1、1解2例7分析1:3分析2:例74例8分析從結(jié)論想證明1:由羅而定理，5由羅而定理，例86證明2:則由已知條件得例87例9. 證明不等式2.證明不等式證由上式得又即8例10. 設(shè)函數(shù)在上二階可導,且證明由泰勒公式得兩式相減得證93. 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論題型一.例11. 設(shè)分析：1011題型二.12例12. 設(shè)分析：用羅爾定理時找輔助函數(shù)的方法證13例13. 設(shè)證14例14. 設(shè)在內(nèi)可導, 且證明至少存在一點上連續(xù), 在分析: 問題轉(zhuǎn)化為證：證明 設(shè)輔助函數(shù)顯然故至少使即有存在一點15分析:證明例1510年考研題16總之， 有關(guān)中值問題的解題方法:利用逆向思維 , 設(shè)輔助函數(shù) .一般解題方法

2、:證明含一個中值的等式或根的存在 ,(2) 若結(jié)論中涉及含中值的兩個不同函數(shù) ,(3) 若結(jié)論中含兩個或兩個以上的中值 ,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) .多用羅爾定理,可考慮用柯西中值定理 .必須多次應用中值定理 .(4) 若已知條件中含高階導數(shù) , 多考慮用泰勒公式 ,有時也可考慮對導數(shù)用中值定理 .17存在 (或為 )定理 1.(洛必達法則) 推論1.定理 1 中換為之一,推論 2.若理1條件, 則條件 2) 作相應的修改 , 定理 1 仍然成立.二、洛比達法則及其應用18存在 (或為)定理 2.(洛必達法則)說明: 定理中換為之一,條件 2) 作相應的修改 , 定理仍然成立.19例1解例2解2

3、0注意：1)條件充分但不必要.洛必達法則的使用條件.例如,極限不存在也不是無窮大2)對有些極限失效對數(shù)列極限失效.對不存在時失效.21有時出現(xiàn)循環(huán)，這時羅比達法則失效.如：事實上：有時會越用越復雜，這時不必用羅比達法則.如：223)用洛必達法則之前應先(1)檢查極限的類型是否為(2)結(jié)合以前的方法化簡函數(shù)，如等價無窮小代換、四則法則、變量代換等.注意： 洛必達法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好. 常用的有等價無窮小代換、重要極限、變量代換，極限的運算法則等.23三、函數(shù)單調(diào)性的判別法若有若有設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，內(nèi)可導，在則在上單調(diào)增加.則在上單調(diào)減少.注意：判別法的

4、條件是充分條件而非必要條件.問題：錯！一個點不存在單調(diào)性24四、函數(shù)的極值1.極值的定義：設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定對于該鄰域內(nèi)異于的點如果對適合不等式則稱函數(shù)在點有極大值如果對適合不等式函數(shù)在點有極小值極大值、極小值通稱為極值.稱為極大點；極大點、極小點通稱為極值點.極值定義：極值點定義：將點則稱稱為極小點.點義，25注：極值與最值的區(qū)別：是對整個區(qū)間而言，絕對的、極值：最值：是對某個點的鄰域而言、相對的、可以不是唯一的.極大值不一定都大于極小值.如何求極值？觀察圖形知：可導函數(shù)極值點的導數(shù)是零.是整體的、唯一的.是局部的、262.取得極值的條件：設(shè)函數(shù)在點處可導，且在點(費馬定理)那么處取

5、得極值，注意1:可導函數(shù)的極值點一定是它的駐點，但函數(shù)的駐點卻不一定是極值點.可導函數(shù)的極值點駐點即如：是駐點，但不是極值點.2:在點連續(xù)但不可導，也可能是極值點.如：連續(xù)不可導，卻是極小值點.xyo27如：在處連續(xù)不可導，也不是極值點.3:極值點的可疑點：駐點，不可導點.283.取得極值的充分條件：設(shè)連續(xù)函數(shù)的極值可疑點的一個鄰域內(nèi)在可除外可導.到大經(jīng)過點時，若(1)在的兩側(cè)，由正變負，則是極大值.(2)在的兩側(cè)，由負變正，則是極小值.不變號，在的兩側(cè)，(3)則不是極值點.左正右負極大左負右正極小左右同號無極值當由小為(1)第一充分條件：29(2)第二充分條件：設(shè)函數(shù)在點處具有二階導數(shù)，那么

