1、第3章微分方程建模方法3.1微分方程建模原理和方法3.2Newton冷卻(加熱)定律及應(yīng)用3.3車間空氣清潔問題3.4古物年代測定法3.5擲鉛球問題3.6森林救火的數(shù)學(xué)模型3.7腫瘤生長模型3.8放射性廢物的處理問題3.9人口增長預(yù)測模型3.10經(jīng)濟(jì)模型返回3.1微分方程建模原理和方法 一般來說.任何時變問題中隨時間發(fā)生變化的量與其他一些量之間的關(guān)系經(jīng)常以微分方程的形式來表現(xiàn).因此.對該類問題可用微分方程模型來描述.先來看這樣一個問題:有一容器裝有某種濃度的溶液.以流量v1注入該容器濃度為c1的同樣溶液.假定溶液立即被攪拌均勻.并以、少:的流量流出混合后的溶液.試建立反映容器內(nèi)濃度變化的數(shù)學(xué)模

2、型. 注意到 溶液濃度=溶質(zhì)質(zhì)量/溶液體積因此.容器中溶液濃度會隨溶質(zhì)質(zhì)量和溶液體積變化而發(fā)生變化.不妨設(shè)r時刻容器中溶質(zhì)質(zhì)量為s(t).初始值為s0, t時刻容器中溶液體積為V(t).初始值為V0.則在時間段t, t+ t內(nèi)有下一頁返回3.1微分方程建模原理和方法其中c1表示單位時間內(nèi)注入溶液的濃度.c2表示單位時間內(nèi)流出溶液的濃度.當(dāng)t很小時.在t, t+ t內(nèi)對式(3.1.1)兩端同除以t.令0.則有上一頁下一頁返回3.1微分方程建模原理和方法此即問題的數(shù)學(xué)模型.它雖是釗對液體溶液變化建立的.但它對氣體和固體濃度變化同樣適用.實(shí)際中.對許多的時變問題都可取微小時間段t去考察某些量與其他一

3、些量之間的變化規(guī)律.從而建立問題的數(shù)學(xué)模型.這是數(shù)學(xué)建模中微分建模常用手段之一. 通過對上述例子的了解下面介紹幾種簡單常用微分建模方法. (1)按實(shí)驗(yàn)定律或規(guī)律建立的微分方程模型. 此法建模充分依賴于各個學(xué)科領(lǐng)域中有關(guān)實(shí)驗(yàn)定律或規(guī)律以及某些重要的已知定理.如本章將要介紹的冷卻(加熱)定律、牛頓運(yùn)動定律以及放射性物質(zhì)的衰變規(guī)律等建立的微分方程模型.此法建模要求建模者必須有寬闊的知識視野才能對某些具體問題采用某些熟知的實(shí)驗(yàn)定律.經(jīng)過實(shí)踐檢驗(yàn)過的某種規(guī)律和已知定理去從事建模工作.上一頁下一頁返回3.1微分方程建模原理和方法 (2)分析微元變化規(guī)律建立的微分方程模型. 求解某些實(shí)際問題時.尋求一些微元

4、之間的關(guān)系可以建立問題的數(shù)學(xué)模型.如上述問題中考察時間微元t.從而建立的反映溶液濃度隨時間變化的模型(3. 1. 3).此建模方法的出發(fā)點(diǎn)是考察某一變量的微小變化.即微元分析.找出其他一些變量與該微元間的關(guān)系式.從微分定義出發(fā)建立問題的數(shù)學(xué)模型. (3)近似模擬法. 在許多的實(shí)際問題中.有些現(xiàn)象的規(guī)律性并非一目了然.或有所了解亦是很復(fù)雜的.這類問題常用近似模擬的方法來建立問題的數(shù)學(xué)模型.上一頁下一頁返回3.1微分方程建模原理和方法一般通過一定的模型假設(shè)近似模擬實(shí)際現(xiàn)象.將問題做某些規(guī)范化處理后建立微分方程模型.然后分析.求解再與實(shí)際問題做比較.觀察模型是否能近似刻實(shí)際現(xiàn)象.近似模擬法建模思路是

5、建立能夠近似反映或刻實(shí)際現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.因此在建模過程中.經(jīng)常做一些較合理的模型假設(shè)使問題簡化.然后通過簡化建立近似反映實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型. 當(dāng)然數(shù)學(xué)模型的建立方法不是一成不變的.在實(shí)際中要根據(jù)具體問題采用不同的建模方法才會使建模過程更簡潔.才會有新的創(chuàng)意.這也正是建模的意義之所在.因此.我們在學(xué)習(xí)過程中要勇于探索.大膽創(chuàng)新.靈活運(yùn)用建模方法.以提高自己解決實(shí)際問題的能力. 上一頁返回3.2 Newton冷卻(加熱)定律及應(yīng)用實(shí)際間題假設(shè)夏天在有空調(diào)的房間內(nèi)用溫度計(jì)測得室內(nèi)溫度為2 0 ,為了了解室外溫度.把室內(nèi)的一支讀數(shù)為20的溫度計(jì)放到室外.10min后觀察到讀數(shù)變?yōu)?5. 2 ,20 m

