列）；(2)以常數(shù) k0 乘單位陣的某一 行（列）；(3)以 k 乘單位陣單位陣的某一 行（列）加到另一 行（列） 三、初等變換與矩陣乘法的關(guān)系28(1) 對調(diào)單位陣的第 i, j 行（列）， 記作 E5(3, 5)記作 Em(

7、 i, j )29(2)以常數(shù) k0 乘單位陣第 i 行（列）， 記作 E5(3(5) 記作 Em(i(k) 30(3)以 k 乘單位陣第 j 行加到第 i 行,記作 E5(35(k) 記作 Em(ij(k) 以 k 乘單位陣第 i 列加到第 j 列 ?兩種理解！313233結(jié)論把矩陣A的第 i 行與第 j 行對調(diào)，即 .把矩陣A的第 i 列與第 j 列對調(diào)，即 .以非零常數(shù) k 乘矩陣A的第 i 行，即 .以非零常數(shù) k 乘矩陣A的第 i 列，即 .把矩陣A第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即 .把矩陣A第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即 .34性質(zhì)1 設(shè)A是一個(gè) mn 矩陣，對 A

8、施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 A 的左邊乘以相應(yīng)的 m 階初等矩陣；對 A 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 A 的右邊乘以相應(yīng)的 n 階初等矩陣.口訣：左行右列.35初等變換 初等變換的逆變換 初等矩陣 ?3637因?yàn)椤皩τ趎 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以 一般地， 38因?yàn)椤皩τ趎 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以 一般地， ?39因?yàn)椤皩τ趎 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以 一般地， ?40初等變換 初等變換的逆變換 初等矩陣 初等矩陣的

9、逆矩陣初等矩陣的逆矩陣是：?41性質(zhì)2 方陣A可逆的充要條件是存在有限個(gè)初等矩陣P1, P2, , Pl，使 A = P1 P2 , Pl 42證 析：這是一條十分重要的定理，它反映了可逆矩陣的一 個(gè)特性：可以分解為初等矩陣的乘積.先證充分性.設(shè) 因?yàn)槌醯染仃嚳赡?，有限個(gè)可逆矩陣的乘積仍可逆，故 可逆.43再證必要性.設(shè) 階方陣 可逆，且 的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣為 ，則有 ,也就是 經(jīng)過有限次初等行變換和初等列變換可化為 ，因?yàn)?可逆， 也都可逆，所以 可逆，因此在 中既沒有零行又沒有零列，再注意到是矩陣 的標(biāo)準(zhǔn)形，故必有 ，從而根據(jù)性質(zhì)1知，有初等矩陣 使說明即有上述的證明顯示，可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形為單位陣.推論1 方陣 A 可逆的充要條件是 .推論2 方陣 A 與 B 等價(jià)的充要條件是存在 m 階可逆矩陣 P 及 n 階可逆矩陣 Q ，使 PAQ = B .44四、初等變換的應(yīng)用45 解例4647即初等行變換48