1、 2.1 2.1 分子動理論與統(tǒng)計物理學分子動理論與統(tǒng)計物理學 2.2 2.2 概率論的基本知識概率論的基本知識 2.3 2.3 麥克斯韋速率分布麥克斯韋速率分布 2.4 2.4 麥克斯韋速度分布麥克斯韋速度分布 2.5 2.5 氣體分子碰壁數及其應用氣體分子碰壁數及其應用 2.6 2.6 外力場中自由粒子的分布外力場中自由粒子的分布 玻爾茲曼分布玻爾茲曼分布 2.7 2.7 能量均分定理能量均分定理熱物理學的微觀理論是在分子動（理學）理論（簡稱分子動理熱物理學的微觀理論是在分子動（理學）理論（簡稱分子動理論）基礎上發(fā)展起來的。論）基礎上發(fā)展起來的。分子動理論方法的分子動理論方法的主要特點主要

2、特點是：是：它考慮到分子間、分子與器壁間頻繁的碰撞，它考慮到分子間、分子與器壁間頻繁的碰撞，考慮到分子間有相互作用力，考慮到分子間有相互作用力，利用力學定律和概率論來討論分子運動、分子碰撞的詳情利用力學定律和概率論來討論分子運動、分子碰撞的詳情其最終及最高目標是其最終及最高目標是描述氣體由非平衡態(tài)轉入平衡態(tài)的過程描述氣體由非平衡態(tài)轉入平衡態(tài)的過程。從廣義上來說：從廣義上來說：統(tǒng)計物理學是從物質微觀結構和相互作用的認識出發(fā)，采用概統(tǒng)計物理學是從物質微觀結構和相互作用的認識出發(fā)，采用概率統(tǒng)計的方法來說明或預言由大量粒子組成的宏觀物體的物理率統(tǒng)計的方法來說明或預言由大量粒子組成的宏觀物體的物理性質。

3、性質。按這種觀點，分子動理論也應歸于統(tǒng)計物理學的范疇。按這種觀點，分子動理論也應歸于統(tǒng)計物理學的范疇。 對于初學者，重點應掌握基本物理概念對于初學者，重點應掌握基本物理概念處理問題的物理思想及基本物理方法，處理問題的物理思想及基本物理方法，熟悉物理理論的重要基礎熟悉物理理論的重要基礎基本實驗事實。基本實驗事實。在某些問題（特別是一些非平衡態(tài)問題）中可暫不去追究理在某些問題（特別是一些非平衡態(tài)問題）中可暫不去追究理論的十分嚴密與結果的十分精確。論的十分嚴密與結果的十分精確。因為相當簡單的例子中常常包含基本物理方法中的精華，因為相當簡單的例子中常常包含基本物理方法中的精華，它常常能解決概念上的困難

4、并能指出新的計算步驟及近似方它常常能解決概念上的困難并能指出新的計算步驟及近似方法法在在1.6中討論氣體分子碰壁數及氣體壓強公式時中討論氣體分子碰壁數及氣體壓強公式時,曾簡單地認曾簡單地認為每一分子均以平均速率運動，并以此來替代相應物理量的統(tǒng)為每一分子均以平均速率運動，并以此來替代相應物理量的統(tǒng)計平均，這里的近似很粗糙計平均，這里的近似很粗糙實際的情況是粒子幾乎有所有可能的速度，只是不同速度的粒實際的情況是粒子幾乎有所有可能的速度，只是不同速度的粒子所占比例不一樣而已，因而解決上述問題的關鍵是要找到分子所占比例不一樣而已，因而解決上述問題的關鍵是要找到分子按速率的概率分布律。子按速率的概率分布

5、律。本節(jié)將介紹有關概率及概率分布函數的基本知識。本節(jié)將介紹有關概率及概率分布函數的基本知識。 有關概率統(tǒng)計的最直觀的演示有關概率統(tǒng)計的最直觀的演示是伽爾頓板實驗，如圖（是伽爾頓板實驗，如圖（a）所所示。示。無法使小球落入漏斗內的初始無法使小球落入漏斗內的初始狀態(tài)完全相同。狀態(tài)完全相同。因而小球落入那一小槽完全是因而小球落入那一小槽完全是隨機的。隨機的。只要小球總數足夠多（只要小球總數足夠多（N ），），則每一小槽內都有小球落入，且第則每一小槽內都有小球落入，且第i個槽內小球數個槽內小球數Ni 與小球總數與小球總數N（N=Ni）之比有一定的分布。之比有一定的分布。若板中各釘子是等距離配置的，則若

6、板中各釘子是等距離配置的，則其分布曲線如圖其分布曲線如圖2.1（b）所示。其所示。其分布曲線對稱于漏斗形入口的豎直分布曲線對稱于漏斗形入口的豎直中心軸。中心軸。若重復做實驗若重復做實驗甚至用同一小球投甚至用同一小球投入漏斗入漏斗N次（次（N ），其分布曲其分布曲線都相同。線都相同。由此可見，雖然各小球在與任一釘由此可見，雖然各小球在與任一釘子碰撞后向左還是向右運動都是隨子碰撞后向左還是向右運動都是隨機的，由很多偶然因素決定，但最機的，由很多偶然因素決定，但最終大量小球的總體在各槽內的分布終大量小球的總體在各槽內的分布卻有一定的分布規(guī)律，這種規(guī)律由卻有一定的分布規(guī)律，這種規(guī)律由統(tǒng)計相關性所決定統(tǒng)

7、計相關性所決定 （一）概率的定義（一）概率的定義在一定條件下，如果某一現象或某一事件可能發(fā)生也可能在一定條件下，如果某一現象或某一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，我們就稱這樣的事件為不發(fā)生，我們就稱這樣的事件為隨機事件隨機事件。與之相對應的。與之相對應的是是確定事件確定事件。隨機事件：隨機事件： 擲骰子哪一面朝上完全是隨機的，受到許多不能確定的擲骰子哪一面朝上完全是隨機的，受到許多不能確定的 偶然因素的影響，偶然因素的影響， 如生男生女、如如生男生女、如“天有不測風云、人有旦夕禍福天有不測風云、人有旦夕禍?！?。確定事件：確定事件： 標況下，水在標況下，水在100攝氏度會必然會沸騰。攝氏度會必然會沸騰

