1、1 定積分的概念 在很多數(shù)學(xué)和物理問題中，經(jīng)常需要求一類特殊和式的極限:這類特殊極限問題導(dǎo)出了定積分的概念.返回三個(gè)典型問題1. 設(shè)求曲邊梯形 A 的面積S (A), 其中 yxO2. 已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為求從時(shí)刻 3. 已知質(zhì)量非均勻分布的線狀物體的密度函數(shù)為 求線狀物體的質(zhì)量 m .顯然,這就是說,在“常值”、“均勻”、“不變” 的情況下，a 到時(shí)刻 b,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程 s.可以用簡(jiǎn)單的乘法進(jìn)行計(jì)算. 而現(xiàn)在遇到的問題以下我們以求曲邊梯形的面積為例，把這類問題中心思想：是“非常值” 、“不均勻”、“有變化”的情形，如何來解決這些問題呢？合理地歸為一類特殊和式的極限.把曲邊梯形看作許許多多小

2、的曲邊梯形之和，每個(gè)小曲邊梯形面積，可近似地用矩形的面積來替代，雖然為此會(huì)產(chǎn)生誤差，但當(dāng)分割越來越細(xì)的一分為二時(shí)候，矩形面積之和就越來越接近于曲邊梯形面積.yxO一分為四yxO一分為八yxO一分為 n可以看出小矩形面積之和越來越接近于曲邊梯形的面積.yxO過程呢？ 這可以分三步進(jìn)行. 1. 分割：把曲邊梯形 A 分成 n 個(gè)小曲邊梯形a即在上找到 個(gè)分點(diǎn)如何嚴(yán)格地定義這一越來越逼近曲邊梯形面積的2. 近似:3. 逼近：不管分割多么細(xì)，小曲邊梯形終究不是S 總有差別. 當(dāng)分割越來越細(xì)時(shí)，和式問題是：越細(xì)？就會(huì)越來越小.下面依次討論這兩個(gè)問題.與曲邊梯形的面積矩形，因此黎曼和來表示分割 T 越來越

3、細(xì),因?yàn)榭赡苣承┑拈L(zhǎng)度不趨于 0 .就能保證分割越來越細(xì).總結(jié)以上分析，下面給出定積分定義.對(duì)于另外兩個(gè)實(shí)際問題,也可類似地歸結(jié)為黎曼和給定的能夠找到 的極限.定義1并稱 J 為 f 在 a,b上的及任意定積分,記作注1列極限，也不是函數(shù)極限.注2 中,我們把小曲邊梯形近似看作矩形時(shí),顯然要求因此定積分既不是數(shù)關(guān)于定積分定義，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：f (x)在每個(gè)小區(qū)間 xi1, xi 上變化不大, 這相當(dāng)于要求 f (x) 有某種程度上的連續(xù)性.a, b 上的一致連續(xù)性, 可證 f (x)在a, b上可積.下面舉例來加深理解用定義求定積分的方法.解例1存在. 為方便起見,令以后將知道 f (x) 在a, b 上連續(xù)時(shí), 利用 f (x) 在則此時(shí)黎曼和的極限