1、高考概率與統(tǒng)計9個考點解析概率與統(tǒng)計試題是高考的必考內(nèi)容。它是以實際應(yīng)用問題為載體，以排列組合和概率 統(tǒng)計等知識為工具，以考查對五個概率事件的判斷識別及其概率的計算和隨機變量概率分 布列性質(zhì)及其應(yīng)用為目標(biāo)的中檔師，預(yù)計這也是今后高考概率統(tǒng)計試題的考查特點和命題 趨向。下面對其常見題型和考點進行解析?？键c1 考查等可能事件概率計算在一次實驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等。如果事件A包含的Z果有 m個，那么P (A)=。這就是等可能事件的判斷方法及其概率的計 n算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的計算方法以及分析和解決實際 問題的能力。例1 (2004天津)

2、從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽.(I)求所選3人都是男生的概率；(II)求所選3人中恰有1名女生的概率；(III)求所選3人中至少有1名女生的概率.考點2 考查互斥事件至少有一個發(fā)生與相互獨立事件同時發(fā)生概率計算不可能同時發(fā)生的兩個事件A、B叫做互斥事件，它們至少有一個發(fā)生的事件為A+B用概率的加法公式 P(A + B) =P(A) + P(B)計算。事件A (或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，則A、B叫做相互獨立事件，它們同時發(fā)生的事件為 A Bo用概率的法公式 P(A E)=P(A1P(B )計算。高考常 結(jié)合考試競賽、上網(wǎng)工作等問題對這兩個事件的識別及其概率的

3、綜合計算能力進行考查。例2. (2005全國卷出)設(shè)甲、乙、丙三臺機器是否需要照顧相互之間沒有影響。已知在某一小時內(nèi)，甲、乙都需要照顧的概率為 0.05,甲、丙都需要照顧的概率為 0.1,乙、丙都需要照顧的概率為 0.125,(I)求甲、乙、丙每臺機器在這個小時內(nèi)需要照顧的概率分別是多少；(n)計算這個小時內(nèi)至少有一臺需要照顧的概率考點3考查對立事件概率計算必有一個發(fā)生的兩個互斥事件A、B叫做互為對立事件。即 B =入或A = B。用概率的減法公式 P (A ) = 1 - P A j計算其概率。高考常結(jié)合射擊、電路、交通等問題對對立事件的判斷識別及其概率計算進行考查。1 - 2例3.(200

4、5福建卷文)甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為一與一.25(I)甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求恰好命中一次的概率；(n)甲、乙兩人在罰球線各投球二次，求這四次投球中至少一次命中的概率考點4考查獨立重復(fù)試驗概率計算若在n次重復(fù)試驗中，每次試驗結(jié)果的概率都不依賴其它各次試驗的結(jié)果，則此試驗叫做n次獨立重復(fù)試驗。 若在1次試驗中事件 A發(fā)生的概率為P,則在n次獨立懲處試驗 中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k )=C：Pk(1 P)n。高考結(jié)合實際應(yīng)用問題考查n次獨立重復(fù)試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率的計算方法和化歸轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。例4. (2005湖北卷)某會議室用5盞

5、燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號相同.假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān)，該型號的燈泡壽命為1年以上的概率為P1,壽命為2年以上的概率為P2.從使用之日起每滿1年進行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈 泡，平時不換.(I)在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；(n)在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，求該盞燈需要更換燈泡的 概率；(出)當(dāng)P1=0.8, P2=0.3時，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換4只燈泡的概率(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字).考點5考查隨機變量概率分布與期望計算解決此類問題時，首先應(yīng)明確隨機變量可能取哪些值，然后按照相互獨立事件同

6、時發(fā) 生概率的法公式去計算這些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根據(jù)分布列和期望、 方差公式去獲解。以此考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念和運用概率知識解決 實際問題的能力。例5. (2005湖北卷)某地最近出臺一項機動車駕照考試規(guī)定；每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機會，一旦某次考試通過，使可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止。如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6, 0.7, 0.8, 0.9,求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)工的分布列和X的期望，并求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率 .考點6考查隨機變量概率分布列與其他知識點結(jié)合1考查隨