8、。 太陽必然會東升西落太陽必然會東升西落 雞蛋孵出來的必然不是鴨子雞蛋孵出來的必然不是鴨子 等等等等（一）概率的定義（一）概率的定義但是偶然中卻有必然：但是偶然中卻有必然：如多次投擲硬幣出現正反面的概率為如多次投擲硬幣出現正反面的概率為50%男女嬰兒出生比為男女嬰兒出生比為22：21（世界各地均如此）（世界各地均如此）大數定律：大數定律：當試驗次數很大時，隨機事件出現的頻率會穩(wěn)當試驗次數很大時，隨機事件出現的頻率會穩(wěn)定在某個數值定在某個數值P附近擺動，這個穩(wěn)定的數值附近擺動，這個穩(wěn)定的數值P稱為稱為隨機事件隨機事件的概率的概率。概率：概率：若在相同條件下重復進行同一個試驗（如擲骰子）若在相同條

9、件下重復進行同一個試驗（如擲骰子），在總次數，在總次數 N 足夠多的情況下（即足夠多的情況下（即 N ），），計算所出計算所出現某一事件（如哪一面向上）的次數現某一事件（如哪一面向上）的次數 NL ，則其百分比即則其百分比即該事件出現的概率該事件出現的概率 :)(limNNPLNL（二）等概率性（二）等概率性在擲骰子時，一般認為出現每一面向上的概率是相等的。在擲骰子時，一般認為出現每一面向上的概率是相等的。若在某一面上鉆個小孔，在小孔中塞進些鉛，然后再封上，若在某一面上鉆個小孔，在小孔中塞進些鉛，然后再封上，或者通過一些其他磁鐵等，則我們預料情況會不同或者通過一些其他磁鐵等，則我們預料情況會不

10、同由此可總結出一條基本原理：由此可總結出一條基本原理：等概率性等概率性在沒有理由說明哪一事件出現概率更大些（或在沒有理由說明哪一事件出現概率更大些（或更小些）情況下，每一事件出現的概率都應相等。更小些）情況下，每一事件出現的概率都應相等。思考題一：思考題一：抽簽的幾率和抽簽順序是否有關。抽簽的幾率和抽簽順序是否有關。十個人中隨機挑選一人獲得某個機會，寫十張紙條（其中只十個人中隨機挑選一人獲得某個機會，寫十張紙條（其中只有一張有記號），每人拿走一張，問，先抽的人中的幾率有一張有記號），每人拿走一張，問，先抽的人中的幾率大還是后抽的人機會大？大還是后抽的人機會大？有人說是先抽的人，因為先抽的人紙條

11、都在，如果后抽，可有人說是先抽的人，因為先抽的人紙條都在，如果后抽，可能紙條就被先抽走了能紙條就被先抽走了也有人說是后抽的人，先抽的人的幾率是也有人說是后抽的人，先抽的人的幾率是10選選1，如果先抽的，如果先抽的人沒抽著，后抽的人的幾率就是人沒抽著，后抽的人的幾率就是9選選1，甚至更高，甚至更高也有人認為這和抽簽順序無關，因為假如大家抽完后都不看也有人認為這和抽簽順序無關，因為假如大家抽完后都不看結果，等所有的人都拿到以后再看，每個人的概率都是結果，等所有的人都拿到以后再看，每個人的概率都是10選選1到底如何？到底如何？思考題二：思考題二：班級同學中出現二個人生日在同一天（不管出生年份）的概班

12、級同學中出現二個人生日在同一天（不管出生年份）的概率有多大？率有多大？或者說，如果你的所有朋友在他們生日的時候都會邀請你的或者說，如果你的所有朋友在他們生日的時候都會邀請你的話，那么你在某一天接到兩份生日宴會邀請的概率有多大話，那么你在某一天接到兩份生日宴會邀請的概率有多大？0.4642（24），）， 0.09738（40）（三）概率的基本性質（三）概率的基本性質（1）概率相加法則：概率相加法則：n 個互相排斥事件發(fā)生的總概率是每個個互相排斥事件發(fā)生的總概率是每個事件發(fā)生概率之和，簡稱概率相加法則。事件發(fā)生概率之和，簡稱概率相加法則。所謂所謂n個互相排斥（簡稱互斥）的事件是指，出現事件個互相排

13、斥（簡稱互斥）的事件是指，出現事件1，就，就不可能同時出現事件不可能同時出現事件2，3n，同樣對同樣對2，3n事件也是如此事件也是如此。如投擲一枚硬幣，要么出現正面要么出現反面如投擲一枚硬幣，要么出現正面要么出現反面如投擲色子，六面出現的概率加一起為如投擲色子，六面出現的概率加一起為1如：如：明天要是不下雨的話很可能就會繼續(xù)天晴，當然，理論明天要是不下雨的話很可能就會繼續(xù)天晴，當然，理論上也不排除多云轉陰天的可能上也不排除多云轉陰天的可能 。概率相加規(guī)律適用于概率相加規(guī)律適用于: 或者或者,或者或者.(要么要么,要么要么.)如：投擲一次色子，出現如：投擲一次色子，出現1或者或者6的概率是多少？

14、的概率是多少？1/6+1/6(概率概率相加相加)（三）概率的基本性質（三）概率的基本性質（2）概率相乘法則：概率相乘法則：同時或依次發(fā)生的，互不相關（或相互同時或依次發(fā)生的，互不相關（或相互統(tǒng)計獨立）的事件發(fā)生的概率等于各個事件概率之乘積，簡統(tǒng)計獨立）的事件發(fā)生的概率等于各個事件概率之乘積，簡稱概率相乘法則。稱概率相乘法則。關鍵要兩次事件完全獨立。關鍵要兩次事件完全獨立。如：連續(xù)兩次投擲硬幣，連續(xù)出現相同一面朝上的概率是多如：連續(xù)兩次投擲硬幣，連續(xù)出現相同一面朝上的概率是多大？大？1/2 乘以乘以1/2概率相乘規(guī)律適用于概率相乘規(guī)律適用于: 即即,又又. 六連號的概率：六連號的概率：100個號