6、in后再觀察讀數(shù)變?yōu)?8. 32.請問你能根據(jù)溫度計(jì)的變化推算戶外溫度嗎?是否可以建立一般模型來求出戶外溫度? 思路與啟發(fā)通常我們可以從直覺上做出這樣的推理:20的溫度計(jì).70min后升溫25. 2 -20 = 5. 2 .又過10 min后.升溫為28. 32-2 5. 2 = 3. 12 .是5. 2的0. 6倍.可以想象以后每隔10 min后的升溫是前一個升溫的0. 6倍.于是得總升溫為下一頁返回3.2 Newton冷卻(加熱)定律及應(yīng)用5.2(1十0.6十0.62十0.63十)=5.21/(1-0.6) =13()則可以得到戶外溫度是20十13 =33 . 模型及求解下面我們來看這樣的

7、想法是否合理. Newton冷卻(加熱)定律把溫度為T的物體放人處于常溫為m的介質(zhì)中.T的變化速率正比于物體溫度T與周圍介質(zhì)溫度m的差. 定律的表達(dá)形式有連續(xù)型和離散型兩種.分別如下:上一頁下一頁返回3.2 Newton冷卻(加熱)定律及應(yīng)用其中.k為比例系數(shù). 對上述問題利用冷卻(加熱)定律由式(3.2.2)得 2 5.2-20= k(20-m) 28.32-25.2=k(25.2-m) (3 .2.3)解式(3.2.3)易得m=33 即戶外溫度為3 3 .由此可見.我們的直覺推理與Newton冷卻(加熱)定律相吻合.事實(shí)上.Newton冷卻(加熱)定律是我們直覺想象思想的理論化和一般化.同

8、理由式(3. 2. 1)和已知數(shù)據(jù)亦可得到戶外溫度為33. 模型應(yīng)用推廣需要注意的是Newton冷卻(加熱)定律實(shí)際是一種實(shí)驗(yàn)定律.在一定范圍內(nèi)是正確的.上一頁下一頁返回3.2 Newton冷卻(加熱)定律及應(yīng)用但在實(shí)際生活中.該定律具有較廣泛的應(yīng)用.例如當(dāng)我們把冰柜中的凍肉拿出來化凍做菜時.可以把室溫認(rèn)為不變.根據(jù)做若干次溫度測試得的估算值.就可以計(jì)算大約有多長時間能使凍肉化凍為可用的溫度.同樣夏天我們會把飲料放到冰箱中去降溫.要多長時間才能使飲料降到我們滿意的溫度呢?甚至在公安刑偵人員偵破謀殺案件時.往往需要很快估算被害者死亡時間.從而可以縮小對作案者的調(diào)查范圍.作為Newton冷卻(加熱

9、)定律的一個應(yīng)用.上一頁返回3.3車間空氣清潔問題 設(shè)車間體積為v立方米.其中有一臺機(jī)器每分鐘能產(chǎn)生r立方米的二氧化碳(CO2).為清潔車間里的空氣.降低空氣中CO2的含量.用一臺風(fēng)量為k立方米/分鐘的鼓風(fēng)機(jī)通入含CO2為m%的新鮮空氣來降低車間空氣的CO2含量.假定通入的新鮮空氣能與原空氣迅速均勻混合.并以相同的風(fēng)量排出車間.又設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開始工作時車間空氣中含x0%的CO2.問經(jīng)過r時刻后.車間空氣中CO2的百分含量為多少?最多能把車間空氣中CO2的百分比降到多少? 設(shè)t時刻(單位為分鐘)車間每立方米空氣中含CO2的百分比為x(t) %.考察時間段t, t+ t.并利用質(zhì)量守恒定律:t, t+

10、 t內(nèi)車間空氣含CO2量的“增量”等于該時間內(nèi)進(jìn)入的新鮮空氣中含CO2的量加上機(jī)器產(chǎn)生的CO2的量減去排出空氣中CO2的量. 下一頁返回3.3車間空氣清潔問題用數(shù)學(xué)模型來表示則為于是令t0.則有 其中.A=(km+r)/ V.月B= k/ V該問題的求解可用積分因子法.對式(3.3.2)兩邊同乘以eBt.可得:從0到t積分.并利用初始條件x(0) =x0.于是得式(3. 3. 2)的解為上一頁下一頁返回3.3車間空氣清潔問題該解就是所求r時刻空氣中含CO2的百分比,一般情況.xo0).則式(3.3.4)表明隨著時間無限延長.鼓風(fēng)機(jī)最大可能將車間空氣中CO2含量降到(km+ r)/ k%.上一頁

11、返回3.4古物年代測定法 利用放射性元索C14可以測定部分考古文物的年代.這是W. Libby發(fā)明的C14年齡測定法.該方法測定精度很高.3. 4. 1模型機(jī)理 地球周圍的大氣層不斷受到寧宙射線的轟擊.寧宙射線使大氣層產(chǎn)生中子.這些中子同氮發(fā)生作用產(chǎn)生C14.由于C14會發(fā)生放射性蛻變.故常稱為放射性碳.放射性碳在大氣中又結(jié)合成CO2 . CO2在大氣中運(yùn)動而被植物吸收.動物吃了植物隨之把Cl帶人動物機(jī)體組織中.在活的機(jī)體組織中攝取C14的速率與C14的蛻變速率相互平衡.然而且機(jī)體組織死亡后.則停止攝取C1.因此.C14的濃度會隨C14的蛻變而減少.下一頁返回3.4古物年代測定法3. 4. 2

