1、第三節(jié) 二項分布與正態(tài)分布 一 二項分布 1 二項分布的定義 定義 在一定條件下做試驗，若對該試驗中的每一個試驗結果（即樣本點或基 本事件） ，都唯一地對應著一個確定 的實數 則稱 為隨機變量，簡 記為 簡言之，隨機變量即為試驗結果的函數。 ),(X)(XX 例1 設有產品100件，其中有10件次品，現從中任取5件，問：抽得的次品數是多少？ 例2 某射手每次射擊打中目標的概率都是0.8，現連續(xù)向一個目標射擊，直到第一次射中為止，則射擊次數X是一個隨機變量，且X=1,2,3, 。 隨機變量的概念在概率統(tǒng)計中既基本又重要，在實際問題中隨機變量比比皆是。如在工業(yè)生產中，隨便取一產品，問它的質量指標（

2、強度、硬度、光潔度、纖維長度， ）是多少，這個質量指標就可以看作是一個隨機變量。我們要學會把隨機變量概念與實際工作中的具體問題自然地聯系起來。 定義 若隨機變量X僅取有限多個或可數無窮多個值，則稱X為離散型隨機變量。 顯然，例1、例2中的隨機變量X均為離散型的。 定義 設離散型隨機變量X的取值為 （有限多個或可數無窮多個），則稱 為X的概率分布或分布列。 概率分布表：,21kxxx), 2 , 1)(kxXPpkkkkpppPxxxX2121 概率分布的性質： （1） （2） ), 2 , 1(0kpk1kkp 不難計算出例1、例2中的概率分布： 對例1中的X，有 對例2中的X，有 ).5 ,

3、 4 , 3 , 2 , 1 , 0(/)(510059010kCCCkXPkk)., 3 , 2 , 1(8 . 02 . 0)(1kkXPk 定義 若隨機變量X的概率分布為 則稱X服從參數為n,p的二項分布，記作XB(n,p)。其中，0p1, q=1 p 。), 2 , 1 , 0()(nkqpCkXPknkkn 顯然，若XB(n,p)，則X取n+1個值： 由二項式定理 不難得知，二項分布滿足前述概率分布的兩條性質。n, 2 , 1 , 0knkknnknbaCba0)( 例3 設在單次試驗中，事件A發(fā)生的概率為p(0p1)，則在n次獨立重復試驗中，事件A發(fā)生的次數X滿足 其中 ), 2

4、, 1 , 0()(nkqpCkXPknkknpq1 例3中所述的概率模型稱為獨立試驗序列概型，也稱為貝努里概型，其中的XB(n,p)。由此可解決一些實際問題。 例如，設有n個電子元件，每個發(fā)生故障的概率都是p，則發(fā)生故障的元件個數XB(n,p)。等等。 2 二項分布的平均值 定義 設X的概率分布為 則稱 為隨機變量X的數學期望、期望或平均值、均值，也記作M(X), 3 ,2, 1)(kxXPpkkkkkkkpxpxpxpxXE2211)( E(X)是描述X取值的平均情況的。關于此定義的合理性，我們舉例說明如下。 例4 設隨機變量X的概率分布表為 X 100 200 P 0.01 0.99 由

5、于X僅取100與200兩個值，可能有人認為，X的平均值為100與200的算術平均值150)200100(21 但另一方面，從直覺看來，這個150并不真正體現X取值的平均，它是將100與200一視同仁的結果。從概率的角度分析，X幾乎只取200為值（因0.99 1），而取100為值的可能性微乎其微（0.01 0）。因此我們斷言， 這個平均值應該非常接近200，而不是150。究竟怎樣算呢？ 由概率的統(tǒng)計定義，假設進行了1000次（獨立重復）試驗，則大約有10次使X取100為值，而大約有990次使X取200為值。我們認為X的平均值應為這10個“100”與這990個“200”的算術平均值：19999.

6、020001. 0100100020020020010010010099010個個 這個199就是X的真正的平均值，而它恰是經過“X的取值乘以相應的概率后再累加”后而得到的（加權平均）。此即前述定義中的E(X) 例5 設XB(n ,p)，則E(X)=np 3 二項分布的標準差 定義 設X為隨機變量，則稱 為X的方差，稱 為X的標準差。 解釋：D(X)是刻劃隨機變量取值的分散程度的一個數量指標。)()(2XEXEXD)(XD 為什么呢？容易想象：既然E(X)為X的平均值， 則可以E(X)為基準，而用 刻劃隨機波 動（分散）程度。為了消除隨機性在人們頭腦中形成的不太確切的印象，可考慮所謂平均波 動程度 （注意： 也是 隨機變量）。這樣做原則上是可以的，但絕對值參與運算往往不方便。為了理論上的合理和 運算上的方便，通常用 來刻劃隨 機波動程度。這樣，總的（平均）波動程度就 變成 ，這就是方差D(X)。)(XEX )(XEXE)(XEX 2)(XEX )(2XEXE 標準差的概率意義與方差是類似的，只不過大小不一定相等而已。 顯然，方差（標準差）越大，波動就越大（穩(wěn)定性越差）；方差（標準差）越小，波動就越?。ǚ€(wěn)定性越