15、碼中隨機抽取個號碼中隨機抽取6個號碼，抽取的六個個號碼，抽取的六個號碼連在一起的概率是多少？號碼連在一起的概率是多少？95/C6 100統(tǒng)計分布的最直接的應用是求平均值。統(tǒng)計分布的最直接的應用是求平均值。以求平均年齡為例，以求平均年齡為例，N 個人的年齡平均值就是個人的年齡平均值就是 N 個人的年齡個人的年齡之和除以總人數之和除以總人數 N。求年齡之和可以將人按年齡分組，設求年齡之和可以將人按年齡分組，設ui為隨機變量（例如年為隨機變量（例如年齡），其中出現（年齡）齡），其中出現（年齡）u1值的次（或人）數為值的次（或人）數為N1，u2值的值的次（或人）數為次（或人）數為N2，則該隨機變量（年

16、齡）的平均值為則該隨機變量（年齡）的平均值為 NuNNuNuNuiiiii2211兩式均是求平均值公式，兩式均是求平均值公式，第一式通過求和來求平均值的，第一式通過求和來求平均值的，第二式是利用概率分布來求平均值的。第二式是利用概率分布來求平均值的。第二式在科學研究中更常見。第二式在科學研究中更常見。對于更復雜的函數，對于更復雜的函數，設設f（u）是隨機變量是隨機變量 u 的函數，則的函數，則其平其平均值為：均值為： iiiuPuPuPu22111( )()niiif uf uP1122iiiiiN uN uN uuNN因為因為Ni / N 是出現是出現 ui 值的百分比，當值的百分比，當N

17、時該百分比就時該百分比就是出現是出現 ui 值的概率值的概率 Pi ，故故平均值的性質平均值的性質 (2) 若隨機變量若隨機變量 u 和隨機變量和隨機變量 v 相互相互統(tǒng)計獨立統(tǒng)計獨立，且，且 f ( u ) 是是u 的某一函數，的某一函數，g（v）是是 v 的另一函數，則：的另一函數，則： )()()()(ugufuguf)()(ufcucf)()()()(vgufvguf11iniP（1）若）若 C 為常數，則為常數，則 應該注意到，以上討論的各種概率都是歸一化的，即應該注意到，以上討論的各種概率都是歸一化的，即：uuuii 22222uuuuuu02u 2222uuuuu 22uu 隨機

18、變量會偏離平均值隨機變量會偏離平均值 ，即：，即：一般其偏離值的平均值為零，一般其偏離值的平均值為零， 但均方偏差不為零。但均方偏差不為零。121222r m suuuuuu0rmsu定義相對均方根偏差：方均根定義相對均方根偏差：方均根/平均值，為：平均值，為：當當ui 所有值都等于相同值時所有值都等于相同值時:可見相對均方根偏差表示了隨機變量在平均值附近分散開的程可見相對均方根偏差表示了隨機變量在平均值附近分散開的程度，也稱為度，也稱為漲落、散度或散差漲落、散度或散差。平均值表示綜合國力，均方偏差更能反映貧富差距平均值表示綜合國力，均方偏差更能反映貧富差距上面所討論的隨機變量只能取離散值。實

19、際變量很多是連續(xù)變上面所討論的隨機變量只能取離散值。實際變量很多是連續(xù)變化，如粒子的空間位置或粒子的速度。化，如粒子的空間位置或粒子的速度。在隨機變量取連續(xù)值時，上述求平均值公式中在隨機變量取連續(xù)值時，上述求平均值公式中 Pi 也是連續(xù)分也是連續(xù)分布的。布的。當然，測量儀器總有誤差，測不出分子速率恰好為當然，測量儀器總有誤差，測不出分子速率恰好為100m/s的分的分子數是多少，若儀器的誤差范圍為子數是多少，若儀器的誤差范圍為1m/s，則只能測出分子速率，則只能測出分子速率從從99.5m/s到到100.5m/s的分子數是多少。的分子數是多少。我們不能講分子速率恰好處于我們不能講分子速率恰好處于1

20、00m/s的概率，而只能講分子速的概率，而只能講分子速率介于某一范圍（例如率介于某一范圍（例如99m/s101m/s）內的概率。）內的概率。打靶試驗的例子打靶試驗的例子子彈沿靶板的分布實驗子彈沿靶板的分布實驗圖是直角坐標示靶板上的分布圖是直角坐標示靶板上的分布把靶平面劃分出很多寬為把靶平面劃分出很多寬為 x的窄條，的窄條， x的的寬度比黑點的大小要大得多。寬度比黑點的大小要大得多。數出在數出在x到到x+x范圍窄條的黑點數范圍窄條的黑點數N，它，它除以靶板上總的黑點數除以靶板上總的黑點數N，得到的百分比，得到的百分比N/N就是黑點處于就是黑點處于x 到到x+x范圍內這一范圍內這一窄條的概率。窄條

21、的概率。然后以然后以 N / (N x )為縱坐標，以為縱坐標，以 x 為橫坐標，畫出一根根柱狀為橫坐標，畫出一根根柱狀條形。條形。則每個柱形的高度為則每個柱形的高度為 N / (N x )，寬度為，寬度為 x，則豎條面積為，則豎條面積為N/N，就是子彈處在，就是子彈處在x 到到x+x內所占的百分比，即概率內所占的百分比，即概率這樣的圖就叫這樣的圖就叫直方圖直方圖若令若令 x0 ，就得到一條連續(xù)曲線，這時的縱坐標，就得到一條連續(xù)曲線，這時的縱坐標 f (x )稱為稱為黑點沿黑點沿 x 方向分布的概率密度函數，表示黑點沿方向分布的概率密度函數，表示黑點沿x方向的相對方向的相對密集程度。密集程度。

22、而黑點處在而黑點處在處于處于x到到x+dx范圍內的概率為：范圍內的概率為： f（x）dx由積分的面積意義知，黑點處于由積分的面積意義知，黑點處于x1到到x2范圍內的概率為：范圍內的概率為： dxxfxx)(211)(dxxf顯然，黑點處在顯然，黑點處在0到無窮大的到無窮大的概率為：概率為：此即歸一化條件此即歸一化條件類似地，如果是二維情況，可再把靶板沿類似地，如果是二維情況，可再把靶板沿y方向劃分為若干寬方向劃分為若干寬為為 y 的窄條的窄條,數出每一窄條中的黑點數，數出每一窄條中的黑點數，求出求出 f ( y )= N /（N y），并），并令令 y0 可得到黑點處于可得到黑點處于y到到y(tǒng)+