12、基本物理假設(shè) 地球周圍的大氣被寧宙射線轟擊速率始終恒定不變.該假設(shè)可使我們確定木炭樣品的年齡.即利用木炭初始的蛻變速率等于現(xiàn)在對新鮮木炭測出來的蛻變速率來確定木炭樣品的年齡.3. 4. 3建立模型 設(shè)N(t)表t時刻樣品中存在的C14數(shù)量.N (t0)表T樣品形成時刻所含C14的數(shù)量,表示C14的衰變常數(shù).則有上一頁下一頁返回3.4古物年代測定法由此可以確定入=ln 2 /T 如果能測出樣品目前C14的蛻變率R (t);并注意R (t0)等于新鮮木炭中C14的蛻變率.我們就能夠測定木炭樣品的年齡. 例如.1950年在巴比倫挖掘出一根刻有Hammurabi字樣的木炭.經(jīng)測定.樣品中C14的衰減數(shù)

13、是每克每分鐘2. 09個.而新砍伐燒成的木炭中C14的衰減數(shù)為每克每分鐘6. 68個.已知C14的半衰期為T=5 568年.由此推斷刻有Hammurabi字樣的木炭的年齡.上一頁返回3.5擲鉛球問題 實(shí)際間題擲鉛球問題是一個力學(xué)問題.它的歷史背景為:運(yùn)動員推鉛球.一般是按鉛球有效投擲距離的遠(yuǎn)近來計(jì)算成績的.如何將鉛球推得更遠(yuǎn).這是運(yùn)動員所關(guān)心的.也是體育教練所關(guān)心的.生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們.在擲鉛球的過程中.投射角和初速度是兩個重要因索.那么.在運(yùn)動員的訓(xùn)練過程中.教練員應(yīng)該如何指導(dǎo)運(yùn)動員盡快提高成績呢? 思想和啟發(fā)該問題所涉及的背景知識和條件歸納起來有以下生點(diǎn): (1)運(yùn)動員的活動區(qū)域是直徑為2.

14、 135 m的圓面.所謂有效投擲是指運(yùn)動員在活動區(qū)域內(nèi).單手推出鉛球.鉛球落在合法區(qū)域之中; 下一頁返回3.5擲鉛球問題(2)為了加快推出時的速度.人體需要在圓面內(nèi)轉(zhuǎn)體; (3)鉛球投射的投射角與初速度是否有關(guān)? (生)鉛球在運(yùn)動過程中.受到空氣阻力如何? 模型假設(shè)為了使建模方便.釗對上述生點(diǎn).我們可忽略一些次要因索.作如下幾點(diǎn)假設(shè): (1)鉛球投射的投射角與投射初速度無關(guān); (2)運(yùn)動員的轉(zhuǎn)體對鉛球遠(yuǎn)近影響可以忽略; (3)鉛球在運(yùn)行過程中.空氣阻力忽略不計(jì). 模型建立及求解若令鉛球投射角為0.投射初速度為v0.運(yùn)動員的手離地面高度為h.鉛球離手的時間為r.則整個投擲過程可用如下模型來描述上

15、一頁下一頁返回3.5擲鉛球問題其中.x.y分別表示水平距離和垂直高度.g為重力加速度. 式(3.5.1)中消去時間1.可得若令y=0.則可得到水平距離x與投射角0及初速度v0之間的關(guān)系式.即 模型分析 下面我們來分析投擲效果如果取h=1. 8 m, g=9 .8m /s,投射初速度v0=11. 5 m/s.投射角0在38-25范圍內(nèi)變化.則由式(3. 53)可得到一組數(shù)據(jù).見表3.2.上一頁下一頁返回3.5擲鉛球問題 若取投射角0=41. 6.使初速度在11-12 m /s范圍內(nèi)變化.同樣可得一組數(shù)據(jù).見表3.3. 從這組數(shù)據(jù)我們會發(fā)現(xiàn)當(dāng)投射角確定時.投射初速度發(fā)生很小一點(diǎn)變化(增加1 m/

16、s).可導(dǎo)致投擲距離發(fā)生較大的變化(2. 363 m).約增加16.8%. 綜合上述分析.教練員在訓(xùn)練過程中.要提高運(yùn)動員的投擲距離.應(yīng)集中精力增加運(yùn)動員的投擲初速度. 擲鉛球問題建立模型的基礎(chǔ)實(shí)質(zhì)是牛頓運(yùn)動定律.通過對運(yùn)行中鉛球的受力分析.進(jìn)而刻了整個運(yùn)動過程.通常狀況下.反映物體機(jī)械運(yùn)動狀況.往往以牛頓運(yùn)動定律為出發(fā)點(diǎn).結(jié)合運(yùn)動和受力情況口1建立刻問題的數(shù)學(xué)模型.上一頁返回3.6森林救火的數(shù)學(xué)模型 實(shí)際間題火災(zāi)是無情的.森林作為人類賴以生存環(huán)境的一部分.經(jīng)常會受到火災(zāi)的威脅且森林出現(xiàn)火情.往往會造成極大的損失.因此在火災(zāi)發(fā)生時如何能及時撲滅成為人們所關(guān)心的問題.也就是說如何派遣消防隊(duì)員前去

