1、6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第2課時激趣誘思知識點撥電視臺在“歡樂今宵”節(jié)目中拿出兩個信箱,其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,現(xiàn)由主持人抽獎決定幸運觀眾,若先確定一名幸運之星,再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴,有多少種不同的選擇?激趣誘思知識點撥兩個計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是解決計數(shù)問題最基本、最重要的方法.激趣誘思知識點撥2.區(qū)別 類型分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類方案,關鍵詞是“分類”完成一件事共有n個步驟,關鍵詞是“分步”區(qū)別二每類方案中的每種方法都能獨立地完成這件事

2、,它是獨立的、一次的且每種方法得到的都是最后結果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類方案之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關聯(lián)的、獨立的,“關聯(lián)”確保不遺漏,“獨立”確保不重復激趣誘思知識點撥名師點析處理具體問題時,一是合理分類,準確分步:分類時,要不重不漏;分步時,要合理設計步驟、順序,使各步互不干擾.對于一些較復雜的題目,往往既要分類又要分步.二是特殊優(yōu)先,一般在后:解含有特殊元素、特殊位置的計數(shù)問題時,應優(yōu)先安排特殊元素,優(yōu)先確定特殊位置,再考慮

3、其他元素與其他位置.激趣誘思知識點撥微思考分類“不重不漏”的含義是什么?提示:分類時,首先要根據(jù)問題的特點確定一個分類標準,然后在這個標準下進行分類.一般地,標準不同,分類的結果也不同;其次,分類時要注意滿足一個基本要求:完成這件事的任何一種方法必須屬于且只能屬于某一類方案.簡單地說,就是應用分類加法計數(shù)原理時要做到“不重不漏”.激趣誘思知識點撥微練習(1)某小組有8名男生、6名女生,從中任選男生、女生各一名去參加座談會,則不同的選法有()A.48種B.24種C.14種D.12種(2)一項工作可以用兩種方法完成,有3人會用第1種方法完成,有5人會用第2種方法完成,從中選出1人來完成這項工作,不

4、同的選法種數(shù)是()A.8B.15C.16D.30(3)用數(shù)字2,3組成四位數(shù),且數(shù)字2,3都至少出現(xiàn)一次,這樣的四位數(shù)共有個.激趣誘思知識點撥解析:(1)從8名男生中任意挑選一名參加座談會,有8種不同的選法;從6名女生中任意挑選一名參加座談會,有6種不同的選法.由分步乘法計數(shù)原理知,不同選法共有86=48(種).(2)第1類,從會第1種方法的3人中選1人,有3種不同的選法;第2類,從會第2種方法的5人中選1人,有5種不同的選法,共有5+3=8(種)不同的選法.(3)可用排除法,這個四位數(shù)每一位上的數(shù)只能是2或3,則這樣的四位數(shù)共有24個.而題目要求數(shù)字2,3都至少出現(xiàn)一次,所以全是2或全是3的

5、四位數(shù)不滿足,即滿足要求的四位數(shù)有24-2=14(個).答案:(1)A(2)A(3)14探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測組數(shù)問題例1用0,1,2,3,4五個數(shù)字,(1)可以組成多少個三位數(shù)字的電話號碼?(2)可以組成多少個三位數(shù)?(3)可以組成多少個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù)?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)三位數(shù)字的電話號碼,百位上的數(shù)字可以是0,數(shù)字也可以重復,每個位置上的數(shù)字都有5種取法,可以組成555=53=125(個)三位數(shù)字的電話號碼.(2)三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能為0,但可以有重復數(shù)字,首先考慮百位上的數(shù)字的取法,除0外共有4種取法,個、十位上的數(shù)字可以取0,因

6、此,可以組成455=100(個)三位數(shù).(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù),個位數(shù)字可取0,2,4,因此,可以分兩類,一類是個位數(shù)字是0,可以組成43=12(個)三位數(shù);一類是個位數(shù)字不是0,則個位上的數(shù)字有2種取法,即2或4,再考慮百位上的數(shù)字,因為0不能是百位上的數(shù)字,所以有3種取法,十位有3種取法,因此有233=18(個)三位數(shù).因而有12+18=30(個)三位數(shù).即可以組成30個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究 由本例中的五個數(shù)字可組成多少個無重復數(shù)字的四位奇數(shù)?解:完成“組成無重復數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事,可以分四步:第1步定個位,只能從1,3中任取一個

