1、2021/3/271半經(jīng)典理論:對原子進行量子化處理,而電磁場仍然是經(jīng)典場。理論是近似的,適用于無需考慮場的量子力學(xué)行為的場合,可使問題得到簡化。全量子理論:對原子和場都采用量子化處理。理論是完備的，適用于任何場合，但是當場的量子力學(xué)效應(yīng)可以忽略不計時，不利于問題簡化。能給自發(fā)輻射以理論解釋，從而能解釋激光場由真空場到穩(wěn)定場的建立過程，能研究激光場的相干性和光子統(tǒng)計性質(zhì)，等等。2021/3/2729.2 電磁輻射場的量子化 研究輻射場的量子化不必牽涉電磁相互作用,因而只需考慮真空無源區(qū)的自由輻射場。在開式的真空腔中,電磁場滿足以下Maxwell 方程組（ 是真空光速） 000 , 0, tt

2、EBHDEBBH DE001c 9.2.1 單模輻射場的量子化2021/3/2732222222222( , )( , )( , )( , )0, 0yyxxHz tHz tEz tEz tzctzct選擇Cartesian坐標系,使得單模輻射場沿z軸傳播,電場振動方向（即偏振方向）在x軸方向上,則E=(Ex, 0, 0)，磁場振動方向在y軸上H=(0, Hy, 0)，假定電磁場處于兩鏡腔內(nèi)，沿x、y軸方向變化可忽略不計，則腔中單模電磁場的波動方程為2021/3/274可用分離變量法求解以上方程,可得到( , )expi(1.2()sin 4 )xEz tAtkz即有A為振幅,為初相,k為波矢

3、,=kc為角頻率。單模場處于兩鏡腔內(nèi)，滿足駐波條件2, 1(1.2,2. 5)nnnnkncL0( , )( , )0sin0, 1,2,.xxzz LEz tEz tkLknL n(9-1)2021/3/27520( )2expi(1.26) )Q tVMAt20( , )2( )sin( 1.27) xEz tMVQ tkz其中V=LS為腔體體積,L為諧振腔的長度,S為諧振腔的橫截面積,M為歸一化因子（具有質(zhì)量量綱）定義單模電磁場的廣義坐標(具有長度量綱)則方程(9-1)可以表達為(9-2)(9-3)2021/3/276顯然廣義坐標Q(t)滿足如下諧振子方程2( )( )0Q tQ t另一

4、方面,由Maxwell方程 0 yzzyyxHHHzEt 0tHE0( , )( , )dyxHz tEz tz 和H=(0, Hy, 0)有:故2021/3/277將(9-3)式代入上式,得到20220( , )2( ) sind 2( )cosyHz tMVQ tkz zMk VQ tkz 222001kc 利用上式可以寫成0( , )2( )cos(1.28) yHz tMVQ tkz9-42021/3/278引入場的廣義動量（具有動量量綱）( )( ) (1.29)P tMQ t0(1.32( , )( )cos 0)yHz tP tkzMV光腔體積內(nèi)的電磁場能量為利用(9-4)和(9

5、-5)兩式,得到22001()d (1.2) 31xyHEHV(9-5)(9-6)(9-7)2021/3/2792222222222022222022211(sincos)d11 (sincos)dd11 (sincos)d1 ()2LLHMQkzPkzVVMMQkzPkzzSLSMnnMQzPzzLLMLPMQM將(9-3)和(9-6)式代入上式,利用駐波條件得2021/3/2710因此電磁場的哈密頓量為:222(1.321 22)PHMQM這跟質(zhì)量為M、頻率為的簡諧振子的哈密頓量相同。把Q(t)看作廣義坐標,把P(t)看作廣義動量。9.2.2 電磁場的量子化在場的量子化中,把經(jīng)典的廣義坐標

6、廣義動量共軛對Q和P換成對應(yīng)的算符,且讓它們滿足以下對易關(guān)系:(9-8)22221QMMPH2021/3/2711引入新的算符 , i (1.33)Q P 1(i )21(i )2aM QPMaM QPM ()aa或相應(yīng)的有:(), i()22MQaaPaaM , 1a a0,QQPP(9-9)(9-10)(9-11)、9-2-182021/3/2712將(9-11)和(9-8)式,電磁場的Hamiltonian算符為于是電磁場算符可以表達為:22211(), 22 2PHMQNNaMa2002( , )( )sinsin()xMEz tQ tkzkazaVV00i()2( , )( )cos