17、救火能使森林損失和救援費(fèi)用之和(稱之為總費(fèi)用)最小成為至關(guān)重要的問題. 思想和啟發(fā)損失費(fèi)通常正比于森林燒毀的面積.而燒毀面積與失火、滅火(指火被撲滅)的時間有關(guān).滅火時間又取決于消防隊(duì)員數(shù)目.隊(duì)員越多滅火越快.救援費(fèi)除與消防隊(duì)員有關(guān)外.也與滅火時間長短有關(guān).記失火時刻為t=0.開始救火時刻為t=to.滅火時刻為t=t1設(shè)在時刻l森林燒毀面積為S(t),則造成損失的森林燒毀面積為S(t1).建模要對函數(shù)S(t)的形式做出合理的簡單假設(shè).下一頁返回3.6森林救火的數(shù)學(xué)模型研究dS/ dt比S(t)更為直接和方便，dS/ dt是單位時間燒毀面積，表示火勢蔓延的程度，在消防隊(duì)員到達(dá)之前，即0tt0,火

18、勢越來越大，即dS/ dt隨t的增加而增加;開始救火以后.即t0tt1.如果消防隊(duì)員救火能力足夠強(qiáng).火勢會越來小，即dS/ dt應(yīng)減小，并且當(dāng)t=t1時，dS/ dt=0. 救援費(fèi)可分為兩部分;一部分是滅火器材的消耗及消防隊(duì)員的薪金等.與隊(duì)員人數(shù)及滅火所用的時間有關(guān).另一部分是運(yùn)送隊(duì)員和器材等一次性支出.只與隊(duì)員人數(shù)有關(guān). 模型假設(shè)需要對燒毀森林面積的損失費(fèi)、救援費(fèi)及火勢蔓延程度dS/ dt的形式做出假設(shè). (1)損失費(fèi)與森林燒毀面積S (t1)成正比.比例系數(shù)c1.c1即燒毀單位面積損失費(fèi).上一頁下一頁返回3.6森林救火的數(shù)學(xué)模型 (2)從失火到開始救火這段時間(0tt0)火勢蔓延速度降為a

19、-xx.其中入為每個隊(duì)員的平均滅火速度.顯然應(yīng)有axx. (1)派出每個消防隊(duì)員單位時間的費(fèi)用(薪金、裝備費(fèi)等)為c2于是每個隊(duì)員的救火費(fèi)用是c2( t1- t0);每個隊(duì)員的一次性開支為、. 第二條假設(shè)可做如下解釋:火勢以失火點(diǎn)為中心.以均勻速度向四周呈圓形蔓延.所以蔓延的半徑r與時間t成正比.又因?yàn)闊龤娣eS與r2成正比.故S與r2成正比從而dS/ dt與t成正比模型建立及求解由假設(shè)總費(fèi)用 C(x)=c1 S(t1)+ c2x (t1- t0)+ c3 x (3.6.1)上一頁下一頁返回3.6森林救火的數(shù)學(xué)模型根據(jù)假設(shè)條件(1),(4)森林損失費(fèi)為c1S (t1).救援費(fèi)為c2( t1 -

20、t0)+c3 x將式(3. 6. 2 )、式(3. 6. 3)代入式(3. 6. 1)則有上一頁下一頁返回3.6森林救火的數(shù)學(xué)模型問題歸結(jié)為求x使C(x)達(dá)到最小.令C(x) =0，可求得使總費(fèi)用最小時的消防隊(duì)員人數(shù) 而由式(3. 6. 2)則有:limC(x)=0.事實(shí)上.這和實(shí)際情況不符合.當(dāng)消防人員減少時.撲滅火的時間實(shí)際應(yīng)該越長.因而由火災(zāi)所造成的損失費(fèi)用也應(yīng)該越多.而上述模型末能反映這些實(shí)際情況.故尚需做進(jìn)一步的改進(jìn). 再建數(shù)學(xué)模型為了得到新的模型.我們假設(shè)火勢是從某中心開始沿著著火區(qū)域的半徑廠以勻速呈輻射狀向外蔓延.則整個著火區(qū)域呈環(huán)形向外蔓延.故當(dāng)0t t0時dr/ dt= a再

21、假設(shè)每個消防隊(duì)員以常速;阻止火的蔓延。當(dāng)t0 t t1時.有dr/ dt=a- xx (t- t0) (3 .6.5)上一頁下一頁返回3.6森林救火的數(shù)學(xué)模型上一頁下一頁返回3.6森林救火的數(shù)學(xué)模型 由式(3. 6. 6)及式(3. 6. 9)則有:lim t1 =t0 , limt1 = limC (x)= , limC (x)= .此生種極限式說明.當(dāng)派遣消防隊(duì)員人數(shù)無限增多時.火很快會被撲滅.但對每個消防隊(duì)員的支付費(fèi)用之和仍是很大的;當(dāng)消防隊(duì)員人數(shù)很少時.雖支付給消防隊(duì)員的費(fèi)用較小.但燒毀大面積森林.同樣會造成不可估量的損失.由此.模型與實(shí)際基本吻合.式(3. 6. 10)是一個三次多項(xiàng)