7、,有2種方法;第2步定千位,把1,2,3,4中除去用過的一個數(shù),在剩下的3個數(shù)中任取一個,有3種方法;第3步,第4步把剩下的包括0在內的3個數(shù)字先排百位,有3種方法,再排十位,有2種方法.由分步乘法計數(shù)原理知共能組成2332=36(個)無重復數(shù)字的四位奇數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟 對于組數(shù)問題應掌握的原則(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字,是我們采用“分類”還是“分步”的關鍵.一般按特殊位置分類,分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成;如果正面分類較多,可采用間接法求解.(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢

8、測變式訓練1從0,2中選一個數(shù)字,從1,3,5中選兩個數(shù)字,組成無重復數(shù)字的三位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為()A.24B.18C.12D.6解析:由于題目要求是奇數(shù),那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況:奇偶奇,偶奇奇.如果是第一種奇偶奇的情況,可以從個位開始分析(3種情況),之后十位(2種情況),最后百位(2種情況),共12種情況;如果是第二種偶奇奇的情況,則個位(3種情況),十位(2種情況),百位(不能是0,一種情況),共6種.因此總共有12+6=18(種)情況.故選B.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測抽取(分配)問題例2高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐,其中甲工廠必須

9、有班級去,每班去哪個工廠可自由選擇,則不同的分配方案有()A.16種B.18種C.37種D.48種思路分析:解決此類問題可以用直接法先分類再分步,也可用排除法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解析:(方法一直接法)以甲工廠分配班級情況進行分類,共分為三類.第1類,三個班級都去甲工廠,此時分配方案只有1種;第2類,有兩個班級去甲工廠,剩下的班級去另外三個工廠,其分配方案有33=9(種);第3類,有一個班級去甲工廠,另外兩個班級去其他三個工廠,其分配方案有333=27(種).綜上所述,不同的分配方案共有1+9+27=37(種).(方法二間接法)先計算三個班自由選擇去哪個工廠的總數(shù),再扣除甲工廠無

10、人去的情況,即有444-333=37(種)不同的分配方案.答案:C 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟 解決抽取(分配)問題的方法(1)當涉及對象的數(shù)目不大時,一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或圖表法.(2)當涉及對象的數(shù)目很大時,一般有兩種方法:直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理.一般地,若抽取是有順序的,則按分步進行;若是按對象特征抽取的,則按分類進行.間接法.去掉限制條件,計算所有的抽取方法數(shù),然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2 7名學生中有3名學生會下象棋但不會下圍棋,有2名學生會下圍棋但不會下象棋,另2名學生既會下象棋

11、又會下圍棋.現(xiàn)從中選出會下象棋和會下圍棋的學生各1人參加比賽,共有多少種不同的選法?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解:第1類,從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數(shù)原理得N1=32=6(種).第2類,從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數(shù)原理得N2=32=6(種).第3類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數(shù)原理得N3=22=4(種).第4類,從2名既會下象棋又會下圍

12、棋的學生中選1名參加象棋比賽,另一名參加圍棋比賽,有N4=2種.綜上,由分類加法計數(shù)原理可知,不同選法共有N=N1+N2+N3+N4=6+6+4+2=18(種).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測涂色問題例3將紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個小方格內,每格涂一種顏色,相鄰兩格涂不同的顏色,如果顏色可以反復使用,共有多少種不同的涂色方法?思路分析:注意考慮不相鄰區(qū)域顏色是否相同. 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解:第1個小方格可以從五種顏色中任取一種顏色涂上,有5種不同的涂法.當?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時,有43=12(種)不同的涂法,第4個小方格有3種不同的涂法