7、機變量概率分布列與函數(shù)結(jié)合例6. (2005湖南卷)某城市有甲、乙、丙 3個旅游景點，一位客人游覽這三個景點的概率 分別是0.4, 0.5, 0.6,且客人是否游覽哪個景點互不影響，設(shè) E表示客人離開該城市時游 覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值(I )求E的分布及數(shù)學(xué)期望；(n)記函數(shù)f(x) = x23E x+1在區(qū)間2, +oo )上單調(diào)遞增”為事件 A,求事件A的概率.2、考杳隨機變.量概率分布列與數(shù)列結(jié)合例7甲乙兩人做射擊游戲，甲乙兩人射擊擊中與否是相互獨立事件，規(guī)則如下：若 射擊一次擊中，原射擊者繼續(xù)射擊，若射擊一次不中，就由對方接替射擊。已知甲乙兩人射擊一次擊中的概率均為

8、7 ,且第一次由甲開始射擊。8(1)求前4次射擊中，甲恰好射擊 3次的概率。(2)若第n次由甲射擊的概率為 an ,求數(shù)列aj的通項公式；求lim an ,并說明極 n F -限值的實際意義。3、考查隨機變量概率分布列與線形規(guī)劃結(jié)合例8 （2005遼寧卷）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果 相互獨立，每道工序的加工結(jié)果均有 A、B兩個 等級.對每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級時，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品.（I）已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級的概率如表一所示，分別求生產(chǎn) 出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲、Pg（n）已知一件產(chǎn)

9、品的利潤如表二所示，用E、Y）分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤，在（I） 的條件下，求E、刀的分布列及E E、Er;最大？最大值是多少?（解答時須給出圖示）（出）已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資 金額如表三所示.該工廠有工人40名，可用資金 60萬元.設(shè)x、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量， 在（II）的條件下，x、y為何值時，z=xE：+yE考點7考查隨機變量概率分布列性質(zhì)應(yīng)用 設(shè)離散型隨機變量的分布列為XiXz-xi-PPiP2-Pi-它有下面性質(zhì)： Pi -0（i -1,2,）P1 +p2 + Pi +=1,即總概率為1;期望 eM =x1Pl +xF +；方差 D： = (x1 E*)2Pl

10、+(Xj E：)2P + 離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和高考常結(jié)合應(yīng)用問題對隨機變量概率分布列及其性質(zhì)的應(yīng)用進行考查.a例9 （2004年湖北局考題）設(shè)隨機變量的概率分布為p（ = k）=F a為常數(shù)，k=1,2,，則a=例10（2004年全國高考題）某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回 答正確得100分，回答不正確得100分.假設(shè)這名同學(xué)每題回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響 .求這名同學(xué)回答這三個問題的總得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望求這名同學(xué)總得分不為負分（即之之0）的概率.例11 （2002年天津高考題

11、）甲、乙兩種冬小麥試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2）:品種第1年第Z年第3年第4年第U年甲9,10.：1D10.2乙9. 41 0.313. 89. 79.8其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是 考點8樣本抽樣識別與計算簡單隨機抽樣，系統(tǒng)抽樣，分層抽樣得共同特點是不放回抽樣，且各個體被抽取得概率相 等，均為（N為總體個體數(shù),n為樣本容量）.系統(tǒng)抽樣，分層抽樣的實質(zhì)分別是等距抽樣與按比 例抽樣，只需按照定義，適用范圍和抽中步驟進行，就可得到符合條件的樣本.高考常結(jié)合應(yīng) 用問題，考查構(gòu)照抽樣模型，識別圖形，搜集數(shù)據(jù)，處理材料等研究T學(xué)習(xí)的能力.例12 （2005年湖北湖北高考題）

12、某初級中學(xué)有學(xué)生 270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項調(diào)查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1, 2,，270;使用系統(tǒng)抽樣時，將學(xué)生統(tǒng)一隨機編號 1, 2,，270,并將整個編號依次分為 10段.如果抽得號碼有下列四種情況：7, 34, 61, 88, 115, 142, 169, 196, 223, 250;5, 9, 100, 107, 111, 121 , 180, 195, 200, 265;11, 38, 65, 92, 119, 146, 173,