22、式.可利用多項(xiàng)式的求根公式求得其解.從而可得出應(yīng)派消防隊(duì)員的最佳人數(shù).進(jìn)而也可求出火被撲滅后的總體損失費(fèi)用.上一頁下一頁返回3.6森林救火的數(shù)學(xué)模型 模型檢驗(yàn)當(dāng)然模型(3.6.9)在建立過程中沒有考慮風(fēng)的影響.即模型(3.6.9)是在無風(fēng)的情況下建立的.在有風(fēng)情況下.只要注意到:此時火勢是呈扇形向外蔓延.而救火的方法則可以是在火勢的前方打一通道.使火勢蔓延到此為止.從而可達(dá)到滅火的目的.一般來說只要選擇合適的通道位置.使其滿足通道打好的時間正是火勢蔓延到的時間.這樣也可得到與式(3. 6.助類似的目標(biāo)函數(shù).最終化為式(3. 6. 10)的形式求得最優(yōu)解.這樣在有風(fēng)和無風(fēng)情況下救火方式可以化為同

23、樣的數(shù)學(xué)處理方法.上一頁返回3.7腫瘤生長模型 實(shí)際間題腫瘤是危害人類健康的嚴(yán)重疾病之一.目前已發(fā)現(xiàn)的癌癥共有200多種之多它們的成因與發(fā)展規(guī)律都各不相同.據(jù)統(tǒng)計(jì).我國每年新患癌癥人數(shù)大約有160萬.每年因患癌癥而死亡的人數(shù)達(dá)到130多萬.約占死亡人數(shù)總量的1/5.在0-62歲的人口中.每死亡5人.其中即有一人死于癌癥.在城市人口中.癌癥已占死亡原因的首位. 思想和啟發(fā)為了對付癌癥.人們采用各種途徑對其開展研究.其中也包括利用建立數(shù)學(xué)模型的方法來研究.腫瘤模型首先要描述的是腫瘤大小隨時間而增長的函數(shù)關(guān)系.該函數(shù)關(guān)系應(yīng)當(dāng)滿足以下要求: (1)對腫瘤增長速度的預(yù)測應(yīng)具有一定的精度或與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有較好

24、的擬合. (2)適用范圍廣.腫瘤雖有不同的類型.且不同類型的腫瘤發(fā)展速度可有很大的區(qū)別.下一頁返回3.7腫瘤生長模型即使是同一類型的腫瘤.不同個體也可有較大的差異.但模型在應(yīng)用于某類腫瘤時.應(yīng)能較好地反映出此類腫瘤的平均發(fā)展情況. (3)參數(shù)應(yīng)當(dāng)盡可能少.且參數(shù)易于測得. 隨著人們腫瘤生長研究的逐步深入.相關(guān)的數(shù)學(xué)模型也越來越多.然而.總的來講.對腫瘤生長模型的研究目前還只能說是尚處于初等階段.還有很多不盡如人意之處有待于進(jìn)一步改進(jìn).本節(jié)介紹的只是其中少數(shù)幾個模型.介紹它們的目的是展不一下人們是怎樣運(yùn)用數(shù)學(xué)知識來和疾病作斗爭的.模型雖然初等.但研究結(jié)果對臨床應(yīng)用已經(jīng)有了一定的參考價值. 模型1

25、(指數(shù)模型) 模型假設(shè)設(shè)腫瘤體積變化率與腫瘤當(dāng)前的體積成正比.上一頁下一頁返回3.7腫瘤生長模型 模型建立及求解設(shè)腫瘤體積為V(t).自然增長率為常數(shù)入.從時刻t0開始觀察.記V(t0)=V0.則有解微分方程(3.7.1)可得 此即腫瘤生長的指數(shù)式數(shù)學(xué)模型.即Malthu、模型.根據(jù)Malthu、模型的特征.腫瘤體積增大一倍所需的時間是一個常數(shù)K.K是腫瘤生長的一個重要參數(shù).該模型只適于描述腫瘤旱期的生長過程.隨著時間的增大.即當(dāng)t,V(t).實(shí)際上這是不可能的.因?yàn)楫?dāng)V (t)足夠大時.人體就會被破壞致死.上一頁下一頁返回3.7腫瘤生長模型 模型醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用對研究腫瘤生長具有較大意義的是腫瘤

26、體積V(t)倍增時間E.如果測得某一腫瘤具有恒定不變的倍增時間E.將t=E.代入式(3. 7. 2 ).并令t0=0.即有臨床上常用式(3. 7. 4 )推算腫瘤大小. E是一個重要參數(shù).它的臨床意義可概述如下: (l有助于分析腫瘤的性質(zhì)和類型.如Nathan等人收集的177例原發(fā)性(或繼發(fā)性)肺部惡性腫瘤.發(fā)現(xiàn)E 7天.465天.如果E465.則可能為良性腫瘤. (2)有助于分析預(yù)備.對可做手術(shù)的原發(fā)性肺癌. F.越長腫瘤存活時間也越長.上一頁下一頁返回3.7腫瘤生長模型 (3)引出腫瘤旱期診斷的概念. 所謂旱期診斷就是要在無癥狀的臨床前期內(nèi)盡旱診斷出來. 這里.暫且不管上述結(jié)論是否正確.但

