1、第四章：微分方程模型 第三次：生態(tài)學(xué)數(shù)學(xué)模型華僑大學(xué)信息系宋海洲一：實(shí)際問題：1：?jiǎn)栴}： 人們吃大量的蛇，結(jié)果蛇大量減少；而田間的耗子卻多起來了。 這種生態(tài)平衡失調(diào)的問題頻頻發(fā)生。 環(huán)境污染嚴(yán)重。 有必要研究生態(tài)學(xué)二：?jiǎn)畏N群模型（種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)理論）1：MALTHUS模型（1）：假定：只有一個(gè)種群，生物增長(zhǎng)與出生率r(常數(shù)）有關(guān)，N(t)為t時(shí)刻生物總數(shù)。（2）：建模：dN/dt=rN(t) (1) N(t)|t=t0=N0 r(t-t0) （3）: 求解： N(t)=N0e 結(jié)論：人口呈現(xiàn)幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)2：密度制約模型(logistic模型)：（1）：假定：生物有競(jìng)爭(zhēng)，在（1）中增加一項(xiàng)競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)-rN

2、*N/k（2）:建立模型：(4)：模型的優(yōu)缺點(diǎn)： A: Logistic模型比Malthus 模型更合實(shí)際，尤其低級(jí)動(dòng)物。例如細(xì)菌、酵母或浮游藻類。 B:Logistic模型中，未考慮年齡的分布，對(duì)于壽命較長(zhǎng)的，世代重疊多的種群用（2）描述仍會(huì)產(chǎn)生較大的偏差，原因是密度的線性化造成的。(5)模型修改：3：開發(fā)了的單種群模型：（1）：具有常數(shù)收獲率的單種群模型。 A:如果某一區(qū)域中養(yǎng)魚，而每年捕獲h條魚，此時(shí)在（3）中增加一項(xiàng)收獲項(xiàng)。 B:如果每年捕獲不是固定的h條魚，而是捕的條數(shù)與魚的總數(shù)N成正比，模型為：（2）：具有時(shí)變收獲率的單種群模型，則有實(shí)例： A:農(nóng)藥殺害蟲問題可用（7）式。 希望某

3、段時(shí)間內(nèi)害蟲的密度下降到一定限額之內(nèi)，要求使用的農(nóng)藥最少，同時(shí)不損害農(nóng)作物。此問題可用下方法表示：B:漁業(yè)問題：（計(jì)劃經(jīng)濟(jì)中） 養(yǎng)魚并不是為了一年的捕魚量最大而把所有的魚捕撈干凈。而是要考慮控制捕魚量而使魚穩(wěn)定在一定的狀態(tài)下生長(zhǎng)，使得每年有魚捕，并且要求在一定時(shí)間范圍內(nèi)，例如10年，30年內(nèi)的魚產(chǎn)量最大，此類數(shù)學(xué)問題可用如下方式表示：如果考慮養(yǎng)魚的經(jīng)濟(jì)效益，則（9）的目標(biāo)函數(shù)可變?yōu)椋浩渲蠮為總利潤(rùn)（凈收入）。V為魚的單價(jià)， 為當(dāng)時(shí)的兌現(xiàn)率，C/N為單位重量魚的成本費(fèi)。C:公海中的漁業(yè)問題： 記N(t) 表示魚的密度，NF(N)表示魚的自然生長(zhǎng)率，E(t)表示t時(shí)刻的捕魚能力，P表示捕單位重量魚

4、所得的報(bào)酬，C表示單位重量的成本費(fèi)，C,K為正常數(shù)。多國(guó)公海中的捕漁問題4：具有時(shí)遲的單種群模型： 在許多實(shí)際情況中，logistic模型的調(diào)節(jié)因子（1-N/K)應(yīng)有時(shí)遲，設(shè)時(shí)遲為T，一般為一代種群的平均壽命的大小。此時(shí)logistic方程為： 如果t時(shí)刻種群的增長(zhǎng)率與過去所有時(shí)間的種群密度均有關(guān)，則這種情況下具有時(shí)遲的單種群logistic方程為：5：離散時(shí)間的單種群模型： 如果世代之間沒有重疊，所以種群增長(zhǎng)分步進(jìn)行，因而描述它們的生長(zhǎng)過程是一個(gè)不連續(xù)模型，一般是差分方程： （1）對(duì)于malthus方程有： （2）考慮密度制約，則數(shù)學(xué)模型為：6：具有時(shí)變環(huán)境的單種群模型： 在模型（2）中的環(huán)