13、200, 227, 254;30, 57, 84, 111, 138, 165, 192, 219, 246, 270;關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是（）A.、都不能為系統(tǒng)抽樣B.、都不能為分層抽樣C.、都可能為系統(tǒng)抽樣D.、都可能為分層抽樣例13 （2005年湖南高考題）一工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品 16800件，它們來自甲.乙.丙 3條生產(chǎn)線，為檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進行抽樣，已知甲.乙.丙三條生產(chǎn)線抽取的個體數(shù)組成一個等差數(shù)列，則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了 件產(chǎn)品.考點9考查直方圖。例14. （2005江西卷）為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情 況

14、，得到頻率分布直方圖，如右，由于不慎將部 分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為a,視力在4.6至ij 5.0之間的學(xué)生數(shù)為 b,則a, b的值 分別為（）A . 0,27,78B, 0,27,83C. 2.7,78D, 2.7,83.滿分例1 (2004天津)本小題考查等可能事件的概率計算及分析和解決實際問題的能力 12分.(I)解：所選3人都是男生的概率為C1C23(II)解：所選3人中恰有1名女生的概率為24 =-.C35(III)解：所選3人中至少有1名女生的概率為c2c2 + c；c4C2. (2005全國卷出)解：(I)記甲、乙、丙三臺機器在

15、一小時需要照顧分別為事件A、B、C,1分則A、B、C相互獨立，由題意得：P (AB ) =P (A) P (B) =0.05P (AC) =P (A) P (C) =0.1 TOC o 1-5 h z P (BC) =P (B) P (C) =0.125 4分解得：P (A) =0.2; P (B) =0.25; P (C) =0.5所以，甲、乙、丙每臺機器在這個小時內(nèi)需要照顧的概率分別是0.2、0.25、0.56分(n) A、B、C相互獨立，A BC相互獨立， 7分，甲、乙、丙每臺機器在這個小時內(nèi)需都不需要照顧的概率為P(A B C) =P(A)P(B)P(C)=0.8M0.75M0.5 =

16、 0.3 10分這個小時內(nèi)至少有一臺需要照顧的概率為p=1-P(A B C)= 10.3 =0.712分A, “乙投一次命例3. (2005福建卷文)解：(I)依題意，記“甲投一次命中”為事件 中”為事件B,則12-1-3P(A) =/P(B) =，P(A) =/P(B)=2525甲、乙兩人在罰球線各投球一次，恰好命中一次的概率為91 00(n) ,事件甲、乙兩人在罰球線各投球二次均不命中”的概率為”2，甲、乙兩人在罰球線各投球兩次至少有一次命中的概率P =1 P =1 一910091100答：甲、乙兩人在罰球線各投球二次，至少有一次命中的概率為91100甲、乙兩人各投球一次，恰好命中一次”的

17、事件為A B A B TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark40 o Current Document -13 121 HYPERLINK l bookmark42 o Current Document .P(A B A B) = P(A B) P(A B). HYPERLINK l bookmark44 o Current Document 2 5 2 52例4. (2005湖北卷)解：(I)在第一次更換燈泡工作中，不需要換燈泡的概率為p5,需要更換2只燈泡的概率為C 232C5 P1 (1 - P1)；(II)對該盞燈來說，在第 1、2次都更換了燈泡的概率為(

18、1-P1)2;在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為P1(1-P2),故所求的概率為P =(1 - P1)P1(1 - P2)；(III)至少換4只燈泡包括換5只和換4只兩種情況，換5只的概率為P5 (其中P為(ii)中所求，下同)換 4只的概率為c5p4 (1-P),故至少換4只燈泡的概率為P3 =p5 +c5p4(1 -p).又當(dāng) P1 =0.8, p2 =0.3時，p=0.22 0.8 0.7 =0.6.p3 =0.65 5 0.64 0.4 =0.34.即滿2年至少需要換4只燈泡的概率為0.34.例5. (2005湖北卷)解：的取值分別為1, 2, 3, 4.且=1 ,表明李

19、明第一次參加駕照考試就通過了，故 P (且=1 ) =0.6.之=2,表明李明在第一次考試未通過，第二次通過了，故P( =2) =(1 -0.6) 0.7 =0.28.E =3,表明李明在第一、二次考試未通過，第三次通過了，故P( =3) =(1 -0.6) (1 -0.7) 0.8 =0.096.七=4,表明李明第一、二、三次考試都未通過，故P( =4)=(1 -0.6) (1 -0.7) (1 -0.8)=0.024.李明實際參加考試次數(shù)E的分布列為1234P0.60.280.0960.024E 的期望 EE =1 X 0.6+2 0.28+3X0.096+4X0.024=1.544.李明