27、可以看出.醫(yī)學(xué)工作者已經(jīng)開始試圖將腫瘤增倍時間作為一個參數(shù)用于腫瘤的診斷和治療.隨著人們對腫瘤認(rèn)識的不斷加深.通過這種努力.也許真的有一天.人們會獲得成功.從大堆的數(shù)據(jù)中破譯出有助于攻克癌癥的有用信息來. 例3. 3(及早發(fā)現(xiàn)及早治療的重要性) 一個癌細(xì)胞的直徑約為10 um重約0. 001ug.按指數(shù)增長模型惡性腫瘤由初始形成到臨床上可檢測出的直徑1cm腫塊約需經(jīng)過30次倍增.而從直徑1 cm到置人于死命的1 kg重的癌癥腫塊.體積約增大1 000倍.上一頁下一頁返回3.7腫瘤生長模型只需經(jīng)10次倍增.這說明.癌癥在發(fā)現(xiàn)前的平均增長期約為發(fā)現(xiàn)后的平均存活期的3倍.故及旱發(fā)現(xiàn)及旱治療在癌癥診治

28、中起著至關(guān)重要的作用. 由于劑量過大.則毒性太大.病人身體將難以承受.故在實(shí)際進(jìn)行放療時總會分成若干個療程.在兩個療程之間則會留下一個恢復(fù)期.讓病人的免疫功能得以恢復(fù).放療的實(shí)際治療效果與病人體內(nèi)原有的腫瘤細(xì)胞數(shù)、每次治療時的劑量(即幾個對數(shù)殺滅)、兩次放療間的間隔時間以及腫瘤本身的生長速度都有關(guān)系.對每一個病人究競應(yīng)采用怎樣的治療方法才能達(dá)到最好的治療效果.雖不是什么重要的理論研究課題.卻是一個如何在最大程度上達(dá)到救死扶傷目的的應(yīng)用型課題.相信任何一個病人都不會認(rèn)為這是無所謂的事情.從基于對數(shù)模型的例3. 3和例3.生可以看出:上一頁下一頁返回3.7腫瘤生長模型 (1)癌癥的醫(yī)治必須堅(jiān)持及旱

29、發(fā)現(xiàn)及旱治療的原則.旱期癌細(xì)胞少.用放療將體內(nèi)癌細(xì)胞降到10個以下較易辦到.對身體的傷害也較小(因?yàn)槭褂梅暖煹目倓┝枯^小). (2)在病人可以承受的前提下.每一療程的用藥量應(yīng)盡可能大(用較大的對數(shù)殺滅). (3)每次的劑量確定以后.兩次放療間的間隔時間應(yīng)精確計(jì)算(間隔期間中免疫能力得以恢復(fù).但腫瘤也將恢復(fù)增長).在病人可承受的前提下.間隔時間應(yīng)盡量短些.尤其對倍增時間較短的腫瘤更應(yīng)如此. (4)放療結(jié)束后.病人體內(nèi)一般仍殘存有一定數(shù)量的癌細(xì)胞(并非所有病人都明白這一點(diǎn)).雖然病人自身的免疫功能有可能殺滅殘存的癌細(xì)胞.但殘存的癌細(xì)胞也有恢復(fù)增長的可能.上一頁下一頁返回3.7腫瘤生長模型病人切不可

30、認(rèn)為已經(jīng)得到了根治.可以萬事大吉了.還應(yīng)當(dāng)定期進(jìn)行檢查.觀察體內(nèi)腫瘤究競在向哪一方向發(fā)展.千萬不可麻痹大意. 模型2 ( Gompertz數(shù)學(xué)模型) 指數(shù)式模型比較適合于描述腫瘤旱期生長情況.然而當(dāng)t, V(t).這是不切合實(shí)際的.事實(shí)上.隨著時間r的增長.V(t)的自然變化率入必然會減少.口1假設(shè)入是t的函數(shù).記為(t).并設(shè)(t)的變化率與(t)成正比.即有上一頁下一頁返回3.7腫瘤生長模型上一頁下一頁返回3.7腫瘤生長模型 模型3(腫瘤增長的Logistic模型) 由于人體能供給腫瘤生長的營養(yǎng)是有限的.因此.腫瘤在自然生長過程中.會受到自身的環(huán)境阻力.由此我們可以用如下的Logistic

31、模型來描述腫瘤生長過程:解式(3. 7.9).可得上一頁下一頁返回3.7腫瘤生長模型模型4 ( Bertalanffy模型)1960年Bertalanffy在以下假設(shè)下建立了另一模型模型假設(shè)(1)腫瘤生長率=合成代謝率-分解代謝率;(2)腫瘤近似于球體.合成代謝率與V (t) 2/3下成正比;(3)總的體積消耗率(即分解代謝率的表征)與V(t)成正比由假設(shè)(1)-(3).則有將式(3. 7. 12)代入式(3. 7. 11)得 du/ dt +b/3u= a/3 (3. 7. 13)解式(3. 7. 13)易得上一頁下一頁返回3.7腫瘤生長模型上一頁下一頁返回3.7腫瘤生長模型 以上介紹的只是