23、dy范圍內的概率為范圍內的概率為f（y）dy。顯然，黑點處于顯然，黑點處于x到到x+dx，y到到y(tǒng)+dy范圍內的概率就是圖中打上范圍內的概率就是圖中打上斜線的范圍內的黑點數與總黑點數之比。斜線的范圍內的黑點數與總黑點數之比。f（x，y）稱為黑點沿平面位置的概率密度分布函數，它表示在）稱為黑點沿平面位置的概率密度分布函數，它表示在這一區(qū)域內黑點相對密集的程度。這一區(qū)域內黑點相對密集的程度。f (x，y)dxdy稱為沿平面位置的概率分布函數稱為沿平面位置的概率分布函數要求出處于要求出處于x1到到x2、y1 到到y(tǒng)2內的概率，內的概率，則對則對x、y積分積分:22221111( , )( )( )y

24、xyxyxyxf x y dxdyf y dyf x dx有了概率分布函數就可求平均值。有了概率分布函數就可求平均值。例如，黑點的例如，黑點的x方向坐標偏離靶心（方向坐標偏離靶心（x=0）的平均值為）的平均值為:x的某一函數的某一函數F（x）的平均值為）的平均值為:dxxxfx)(dxxfxFxF)()()( dxdyyxfyxgyxg),(),(),(對于處在確定平衡態(tài)系統(tǒng)的分子：平均速率恒定。對于處在確定平衡態(tài)系統(tǒng)的分子：平均速率恒定。但實際上：分子速率取各種大小的都有。但實際上：分子速率取各種大小的都有。且同一分子在不同時間速率也會變化。且同一分子在不同時間速率也會變化。不過，對于處在確

25、定平衡態(tài)的分子，雖然每個分子在某一瞬時不過，對于處在確定平衡態(tài)的分子，雖然每個分子在某一瞬時的速度大小、方向都在隨機地變化著，但是大多數分子之間存的速度大小、方向都在隨機地變化著，但是大多數分子之間存在一種統(tǒng)計相關性，在一種統(tǒng)計相關性，這種統(tǒng)計相關性表現為：這種統(tǒng)計相關性表現為：平均說來氣體分子的速率（指速度的大?。┙橛谄骄f來氣體分子的速率（指速度的大?。┙橛?v 到到v + dv 的的概率（即速率分布函數）是不會改變的概率（即速率分布函數）是不會改變的 早在早在1859年，年，英國物理學家麥克斯韋利用平衡態(tài)理想氣體分子英國物理學家麥克斯韋利用平衡態(tài)理想氣體分子在三個方向上作獨立運動的假設導

26、出了麥克斯韋速率公布在三個方向上作獨立運動的假設導出了麥克斯韋速率公布，其其表達式如下表達式如下：dvvekTmdvvfkTmv222/32)2(4)(其中其中k為玻爾茲曼為玻爾茲曼常量(Boltzmann constant)，m、T分別為分別為分子質量和溫度子質量和溫度.圖右圖右陰影面積表示：陰影面積表示：分子速率介于分子速率介于v1 到到 內分子數與總分子數之比，其數值應該內分子數與總分子數之比，其數值應該從下面的積分求出：從下面的積分求出： dvvkTmvkTmdvvf222/32exp)2(4)(dvvkTmvkTmdvvfvv222/32exp)2(4)(11圖左圖左斜條狹長區(qū)域面積

27、表示：斜條狹長區(qū)域面積表示：速率介于速率介于v到v + dv分子數與總分子數之比，此即麥克斯韋速率分子數與總分子數之比，此即麥克斯韋速率分布分布:計算積分時，可利用附錄計算積分時，可利用附錄2-1中的積分公式：中的積分公式：2/32204)exp(adxxax124)2(4)(2/32/30mkTkTmdvvfdvvkTmvkTmdvvf222/3002exp)2(4)(并令并令 = m/2kT ，則：則：說明麥克斯韋速率分布是歸一化的。說明麥克斯韋速率分布是歸一化的。一些定積分公式：一些定積分公式：2022200( )exp() ;(2)exp()exp()( )nnnI nxx dxI n

28、xxdxxx dxI n1/221/2012101(0)exp() ;21(1)exp()2IydyIyydy關于麥克斯韋分布說明幾點：關于麥克斯韋分布說明幾點：（1）麥克斯韋分布適用于麥克斯韋分布適用于平衡態(tài)平衡態(tài)的氣體。在平衡狀態(tài)下氣體分的氣體。在平衡狀態(tài)下氣體分子密度子密度n及氣體溫度都有確定數值，故其速率分布也是確定的，及氣體溫度都有確定數值，故其速率分布也是確定的，它僅是分子質量及氣體溫度的函數，它僅是分子質量及氣體溫度的函數，其分布曲線隨分子質量或溫度的變化趨勢示于圖。其分布曲線隨分子質量或溫度的變化趨勢示于圖。（2）因為因為v2是一增函數，是一增函數，exp(-mv2/2kT)是

29、一減函數，增函數與是一減函數，增函數與減函數相乘得到的函數將在某一處取極值。此極大值所對應的減函數相乘得到的函數將在某一處取極值。此極大值所對應的速率為速率為最概然速率最概然速率（也稱最可幾速率），以（也稱最可幾速率），以vp表示。表示。(3) 麥克斯韋分布本身是統(tǒng)計平均的結果，會有漲落。但當粒子麥克斯韋分布本身是統(tǒng)計平均的結果，會有漲落。但當粒子數為大數時，其相對均方根偏差可以忽略。數為大數時，其相對均方根偏差可以忽略。(4) 記住麥克斯韋速率分布的函數形式為：記住麥克斯韋速率分布的函數形式為： 由歸一化可求由歸一化可求(5) 量綱分析記公式量綱分析記公式:首先，首先， e 指數上量綱應為指