7、cosyHz tP tkzaakzMVV(9-12)、9-2-25(9-2-24)2021/3/2713并且存在著如下對易關(guān)系并且存在著如下對易關(guān)系 的本征值的本征值En表示表示 的本征值的本征值,|n表示屬于這一本征值的本征表示屬于這一本征值的本征態(tài)態(tài),則則將將 作用到態(tài)作用到態(tài) 上上,利用（利用（9-13），得），得:aaH,aaH,HHnEnaanHn)21(9-13)aHnnaEnanHanaHn(9-14)2021/3/2714將將 作用到態(tài)作用到態(tài) 上上,利用（利用（9-13）,得得:可見可見,如果如果|n為為 的本征態(tài)，則的本征態(tài)，則 ， .也是也是 的本征態(tài)，其本征值為的本征態(tài)

8、，其本征值為 ，即，若，即，若En是是 的本征值，則的本征值，則 也是也是 的本征值。的本征值。如果把能量如果把能量 看成為一個簡諧振子量子所具有的看成為一個簡諧振子量子所具有的 能能量，則算符量，則算符 的作用是減少一個簡諧振子量子，使能的作用是減少一個簡諧振子量子，使能量本征值為量本征值為En的態(tài)變?yōu)槟芰勘菊髦禐榈膽B(tài)變?yōu)槟芰勘菊髦禐?的態(tài)的態(tài)。aHna naEnaaHanaHn222) (9-15)Hna na2H,2,nnEEH,2,nnEEHa nE2021/3/2715 算符算符 稱為稱為湮滅算符湮滅算符,同理同理,對算符對算符 有有a a 算符算符 稱為產(chǎn)生算符稱為產(chǎn)生算符naEn

9、anHanaHn2naEnaanHanaHn222)(a 粒子數(shù)算符粒子數(shù)算符aaNN2021/3/27169.1.2 能量本征值（粒子數(shù)算符的本征值） N na a nn n 00 7) (1.a2 0a nn a a nn n n=則必然有n0,且當n=0時,有 這是因為引理引理1 若粒子數(shù)算符的本征值和本征態(tài)分別用n和|n表示,即有2021/3/2717 的最小本征的最小本征值值設(shè)最低能量本征態(tài)為設(shè)最低能量本征態(tài)為|0,相應(yīng)的本征值為相應(yīng)的本征值為E0,則應(yīng)滿足則應(yīng)滿足00210)21(00EaaH00aH所以所以210E可知可知 的本征值譜為的本征值譜為H)2 , 1 , 0(,)21

10、(nnEn(9-16)9-1-172021/3/2718由于粒子數(shù)算符的本征值為非負整數(shù),于是 1()21()20,1(,2.1 20)nnN na a nn nH nNnE nEnn2021/3/2719一維諧振子的能量是以一維諧振子的能量是以為單位增減的為單位增減的,即能量是即能量是一份一份的組成的一份一份的組成的,每一份能量大小為每一份能量大小為,我們稱每我們稱每一份這樣的能量單元為一個能量量子（光子）一份這樣的能量單元為一個能量量子（光子）粒子數(shù)算符即是能量量子數(shù)算符，其本征值粒子數(shù)算符即是能量量子數(shù)算符，其本征值n對應(yīng)對應(yīng)能量量子數(shù)，本征態(tài)能量量子數(shù)，本征態(tài)|n對應(yīng)能量量子數(shù)為對應(yīng)能

11、量量子數(shù)為n的量子的量子態(tài)。當態(tài)。當 n=0時，諧振子的能量不為時，諧振子的能量不為0，即諧振子存在，即諧振子存在基態(tài)能量基態(tài)能量湮滅（產(chǎn)生）算符每作用于能量本征態(tài)湮滅（產(chǎn)生）算符每作用于能量本征態(tài)|n一次，一次，能量量子數(shù)能量量子數(shù)n就會減少（增加）一個。因此它代表湮就會減少（增加）一個。因此它代表湮滅（產(chǎn)生）一個粒子（能量量子）的算符。滅（產(chǎn)生）一個粒子（能量量子）的算符。2021/3/27209.1.3 能量本征態(tài)將本征態(tài)歸一化=1,可求出它的一些表達式。一方面,粒子數(shù)算符的本征方程滿足1(1)1 , 1(1)1N nnnN nnn(1) (for 1)Na nna nn(1) (for