32、最簡單的幾個腫瘤模型.事實(shí)上.腫瘤生長的機(jī)理極為復(fù)雜.例如.由于營養(yǎng)供應(yīng)不足.當(dāng)腫瘤體積達(dá)到一定程度時.其核心部位會發(fā)生壞死現(xiàn)象.此外.許多現(xiàn)象我們還無法解釋或尚末發(fā)現(xiàn).隨著醫(yī)學(xué)研究的日益深入.新的腫瘤模型將會不斷誕生.有些模型甚至?xí)跀?shù)學(xué)上無法求解.這也為數(shù)學(xué)本身提供了新的研究課題.人們對腫瘤的認(rèn)識是與日俱增的.我們完全有理由相信.旱晚有一天.人們會找到控制癌癥增長的辦法.并最終攻克難關(guān).想出治愈癌癥的良策.到那時.癌癥將不再是不治之癥.而人們也就不必再“談癌色變了”.上一頁返回3. 8放射性廢物的處理問題實(shí)際間題環(huán)境污染是人類面臨的一大公害.放射性污染對人類生命安全和地球上生物的生存有嚴(yán)重

33、的威脅.所以特別為人們所關(guān)注.和平利用原子能.為人類造福不淺.但是核廢物處置不好.又將對人類是一大危.玲.核廢物如何處置為好.必須進(jìn)行科學(xué)論證. 曾經(jīng)有一段時間.美國原子能委員會為了處理濃縮的放射性廢物.他們把廢物裝人密封的圓桶.然后扔到水深為91.5m的海里.一些生態(tài)學(xué)家和科學(xué)家為此表示擔(dān)心.圓桶是否會在運(yùn)輸過程中破裂而造成放射性污染?美國原子能委員會向他們保證:“圓桶絕不會破裂”.并做了許多種試驗(yàn)證明他們的說法是正確的.然而又有幾位工程師提出了這樣的問題:圓桶扔到海洋中時是否會因與海底碰撞而發(fā)生破裂?美國原子委員會仍保證說:“決不會”.下一頁返回3. 8放射性廢物的處理問題這幾個工程師進(jìn)行

34、了大量的實(shí)驗(yàn)以后發(fā)現(xiàn):當(dāng)圓桶的速度超過12. 2 m/s.就會因碰撞而破裂. 思想和啟發(fā)究競誰的意見正確呢?看來只好讓事實(shí)說話了.問題的關(guān)鍵在于圓桶到底能承受多大速度的碰撞.圓桶和海底碰撞時的速度到底有多大?即圓桶同海底碰撞時的速度.是否會超過12. 2 m/s? 建立模型如圖3. 1選取坐標(biāo)系.記W表示圓桶重量.使圓桶向下.W=239.46 N, W=mg, m表T質(zhì)量g表重力加速度.g=9. 8 m/s2. B表示水作用在圓桶上的浮力.推圓桶向上.原子能委員會使用的是250. 25 I的圓桶.體積為0. 2 0 8 m3 , 1 m海水的重量為1 026. 52 N,所以B=1 026.

35、52 x 0.208=213. 5 N.上一頁下一頁返回3. 8放射性廢物的處理問題 B表示水作用在圓桶上的阻力.它阻礙圓桶在水中的運(yùn)動.與物體運(yùn)動方向相反.通常與速度、少成正比.即D=cv ,c0為常數(shù)通過大量實(shí)驗(yàn)得出結(jié)論:圓桶方位對于阻力影響甚小.可以忽略不計(jì).且c=0. 119 kg/ s.則作用在圓桶上的力為F=W - B- cv由牛頓第二定律:物體的加速度同作用在它上面的合力F成正比.即求解與分析 這是二階常微分方程.作代換上一頁下一頁返回3. 8放射性廢物的處理問題由式(3.8.3)知圓桶的速度為時間t的函數(shù).要確定圓桶同海底的碰撞速度.就必須算出圓桶碰到海底所需的時間t,遺憾的是

36、.不可能作為y的顯函數(shù)求出t.所以不能用方程(3. 8. 3)來求圓桶同海底的碰撞速度.上一頁下一頁返回3. 8放射性廢物的處理問題 模型檢驗(yàn)這一模型科學(xué)地論證了美國原子能委員會過去處理核廢料的方法是錯誤的.從而改變了美國政府過去的錯誤做法.現(xiàn)在美國原子能委員會條例明確禁止把低濃度的放射性廢物拋到海里.改為在一些廢棄的煤礦中修建放置核廢料的深井.這一模型為全世界其他國家處理核廢料提供了經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn).我國政府決定在甘肅、廣西等地修建3個深井放置核廢料.防止放射性污染.上一頁返回3. 9人口增長預(yù)測模型實(shí)際間題人類社會進(jìn)入20世紀(jì)以來.在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)力飛速發(fā)展的同時.世界人口也以空前的規(guī)模增長.統(tǒng)計(jì)

37、數(shù)據(jù)見表3.4.由表3.4可知.世界人口每增加10億的時間由100年縮短為十二三年.人類賴以生存的地球已經(jīng)攜帶著它的60億子民進(jìn)入了21世紀(jì). 長期以來.人類的繁殖一直在自發(fā)地進(jìn)行著.只是由于人口數(shù)量的迅速膨脹和環(huán)境質(zhì)量的急劇惡化.人們才猛然醒悟.開始研究人類和自然的關(guān)系、人口數(shù)量的變化規(guī)律.以及如何進(jìn)行人口控制等問題. 認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律.建立人口模型.做出較準(zhǔn)確的預(yù)報.是有效控制人口增長的前提.長期以來人們在這方面做了不少工作.下面介紹兩個最基本的人口模型.并利用表3.5給出的近兩個世紀(jì)的美國人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).對模型做檢驗(yàn).下一頁返回3. 9人口增長預(yù)測模型模型1人口指數(shù)增長模型(馬爾薩斯