5、境容量K=const,但一般說是變化的，即描述環(huán)境因素的參數(shù)容量K是時(shí)間的函數(shù)，這是不難理解的。例如，一年中有春夏秋冬，夏季植物茂盛，可以容納大量的昆蟲生長(zhǎng)，而冬季植物少，只能容納少量的昆蟲生長(zhǎng)，故K 與t有關(guān)。7：反應(yīng)擴(kuò)散方程： 在模型（2）中，假定種群密度分布是均勻的，如果分布不均勻，則高密度的種群就要向低密度的區(qū)域擴(kuò)散。如果假定這種擴(kuò)散是在空間各向同性的，則應(yīng)在（2）加上擴(kuò)散的因素。令u=N/K,s=r,則（2）變?yōu)椋憾簝煞N群相互作用的模型： 1：兩種群相互作用的模型：（2）建模：或用線性函數(shù)代替 得（3）：結(jié)論： 如果兩種群非常相似而要求同樣的環(huán)境，則=1，此時(shí)種群1和種群2之間的生

6、態(tài)競(jìng)爭(zhēng)非常激烈，結(jié)果是最大容量大的生物存活而最大容量小的生物滅亡。（4）：模型的適應(yīng)性及修改： A:對(duì)低等動(dòng)物如細(xì)菌、藻類還可； B:對(duì)低等動(dòng)物應(yīng)復(fù)雜化，修改為：（5）：兩種群相互作用常表現(xiàn)以下4種形式：捕食者與被捕食者（食餌）；寄生物與寄主；相互競(jìng)爭(zhēng)；互惠互存 兩種群相互作用的4種形式可由方程的系數(shù)aij (i=0,1,2;j=0,1,2)的符號(hào)體現(xiàn)出來。A:當(dāng)a12 0,說明x被捕食者（寄主）,而y為捕食者（寄生物）B:當(dāng)a120，且a21 0，且a21 0,說明x,y互惠互存；D:一般假定a11 =0,a22 =0，若a11 0(a22 0(a200)表示x種群（y種群）可以依靠此系統(tǒng)之

7、外的食物為生，反之，則不能。實(shí)例：1971年Hassell研究圓柄姬蜂攻擊寄生粉螟（p71)2:被開發(fā)的兩種群相互作用的模型 （實(shí)例：前面均是兩種群自然發(fā)展的模型；如果加上人的因素模型就不同了，例如，利用天敵消滅害蟲或漁業(yè)問題） （1）害蟲-天敵自然模型：（2）：人工投放天敵模型：（3）不投放天敵，使用殺蟲劑，只殺害蟲而不傷天敵模型：（4）不投放天敵，使用殺蟲劑，殺害蟲也傷天敵模型：實(shí)際上：3:具有時(shí)遲的兩種群相互作用的模型： 例如：只考慮食餌種群的時(shí)遲的影響：食餌種群又符合logistic方程，具有時(shí)遲的增長(zhǎng)符合（13）；競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系Volterra方程描述，則有模型：其它無時(shí)遲模型均可有相應(yīng)時(shí)

8、遲模型。4：離散時(shí)間的兩種群相互作用的模型： 只須將原微分方程差分化即可： 例將5：反應(yīng)擴(kuò)散方程：（p73p74）三：三個(gè)種群或多個(gè)種群所組成的群落生態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型： 三個(gè)種群相互作用較復(fù)雜，但建模思想和方法相同的。 1：假設(shè)及記號(hào)： 記三個(gè)種群分別為、，并約定：種群供食于種群表示為：；種群密度制約：；種群不主要依靠吃本系統(tǒng)（即、三種群構(gòu)成的系統(tǒng)）為生： - -。種群與種群相互爭(zhēng)：種群與種群互惠互存： 2：現(xiàn)僅考慮A、B、C三個(gè)種群關(guān)系是捕食與被捕食關(guān)系，則關(guān)系有三種：3：下面僅考慮食餌種群增長(zhǎng)是線性密度制約的數(shù)學(xué)模型： （1）：兩個(gè)食餌種群A、B，一個(gè)捕食者種群C： 假設(shè)：對(duì)于種群C:主要以A、B為食餌， A、B不存在時(shí)，C要逐漸滅亡；C種群不是密度制約；C的密度為y.對(duì)于A、B種群：不依靠本系統(tǒng)為生， A、B為密度