30、數上量綱應為1，而，而 mv2 / 2 與與 kT 均是能量的量綱均是能量的量綱其次，當其次，當 v 時，時，f（v）應趨于零，應趨于零，e 指數上應為負，由此可見指數上應為負，由此可見其指數因子為：其指數因子為：再次，概率函數應為無量綱，再次，概率函數應為無量綱，v2dv為為v的三次方量綱，因此系數的三次方量綱，因此系數A呈呈v -3量綱。量綱。而而v2 量綱與量綱與 2kT /m 的量綱相同，所以的量綱相同，所以A中應有中應有(m/ 2kT )3/2 因子因子。2/3)2(4kTmA22exp2mvAvkTkTmv2exp2理想氣體分子的理想氣體分子的平均速率平均速率、均方根速率均方根速率

31、、最概然速率最概然速率(1)(1)平均速率：平均速率：(2) (2) 均方根速率：均方根速率：(3) (3) 最概然速率最概然速率V Vp p : :三個速率均有此特征：三個速率均有此特征： m 越小或越小或 T 越大，三速率越大。越大，三速率越大。3/22300( )4exp2288mmmvvvf v dvvdvkTkTkTRTmM 220333rmsmkTkTRTvv f v dvvmmM結果與從結果與從 得到的完全相同。得到的完全相同。2/32/2kTmv( )22()0ppmdf vkTkTg vvdvmM（4 4）三種速率之比：）三種速率之比： 224. 1:128. 1:13:/8

32、:2:2vvvp它們三者之間相差不超過它們三者之間相差不超過23%，而以均方根速率為最大，而以均方根速率為最大在在1.6理想氣體分子碰撞數及理理想氣體分子碰撞數及理想氣體壓強公式證明中曾用到近似想氣體壓強公式證明中曾用到近似條件：條件：2vv 224. 1:128. 1:1:2vvvp1.224 1.1281.085rmsvv 其偏差僅其偏差僅8.5%，比較小，但處理簡單，比較小，但處理簡單有關例題：有關例題：例例1 試求氮分子及氫分子在標準狀況下的平均速率。試求氮分子及氫分子在標準狀況下的平均速率。解解：（1）氮分子平均速率）氮分子平均速率（2）氫分子平均速率）氫分子平均速率 11sm454

33、sm028. 014. 327331. 888mMRTv13sm1070.1v以上計算表明，除很輕的元素如氫、氦之外，其它氣體以上計算表明，除很輕的元素如氫、氦之外，其它氣體的平均速率一般為數百米的數量級的平均速率一般為數百米的數量級例例2 試說明下列各式的意義：試說明下列各式的意義：例例3 如圖所示為麥克斯韋速率分布曲線，圖中如圖所示為麥克斯韋速率分布曲線，圖中A、B兩部分面兩部分面積相等，問積相等，問V0的含義。的含義。V0是不是表示平均速率？是不是表示平均速率？211. ( ); 2.( ); 3.( )vvf v dvNf v dvNvf v dvV0AB此處，簡單講述本節(jié)第一部分的分

34、子束速率分布。德國物理學家此處，簡單講述本節(jié)第一部分的分子束速率分布。德國物理學家斯特恩（斯特恩（Sterm）最早于）最早于1920年做了分子射線束實驗以測定分子年做了分子射線束實驗以測定分子射線束中的分子速率分布曲線。射線束中的分子速率分布曲線。此處介紹朗繆爾（此處介紹朗繆爾（Langmuir）的實驗）的實驗Lv tvL顯然，分子束中能穿過第一個凹槽的分子一般穿不過第二個凹槽顯然，分子束中能穿過第一個凹槽的分子一般穿不過第二個凹槽，除非它的速率，除非它的速率v 滿足如下關系：滿足如下關系： 只要調節(jié)不同的旋轉角速度只要調節(jié)不同的旋轉角速度 ，就可以從分子束中選擇出不同速，就可以從分子束中選擇

35、出不同速率的分子來。率的分子來。更確切些說，因為凹槽有一定寬度，故所選擇的不是恰好某一更確切些說，因為凹槽有一定寬度，故所選擇的不是恰好某一速率大小，而是某一速率范圍速率大小，而是某一速率范圍v內的分子數。內的分子數。若在接收屏上安上能測出單位時間內透過的分子數若在接收屏上安上能測出單位時間內透過的分子數N的探測器的探測器，我們就可利用這種實驗裝置測出分子的速率從零到無窮大范，我們就可利用這種實驗裝置測出分子的速率從零到無窮大范圍內的分布情況。圍內的分布情況。與黑點在靶板上的分布相類似，我們以與黑點在靶板上的分布相類似，我們以N/Nv 為縱坐標（其中為縱坐標（其中N是單位時間內穿過第一個圓盤上

36、的凹槽的總分子數），是單位時間內穿過第一個圓盤上的凹槽的總分子數），以分子的速率以分子的速率v為橫坐標作一圖形，如圖所示。為橫坐標作一圖形，如圖所示。 圖（圖（a）中每一細長條的面積均表）中每一細長條的面積均表示單位時間內所射出的分子束中，示單位時間內所射出的分子束中，分子速率介于該速率區(qū)間的概率分子速率介于該速率區(qū)間的概率N/(N v) v 其中其中v = 10ms-1。在在v到到v+dv速率區(qū)間內的細長條的面積就表示分子速率介于速率區(qū)間內的細長條的面積就表示分子速率介于v 到到v+dv區(qū)間范圍內的概率區(qū)間范圍內的概率: 注意：分子束速率分布函數并不就是分子源中的麥克斯韋速率分注意：分子束速

37、率分布函數并不就是分子源中的麥克斯韋速率分布，為什么？見布，為什么？見P78NdvdNvF)( )F vdv當當v 0時，即得一條光滑的曲線，稱為時，即得一條光滑的曲線，稱為分子束速率分布曲線分子束速率分布曲線。其縱坐標為其縱坐標為 ，稱為，稱為分子束速率分布概率密度函數分子束速率分布概率密度函數。前面指出，麥克斯韋其實是先導出前面指出，麥克斯韋其實是先導出速度速度分布，然后再從速度分分布，然后再從速度分布得到布得到速率速率分布的。分布的。本節(jié)中介紹本節(jié)中介紹麥克斯韋速度分布，麥克斯韋速度分布，為了說明速度分布的含義，先為了說明速度分布的含義，先介紹介紹速度空間速度空間的概念。的概念。 （1）