6、函數(shù)在點處取得極大值；(2)當時，函數(shù)在點處取得極小值.且注意使用的條件：在 x0處可導.對不可導點不能用.問題：五、函數(shù)的最值1.閉區(qū)間a,b上連續(xù)函數(shù)的最值的求法(比較法)步驟:(1)求駐點和不可導點;(2)求區(qū)間端點及駐點和不可導點的函數(shù)值,就是最小值;比較大小,最大的數(shù)就是最大值,最小的數(shù)302.在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且只有一個駐點，它是極大(小)點，則它一定是最大(小)值點.3.對于實際問題，且知最若在一定區(qū)間內(nèi)有唯一駐點，大(小)值一定存在，而且一定在定義區(qū)間內(nèi)取得，那么可以不必討論是否為極值，就可斷定該點就是最大(小)值點.六、曲線的凹凸性和拐點311.定義：(1) 若恒有(2)

7、若恒有連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點稱為拐點 .注意:拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.322.凹凸區(qū)間的求法如果在內(nèi)具有二階導數(shù)，若在內(nèi)(1)(2)則曲線在內(nèi)是凹的.則曲線在內(nèi)是凸的.注意：該定理換成其它區(qū)間仍然成立.3.拐點的求法(第一充分條件)33拐點的求法(第一充分條件)七、曲線的漸近線1.水平漸近線2.垂直漸近線3.斜漸近線34曲線彎曲程度的描述曲率;曲率圓(弧)可以近似代替曲線弧.(2)曲率(3)曲率半徑(1)弧微分:思考： 曲線在一點處的曲率圓與曲線有何密切關(guān)系?答: 有公切線 ;凹向一致 ;曲率相同.dydxds八、曲率、曲率半徑35典型例題分析題型一、證明不等式可以利用：1)單調(diào)

8、性2)中值定理3)泰勒公式4)凹凸性5)求最值36例1證37說明：1)用單調(diào)性證明不等式的步驟：將不等式變形為一邊為零,另一邊就是要設(shè)的輔助函數(shù)判斷 的單調(diào)性. 用單調(diào)性的定義與端點的函數(shù)值比較可得所證的不等式.2)為快速的證明,可先對不等式做恒等變形后再設(shè)輔助函數(shù).3)為證不等式 可用 的單調(diào)性.思考: 證明時, 如何設(shè)輔助函數(shù)更好 ?提示:38例2. 證明證故時, 單調(diào)增加 ,從而所以原不等式成立.39例3分析取對數(shù)40(1)設(shè)是方程的一個解,則(A) 取得極大值 ;(B) 取得極小值 ;(C) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 ;(D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 .提示:A(2)設(shè)則在點 a 處( ).B例

9、4題型二、極值和拐點41解 (3)42例5解43例6.求函數(shù)的極值與拐點.解 定義區(qū)間為列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:拐點極大值拐點44例7 求數(shù)列的最大項 .證求導得列表判別:因此在處也取最大值 .又因內(nèi)只有唯一的極大點45試問 為何值時,在時取得極值 ,解由題意應有又取得極大值為例8求出該極值,并指出它是極大還是極小.46例9題型三、討論方程根的個數(shù).解47oxy例948oxyoxy例9491)水平漸近線:2)垂直漸近線:3)斜漸近線:題型四.求曲線的漸近線50解沒有鉛直漸近線所以它沒有水平漸近線;例1051單調(diào)增區(qū)間為 ;的連續(xù)性及導函數(shù)(1) 設(shè)函數(shù)其導數(shù)圖形如圖所示,單調(diào)減區(qū)間為 ;極小值點為 ;極大值點為 .提示:的正負作 f (x) 的示意圖. 題型五、與曲線的圖形有關(guān)的問題例1152 .在區(qū)間 上是凸弧 ;拐點為 提示:的正負作 f (x) 的示意圖. 形在區(qū)間 上是凹弧; 則函數(shù) f (x) 的圖 (2) 設(shè)函數(shù)的圖形如圖所示,53(3) 設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)連續(xù)，其導函數(shù)的圖形如圖所示，則 有(