20、在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率為1 -(1 -0.6)(1 0.7)(1-0.8)(1 - 0.9)=0.9976.例6. (2005湖南卷)解：(I)分別記“客人游覽甲景點”，“客人游覽乙景點”，“客人游覽丙景點”為事件 A1, A2, A3.由已知 A1, A2, A3相互獨立，P (A1)=0.4, P (A2) =0.5,P (A3)=0.6.客人游覽的景點數(shù)的可能取值為0, 1, 2, 3.相應(yīng)地，客人沒有游覽的景點數(shù)的可能取值為3, 2, 1, 0,所以之的可能取值為1, 3.P (之=3) =P (A1 A2 A3) + P ( A A2 A3)=P (A1)P (A2)P (A3) +

21、P ( A1)P(A2)P(AJ )=2X0.4 0.5 0.6=0.24,P ( =1) =1- 0.24=0.76.所以之的分布列為13P0.760.24E 1=1X0.76+3 0.24=1.48. o 9 . o(n)解法一因為 f(x)=(x - -) +1 -,24所以函數(shù)f (x) =x2 -3-x +1在區(qū)間3與8)上單調(diào)遞增，2要使f (乂)在2, F)上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng) 22w 2,即2 W 4. 23從而 P(A)=P( _4)=P( =1) = 076.解法二：亡的可能取值為1, 3.當(dāng)t=1時，函數(shù)f(x)=x2 -3x+1在區(qū)間2,收)上單調(diào)遞增，當(dāng)之=3時，函數(shù)

22、f (x) =x2 -9x+1在區(qū)間2,依)上不單調(diào)遞增.0所以 P(A) = P( =1) =0.76.例7 解：記A為甲射擊，B為乙射擊，則1)前4次射擊中甲恰好射擊 3次可列舉為 AAAB , AABA , ABAA,7 7 1 7 1 1 1 1 763其概率為 P= . ,二8888888885122)第n +1次由甲射擊這一事件，包括第 n次由甲射擊，第n+1次繼續(xù)由甲射擊這 一事件以 第n次由乙射擊，第n+1由甲射擊這一事件，這兩事件發(fā)生的概率是互斥的 7.1 .7131 且發(fā)生的概率分力1J為 一an與一(1an)則有關(guān)系式 an41=-an+ -(1an) = - an+-

23、888848其中a1 =1 。 an + _ = (an )，二數(shù)列(an 為等比數(shù)列。2 42211/3、n. an =-()2 2 4.liman=lim (1 - 1(3)nJ)=一 一 2 2 42實際意義為當(dāng)甲、乙兩人射擊次數(shù)較多時，甲、乙兩分別射擊的次數(shù)接近相等。例8 （2005遼寧卷）（I）解：Pp = 0.8 父 0.85 = 0.68,住 0.75父 0.8 = 0.6. 2分52.5P0.680.32、(n)解：隨機變量 口、州的分別列是n2.51.5P0.60.4EU =5 M 0.68 +2.5 黑 0.32 =4.2, En = 2.5 黑 0.6+ 1.5 乂 0.

24、4 = 2.1 6分5x +10y60,（出）解：由題設(shè)知 J8x+2y 40,目標(biāo)函數(shù)為 z = xE：+yE =4.2x+2.1y.8 x20,y -0.作出可行域(如圖)：作直線 l : 4,2x 2.1y =0,將l向右上方平移至li位置時，直線經(jīng)過可行域上 TOC o 1-5 h z 的點M點與原點距離最大，此時 z=4.2x+2.1y 10分一5x+10y=60,取最大值.解方程組3 y ， 8x+2y =40.得x=4,y=4.即x=4,y=4時，z取最大值，z的最大值為25.2 12分1例9(2004年湖北高考題)解：由分布列的性質(zhì)得 a(1 +3 +)=a.5 = a =1.5 52145.a =4例10(2004年全國高考題)解：亡的取值為-300,-100,100,300.P(已= -300) =0.22 =0.008;P( 3 -700) -3 0.2 0.82