38、什么是）什么是“速度空間速度空間”？以分子的速度沿以分子的速度沿x,y,z軸的投影分量軸的投影分量vx、vy、vz為坐標的坐標系稱為坐標的坐標系稱為直角坐標表示的為直角坐標表示的速度空間速度空間。注意：注意：速度空間是人們想像中的空間坐標，所描述的速度空間是人們想像中的空間坐標，所描述的不是不是分子分子的的空間位置空間位置，其中的矢量表示速度的大小與方向。，其中的矢量表示速度的大小與方向。（2) 什么叫速度空間中的什么叫速度空間中的“代表點代表點”？在速度空間中，在速度空間中，把分子的速度矢量表示出來，并且把所有分把分子的速度矢量表示出來，并且把所有分子速度矢量的起始點都平移到公共原點子速度矢

39、量的起始點都平移到公共原點O上。平移后，僅以上。平移后，僅以矢量箭頭的端點表示這一矢量，而把矢量符號抹去。這樣的矢量箭頭的端點表示這一矢量，而把矢量符號抹去。這樣的點稱為代表點。如圖中的點稱為代表點。如圖中的P點所示。點所示。 速度空間中代表點分布與靶板上靶點分布類似速度空間中代表點分布與靶板上靶點分布類似下中圖，靶點位于下中圖，靶點位于x 到到x+dx，y 到到y(tǒng)+dy范圍內的概率為：范圍內的概率為： f（x，y）dxdy其中其中dxdy為這一區(qū)域大小，為這一區(qū)域大小，f（x，y）是黑點分布的概率密度。是黑點分布的概率密度。在三維速度空間中，在在三維速度空間中，在vx 到到vx+dvx，vy

40、 到到vy+dvy，vz 到到vz+dvz區(qū)間內劃出一個體積為區(qū)間內劃出一個體積為dvxdvydvz的微分元，如圖所示。的微分元，如圖所示。數出在這微分元中的代表點的數目數出在這微分元中的代表點的數目dN（vx、vy、vz），），并把并把 zyxzyxzyxdvdvNdvvvvdNvvvf),(),(稱為坐標為稱為坐標為vx、vy、vz處的麥克斯韋速處的麥克斯韋速度分布概率密度，它表示在度分布概率密度，它表示在dvxdvydvz小小體積元中代表點的相對密集程度。體積元中代表點的相對密集程度。問問1：速度空間中處在厚為：速度空間中處在厚為dvx 無限大平板中的概率？無限大平板中的概率？ 即：即：

41、N個分子中速度個分子中速度x分量落在分量落在vx 到到vx+dvx范圍內而范圍內而vy ,vz 在任在任意范圍內的分子數意范圍內的分子數 dN（vx）是多少？是多少？在速度空間中劃出一個垂直于在速度空間中劃出一個垂直于vx軸的厚度為軸的厚度為dvx的無窮大平板的無窮大平板，如圖所示。，如圖所示。不管速度的不管速度的y、z分量如何，只要速度分量如何，只要速度x分量在分量在vx 到到vx+dvx范圍范圍內，則所有這些分子的代表點都落在此很薄的無窮大平板中內，則所有這些分子的代表點都落在此很薄的無窮大平板中設此無窮大平板中代表點的數目為設此無窮大平板中代表點的數目為dN（vx），），則則dN（vx）

42、/N 表表示速度處于示速度處于vx 到到vx+dvx而而vy、vz為任意值范圍內的分子所占的概為任意值范圍內的分子所占的概率。率。這一概率與板的厚度這一概率與板的厚度dvx成比例，令：成比例，令： dN（vx）/N = f(vx)dvx稱分子稱分子x方向速度分量方向速度分量 概率分布函數概率分布函數同樣可分別求出垂直于同樣可分別求出垂直于vy軸及軸及vz軸的無窮大薄平板中代表點數軸的無窮大薄平板中代表點數dN（vy）及及 dN（vZ）,則有：則有：dN（vy）/N = f(vy)dvy dN（vz）/N = f(vz)dvz分別表示分別表示y及及z方向速度分量的方向速度分量的 概率分布函數概率

43、分布函數。根據分子混沌性假設，分子速度沒有擇優(yōu)取向，故：根據分子混沌性假設，分子速度沒有擇優(yōu)取向，故： f（vx）、）、f（vy）、）、f（vz）應具有相同形式。應具有相同形式。問問2：速度空間中處在截面積為：速度空間中處在截面積為dvx dvy的無窮長方條中的概率的無窮長方條中的概率 即：分子速率介于即：分子速率介于vx 到到vx+dvx，vy 到到vy+dvy，而而vz在任意范圍在任意范圍內的分子數內的分子數 dN（vx，vy）是多少？是多少？顯然這些分子的代表點都落在一根平行于顯然這些分子的代表點都落在一根平行于vz軸、截面積為軸、截面積為dvx dvy的無窮長的方條中。的無窮長的方條中

44、。 因為分子落在垂直于因為分子落在垂直于dvx軸的平板內的概率是軸的平板內的概率是f（vx）dvx，分子分子落在垂直于落在垂直于vy軸的平板內的概率是軸的平板內的概率是f（vy）dvy由相互獨立的同時事件概率相乘法則可知，分子落在方柱體內由相互獨立的同時事件概率相乘法則可知，分子落在方柱體內的概率為方柱體內代表點數的概率為方柱體內代表點數dN（vx，vy）與總分子數與總分子數N的比值的比值： NvvdNdvvfdvvfyxyyxx),()()(即：分子速度分量處于即：分子速度分量處于vx 到到vx+dvx，vy 到到vy+dvy，vz 到到vz+dvz范范圍內的概率是多少？圍內的概率是多少？平

45、板與柱體相交截得一體積為平板與柱體相交截得一體積為dvxdvydvz的小立方體，計算出在的小立方體，計算出在小立方體中的代表點數小立方體中的代表點數dN（vx、vy、vz），而），而dN（vx、vy、vz）/N 就是所要求的概率就是所要求的概率因為因為vx ，vy，vz相互獨立，故：相互獨立，故： dN（vx、vy、vz）/N = f(vx)dvx f(vy)dvy f(vz)dvz 顯然，速度分布概率密度顯然，速度分布概率密度f（vx ，vy，vz）是分子分別按速度的是分子分別按速度的x、y、z方向分量分布的概率密度方向分量分布的概率密度f(vz)、f(vy)、f(vz)的乘積。的乘積。分子