38、人口模型)最簡單的人口增長模型是:記今年人口為x0.k年后人口為xk.年增長率為r.則xk= x0(1十r)k ,k=1 ,2,.(3 .9.1)顯然.這個公式的基本假設(shè)條件是年增長率廠保持不變. 思想和啟發(fā)二百多年前英國人口學(xué)家馬爾薩斯(Malthus, 1766-1832)調(diào)查了英國一百多年的人口統(tǒng)計(jì)資料.得出了人口增長率不變的假設(shè).并據(jù)此建立了著名的人口指數(shù)增長模型. 模型建立及求解記時刻t的人口為x(t).當(dāng)考察一個國家或一個較大地區(qū)的人口時.x(t)是一個很大的整數(shù).為了利用微積分這一數(shù)學(xué)工具.將x(t)視為連續(xù),微函數(shù).記初始時刻(t=0)的人口為x0.假設(shè)人口增長率為常數(shù)r.即單

39、位時間內(nèi)x(t)的增量等于r乘以x(t).考慮t到t十t時間內(nèi)人口的增量.顯然有上一頁下一頁返回3. 9人口增長預(yù)測模型x( t 十t) -x(t) = rx (t)t令t-0取極限.得到x(t)滿足的微分方程dx/ dt=rx, x(0)=x0 (3 .9.2)由方程(3. 9. 2)很容易解出x(t)= x0 e (3 .9.3)當(dāng)r0時.式(3. 9. 3)表示人口將按指數(shù)規(guī)律隨時間無限增長.因此.式3. 9. 3)稱為人口指數(shù)增長模型.也稱為馬爾薩斯人口模型. 由微分學(xué)的理論知.當(dāng)/r/0.s0) (3 .9.8)上一頁下一頁返回3. 9人口增長預(yù)測模型這里r稱為固有增長率.表示人口很

40、少時(理論上是x=0)的增長率.為了確定系數(shù)s的意義.引入自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量xm.稱為人口容量.當(dāng)x=xm時人口不再增長.即增長率r (xm)=0.代入式(3. 9. 8)得s=r/ xm .于是式(3. 9. 8)化為r(x)=r (1- x/ xm) (3 .9.9)式(3.9.9)的另一種解釋是:增長率r(x)與人口尚末實(shí)現(xiàn)部分的比例(xm- x)/xm成正比.比例系數(shù)為固有增長率r. 將式(3.9.9)代入方程(3. 9. 7 )得dx/ dt=rx (1-x/ xm), x(0) =x0 (3.9.10)上一頁下一頁返回3. 9人口增長預(yù)測模型方程(3. 9.

41、10)右端因子rx體現(xiàn)人自身的，曾長趨勢因子(1-x/ xm)則體現(xiàn)了資源和環(huán)境對人口增長的阻滯作用.顯然二越大.前一因子越大.后一因子越小.人口增長是兩個因子共同作用的結(jié)果.方程(3. 9. 10)稱為人口阻滯增長模型也稱為Logistic模型. 用分離變量法解方程(3.9.10)得方程(3.9.10)和模型(3. 9. 11)的圖形見圖3. 2和圖3. 3.圖3. 3是一條S形曲線一的增加是先快后慢當(dāng)t時xxm 拐點(diǎn)在x= xm /2處 模型檢驗(yàn)下面我們應(yīng)用人口阻滯增長模型(3.9.11)對美國人口的增長進(jìn)行預(yù)測.上一頁下一頁返回3. 9人口增長預(yù)測模型 由于模型(3.9.11)不能線性化

42、.因此不能運(yùn)用線性回歸分析理論進(jìn)行參數(shù)估計(jì).所以不采用式(3. 9.11).而是將方程(3. 9. 10)表為dx/ xdt= r- sx, s=r/xm (3 .9.12)令y=dx / x dt則式(3.9.12)線性化為y=r -sx (3 .9.13)由表3. 5可以直接得到二的數(shù)據(jù).而y的數(shù)據(jù)口1根據(jù)表3. 5中數(shù)據(jù)運(yùn)用數(shù)值微分的方法算出.在此基礎(chǔ)上.應(yīng)用線性回歸分析的理論即可估計(jì)出模型(3. 9. 7 3)中參數(shù)r和xm.而模型(3. 9. 7 3)中參數(shù)r和xm的估計(jì)值.也是模型(3.9.11)中參數(shù)r和xm的估計(jì)值. 運(yùn)用上述方法.并且僅利用表3. 5中1860年至1990年的數(shù)據(jù).建立了對美國人口的增長進(jìn)行預(yù)測的數(shù)學(xué)模型.即上一頁下一頁返回3. 9人口增長預(yù)測模型其中.x的單位為百萬人.t的單位為10年.結(jié)果見表3. 7 由表3. 7可見.用預(yù)測模型(3.9.1生)對美國近兩個世紀(jì)人口的增長進(jìn)行模擬計(jì)算.除了19世紀(jì)中葉到20世紀(jì)中葉的擬合效果不很好外.其余部分?jǐn)M合