13、,由分步乘法計數(shù)原理可知有5123=180(種)不同的涂法.當?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時,有4種涂法,由于相鄰兩格不同色,因此,第4個小方格也有4種不同的涂法,由分步乘法計數(shù)原理可知有544=80(種)不同的涂法.由分類加法計數(shù)原理可得共有180+80=260(種)不同的涂法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究 本例中的區(qū)域改為如圖所示,其他條件均不變,則不同的涂法共有多少種?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解:依題意,可分兩類:不同色;同色. 第1類,不同色,則所涂的顏色各不相同,我們可將這件事情分成四步來完成.第1步涂,從5種顏色中任選一種,有5種涂法;第2步涂,從余下的4

14、種顏色中任選一種,有4種涂法;第3步涂與第4步涂時,分別有3種涂法和2種涂法.于是由分步乘法計數(shù)原理得,不同的涂法為5432=120(種).第2類,同色,則不同色,我們可將涂色工作分成三步來完成.第1步涂,有5種涂法;第2步涂,有4種涂法;第3步涂,有3種涂法.于是由分步乘法計數(shù)原理得,不同的涂法有543=60(種).綜上可知,所求的涂色方法共有120+60=180(種).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟 解決涂色(種植)問題的一般思路涂色問題一般是綜合利用兩個計數(shù)原理求解,有幾種常用方法:(1)按區(qū)域的不同,以區(qū)域為主分步計數(shù),用分步乘法計數(shù)原理分析.(2)以顏色為主分類討論,適用

15、于“區(qū)域、點、線段”等問題,用分類加法計數(shù)原理分析.(3)將空間問題平面化,轉化為平面區(qū)域的涂色問題.種植問題按種植的順序分步進行,用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)或按種植品種恰當選取情況分類,用分類加法計數(shù)原理計數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練3如圖所示的幾何體是由一個三棱錐P-ABC與三棱柱ABC-A1B1C1組合而成的,現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相鄰的面均不同色,則不同的涂色方案共有種.解析:先涂三棱錐P-ABC的三個側面,再涂三棱柱的三個側面,由分步乘法計數(shù)原理,共有3212=12(種)不同的涂法.答案:12探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂

16、檢測元素重復選取的計數(shù)問題典例(1)5名學生從4項體育項目中選取一項參賽,若每一名學生只能參加一項,則有多少種不同的參賽方法?(2)若5名學生爭奪4項比賽冠軍(每一名學生參賽項目不限,沒有并列冠軍),則冠軍獲得者有幾種不同情況?解:(1)每名學生都可從4項體育項目中選一項,有4種選法,故5名學生的參賽方法有44444=45=1 024(種).(2)每個冠軍皆有可能被5名學生中任1人獲得,則冠軍獲得者的不同情況有5555=54=625(種).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測方法點睛 解答這類問題,切忌死記公式“mn”和“nm”.而應弄清哪類元素必須用完,從而以它為主進行分析,再用分步乘法計數(shù)原

17、理求解.實際上,哪類元素允許重復選取,就以哪類元素的個數(shù)為冪的底數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測1.從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中,任取兩個不同的數(shù)字相加,其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)為()A.30B.20C.10D.6解析:從0,1,2,3,4,5六個數(shù)字中,任取兩個不同的數(shù)字相加,和為偶數(shù)可分為兩類,取出的兩數(shù)都是偶數(shù),共有3種取法;取出的兩數(shù)都是奇數(shù),共有3種取法.故由分類加法計數(shù)原理得,共有N=3+3=6(種)取法.答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測2.將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色,并使同一條棱的兩個端點異色,若只有4種顏色可供使用,則不同的染色方法共有()A.

18、48種B.72種C.96種D.108種解析:設四棱錐為P-ABCD.當A,C顏色相同時,先染P有4種方法,再染A,C有3種方法,然后染B有2種方法,最后染D也有2種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知,共有4322=48(種)方法;當A,C顏色不相同時,先染P有4種方法,再染A有3種方法,然后染C有2種方法,最后染B,D都有1種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知,共有43211=24(種)方法.綜上,共有48+24=72(種)方法.故選B.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測3.(2020甘肅靖遠第四中學高二期中)我校兼程樓共有5層,每層均有兩個樓梯,由一樓到五樓的走法有()A.10種B.16種C.25種D.32種解析:走法共分四步,一層到二層2種,二層到三層2種,三層到四層2種,四層到五層2種,一共24=16(種).故選B.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當