46、處于速度空問任一微小范圍分子處于速度空問任一微小范圍dvxdvydvz內的概率是內的概率是f（vx ，vy，vz）與與dvxdvydvz的乘積。的乘積。 問問3：速度空間中處在體積為：速度空間中處在體積為dvx dvy dvz中的概率中的概率 麥克斯韋最早用概率統(tǒng)計的方法導出了理想氣體分子的速度分麥克斯韋最早用概率統(tǒng)計的方法導出了理想氣體分子的速度分布布，這一分布可表示為：這一分布可表示為：3/2222()( ,)exp22xyzxyzxyzxyzm vvvmf v v v dv dv dvdv dv dvkTkTiiiidvkTmvkTmdvvf2exp2)(22/1因為因為f（vx ，vy

47、，vz)= f(vx)dvxf(vy)dvyf(vz)dvz ，故麥克故麥克斯韋速度分布在速度分量上的表達式為：斯韋速度分布在速度分量上的表達式為：其中其中i 可分別代表可分別代表x、y、z。若要求出分子速度在若要求出分子速度在vx 到到vx+dvx內，而內，而vy，vz任意的分子數任意的分子數dN(vx),則需要對則需要對vy、vz全空間積分：全空間積分： zzyyxxxdvvfdvvfdvvNfvdN)()()()(1/2()exp()22xxmvmNdvkTkT221/21/2()exp()exp2222yzyzmvmvmmdvdvkTkTkTkTxxxxxdvkTmvkTmNvdNdv

48、vf2exp)2()()(22/1利用定積分公式可知上式中的兩個積分都是利用定積分公式可知上式中的兩個積分都是1，因此可得：，因此可得：這就是前面我們得到的結論。這就是前面我們得到的結論。速度分量速度分量x的分布曲線如圖所示：的分布曲線如圖所示：xxxxxdvkTmvkTmNvdNdvvf2exp)2()()(22/1曲線關于縱軸對稱。圖上斜線部分的面積即為分子速度沿曲線關于縱軸對稱。圖上斜線部分的面積即為分子速度沿x方向方向的分量在的分量在vx 到到vx+dvx，而，而vyvz任意的分子出現的概率：任意的分子出現的概率：注意：麥克斯韋速度分布律推導過程中注意：麥克斯韋速度分布律推導過程中沒有

49、考慮氣體分子間的沒有考慮氣體分子間的相互作用相互作用，故它僅適用于平衡態(tài)的理想氣體。，故它僅適用于平衡態(tài)的理想氣體。思考：思考：分子質量為分子質量為m溫度為溫度為T的氣體處的氣體處于熱平衡，試求：于熱平衡，試求：22, xxvvv詹姆斯詹姆斯克拉克克拉克麥克斯韋：麥克斯韋：（James Clerk Maxwell）臺臺譯馬譯馬克士威，克士威，1831年年6月月13日日1879年年11月月5日日），英國理論），英國理論物理學家和數學家。經典電動物理學家和數學家。經典電動力學的創(chuàng)始人，統(tǒng)計物理學的力學的創(chuàng)始人，統(tǒng)計物理學的奠基人之一。麥克斯韋被普遍奠基人之一。麥克斯韋被普遍認為是對二十世紀最有影響

50、力認為是對二十世紀最有影響力的十九世紀物理學家。他對基的十九世紀物理學家。他對基礎自然科學的貢獻僅次于艾薩礎自然科學的貢獻僅次于艾薩克克牛頓、艾爾伯特牛頓、艾爾伯特愛因斯坦。愛因斯坦。1931年，愛因斯坦在麥克斯韋年，愛因斯坦在麥克斯韋百年誕辰的紀念會上，評價其百年誕辰的紀念會上，評價其建樹建樹“是牛頓以來，物理學最是牛頓以來，物理學最深刻和最富有成果的工作。深刻和最富有成果的工作?！保ㄒ唬┫鄬τ冢ㄒ唬┫鄬τ?vp的的速度速度分量分布分量分布令令ux= vx/ vp，vp=(2KT/m)1/2為最概然速率，則上式可以變換為：為最概然速率，則上式可以變換為：xxxxxdvkTmvkTmNvdNd

51、vvf2exp)2()()(22/1xxxxxduuNudNdvvf)exp(1)()(20200(0)()1()()exp()xxxvxxvuxxxxNvdN vNNf vdvudu三、相對于三、相對于vp 的的速度分量速度分量分布與分布與速率速率分布分布 誤差函數誤差函數 若要求出分子速度若要求出分子速度x分量小于某一數值的所有分子數所占的比分量小于某一數值的所有分子數所占的比率，則可對上式積分：率，則可對上式積分：在概率論和數理統(tǒng)計中，定義下式為誤差函數在概率論和數理統(tǒng)計中，定義下式為誤差函數erf(x)：它的數值可以查表：它的數值可以查表：xdxxxerf02)exp()2()(注意：

52、注意：將速度分量表示成相對于最概然速率的形式，可以得將速度分量表示成相對于最概然速率的形式，可以得到無量綱的誤差函數。到無量綱的誤差函數。誤差函數有表可查，這樣有利于在實際中處理數據誤差函數有表可查，這樣有利于在實際中處理數據解解 首先求出首先求出273 K時氮氣分子（摩爾質量時氮氣分子（摩爾質量Mm=0.028 kg）的）的最概然速率：最概然速率：14022smMRTvmp2402800pxxvvu2022)2()exp()1()0(erfduuNvNxxx例例2.2 試求在標準狀態(tài)下氮氣分子速度的試求在標準狀態(tài)下氮氣分子速度的x分量小于分量小于800ms-1的的分子數占全部分子數的百分比分

53、子數占全部分子數的百分比.由表由表2.1查得查得erf（2）=0.995，故這種分子所占百分比為，故這種分子所占百分比為=49.8% 。 （二）相對于（二）相對于vp的麥克斯韋的麥克斯韋速率速率分布分布 若令若令 ，可將麥克斯韋速率分布表示為：，可將麥克斯韋速率分布表示為：duuuNdNu22)exp()4()exp()2()()0(2uuuerfNvNpvuv利用分步積分，可求得在利用分步積分，可求得在0 到到 v 范圍內的分子數為范圍內的分子數為 ：例：問速率在區(qū)間例：問速率在區(qū)間vp到到1.01vp內的分子數占總分子數的比率內的分子數占總分子數的比率？（一）、用極坐標表示射擊點分布（一）

54、、用極坐標表示射擊點分布由于由于速率是速度矢量的大小速率是速度矢量的大小，因此我們，因此我們用極坐標來表示射擊點的分布。用極坐標來表示射擊點的分布。若用相等的若用相等的r為間隔，在靶板上畫出很為間隔，在靶板上畫出很多個同心圓，數出每個圓環(huán)中的黑點數多個同心圓，數出每個圓環(huán)中的黑點數N。以以N/N r 為縱坐標，為縱坐標，r為橫坐標畫出為橫坐標畫出豎條，如右圖所示。豎條，如右圖所示。令令r 0，得到光滑曲線，它表示離靶，得到光滑曲線，它表示離靶心不同距離處存在黑點的概率心不同距離處存在黑點的概率（二）、氣體分子的速率分布（二）、氣體分子的速率分布所有分子速率介于所有分子速率介于v到到v+dv 范

55、圍內的分子的代表點都落在以原范圍內的分子的代表點都落在以原點為球心、點為球心、v 為半徑、厚度為為半徑、厚度為dv的一的一 薄層球殼中，如圖所示。薄層球殼中，如圖所示。根據分子混沌性假設，氣體分子速度沒有擇優(yōu)取向，在各個方根據分子混沌性假設，氣體分子速度沒有擇優(yōu)取向，在各個方向上應該是等概率的，說明代表點的數密度向上應該是等概率的，說明代表點的數密度D 是球對稱的，是球對稱的，D 僅是離開原點的距離僅是離開原點的距離v的函數。的函數。設代表點的數密度為設代表點的數密度為D（v），在球殼內的代表點數），在球殼內的代表點數dNv應是應是D（v）與球殼體積的乘積）與球殼體積的乘積 dvvvDdNv2

56、4)(在麥克斯韋速度分布中已指出，在速度空間中，在速度分量在麥克斯韋速度分布中已指出，在速度空間中，在速度分量vx、vy、vz附近的代表點數密度是附近的代表點數密度是 N f（vx、vy、vz），即此處的），即此處的D（v），故有：），故有： 將上式代入將上式代入 ，可以得到，可以得到這就是書上的這就是書上的Eq.(2.13) 麥克斯韋速率分布麥克斯韋速率分布. )2exp()2()(22/3kTmvkTmNdvdvdvdNvDzyxvdvvvDdNv24)(dvvkTmvkTmNdNv222/3)2exp()2(4dvvkTmvkTmdvvfNdNv222/3)2exp()2(4)(按照分子

57、混沌性假設，處于平衡態(tài)的氣體其分子數密度按照分子混沌性假設，處于平衡態(tài)的氣體其分子數密度n應處處應處處相等，但這僅在相等，但這僅在 無外力場無外力場 條件下成立。條件下成立。如果分子受到重力場、電磁場等作用，氣體分子數密度將會有如果分子受到重力場、電磁場等作用，氣體分子數密度將會有一定的空間分布一定的空間分布真實大氣的運動千變萬化，因而大氣壓強的變化也十分復雜。真實大氣的運動千變萬化，因而大氣壓強的變化也十分復雜。為研究方便，現假設大氣是為研究方便，現假設大氣是等溫的且處于平衡態(tài)等溫的且處于平衡態(tài)，則大氣壓強，則大氣壓強如何隨高度變化如何隨高度變化？（一）等溫大氣壓強公式（一）等溫大氣壓強公式

58、考慮在大氣垂直高度上考慮在大氣垂直高度上z到到z + dz，面積為，面積為A 的一薄層氣體，該氣體受力平衡的條件是：的一薄層氣體，該氣體受力平衡的條件是：gdzpdppzdzz gAdzzAdppAp)()(gdzzdp)(利用理想氣體狀態(tài)方程利用理想氣體狀態(tài)方程PVm=RT和物體的密度公式可得和物體的密度公式可得=Mm /Vm=pMm/RT ，代入，代入dp = - (z)gdz=-(pMm/RT)gdz=-(pmNA/RT)gdz =-(pm/kT)gdz ,得：得：dp/p=-mg/(kT)dz，即：，即：此處假設大氣溫度處處相等，重力加速度此處假設大氣溫度處處相等，重力加速度g不隨高度

59、變。其中不隨高度變。其中p（0）及）及p（z）分別為高度）分別為高度 0 及及 z 處大氣壓強，記住處大氣壓強，記住m/k=Mm/R。由由p=nkT，可把上式改寫為氣體分子數密度隨高度分布的公式：，可把上式改寫為氣體分子數密度隨高度分布的公式：)exp()0()(RTgzMnznm()(0)0p zzpdpmgdzpkT )exp() 0()(RTgzMpzpmgdzzdp)(二二)等溫大氣標高等溫大氣標高此此H稱為等溫大氣標高。稱為等溫大氣標高。物理含義：物理含義： （1）在高度）在高度z = H 處的大氣壓強為處的大氣壓強為z = 0處大氣壓強的處大氣壓強的 1/e=0.37倍。倍。（2）

60、如果把所有大氣分子都壓縮為環(huán)繞地球表面且密度與海如果把所有大氣分子都壓縮為環(huán)繞地球表面且密度與海平面處平面處(z=0)密度相等的一層均勻大氣層，則這一層大氣的厚密度相等的一層均勻大氣層，則這一層大氣的厚度就是度就是H（為什么？）。（為什么？）。對于地球上的大氣而言，常溫下對于地球上的大氣而言，常溫下T=300K，估算一下，估算一下H= RT/Mmg的值大約是的值大約是8.8千米千米mRTk THMgm g因指數上量綱為因指數上量綱為1，故，故 中的中的RT/Mmg 具有高度的具有高度的量綱。量綱。定義物理量定義物理量H：)exp(RTgzMm注意：注意：1.前面的計算都基于不同高度處，大氣溫度