12、 0)Na nna nn11 (for 1)na nAnn11 (for 0)nanBnn另一方面,前面已經(jīng)給出因此有2021/3/2721其中常系數(shù) 和 根據(jù)歸一化關(guān)系求出 1nA1nB22111 11 nnnn a a nn n nnAnnAAn（忽略相位因子）22111 (1)1 11 1 nnnn aann a annBnnBBn忽（略相位因子）2021/3/2722于是1 (1)11 (0(1.21)a nn nnannnn2 3111100 , 21() 0122!1132() 0 . 33!aaaaaa根據(jù)以上遞推公式,有于是得到(1.21(2)0 !)nnan(9-17)(9-

13、18)9-1-212021/3/2723作為代表物理可觀測量的厄米算符,粒子數(shù)算符的本征態(tài)（也即能量算符的本征態(tài)）滿足正交歸一和完備性關(guān)系,即1 for , 1 0 for (1.23)mnnmnn mnnmn因此本征態(tài)集合|n可以構(gòu)成態(tài)矢量空間中的一組基矢,任意量子態(tài)可以用它展開。由于|n代表粒子數(shù)為n的量子態(tài),由基矢|n構(gòu)成的表象,稱為粒子數(shù)表象或占有數(shù)表象，又稱作Fock空間表象。(9-19)2021/3/2724于是,對于電磁場我們有(n=1, 2, 3):1 (1)11 (0)a nn nna nnnn, 1mnnn mnn1()0!nnan2021/3/2725 , 0,1,2,.

14、1()2N na a nn nnH nnn 電磁場的能量是離散化的電磁場的能量是離散化的,即能量是一份一份的組成的即能量是一份一份的組成的,每一份能量大小為每一份能量大小為 ,我們稱每一份這樣的能量單我們稱每一份這樣的能量單元為電磁場的場量子，即光子。元為電磁場的場量子，即光子。 粒子數(shù)算符即是光子數(shù)算符，其本征值粒子數(shù)算符即是光子數(shù)算符，其本征值n對應(yīng)場所包對應(yīng)場所包含的光子數(shù)，本征態(tài)含的光子數(shù)，本征態(tài)|n對應(yīng)光子數(shù)為對應(yīng)光子數(shù)為n的場量子態(tài)。的場量子態(tài)。當光子數(shù)當光子數(shù)n=0時，場的能量不為時，場的能量不為0，即場存在真空漲落，即場存在真空漲落所產(chǎn)生的所產(chǎn)生的“零點能零點能” （又稱為場的

15、基態(tài)能量）（又稱為場的基態(tài)能量） ，它，它是產(chǎn)生自發(fā)輻射的物理根源。是產(chǎn)生自發(fā)輻射的物理根源。 湮滅湮滅/產(chǎn)生算符代表湮滅產(chǎn)生算符代表湮滅/產(chǎn)生一個光子的算符。產(chǎn)生一個光子的算符。2021/3/2726由于光子數(shù)本征態(tài)是正交歸一的,可以用集合|n, n=0, 1, 2構(gòu)成一個正交歸一的基矢量組（稱為光子數(shù)表象）,一般的量子態(tài)|可以用這組基矢展開,展開的系數(shù)構(gòu)成一個列矩陣，稱為|在光子數(shù)表象下的矩陣表示。同理，任意一個算符 在光子數(shù)表象下存在矩陣表示,矩陣元為 F, ,0,1,2.mnFm F nm n2021/3/2727利用|n的正交歸一性,以及 (0,1,2.)1 (1,2,3.)11 (

16、0,1,2.)N na a nn nna nn nnannnn可知在光子數(shù)表象下,有,1,1,1, m nm nm nm annm a nnm N nm a a nn2021/3/2728光子數(shù)算符在自身表象中自然是對角矩陣,對角元為它的本征值0000.0100.1000.0020., 0200.0003.0030.0000.aa000.010.002.N2021/3/2729在粒子數(shù)本征態(tài)下,電場強度的平均值為0s0()inxn E nkz nVana即此時電場相位是完全隨機的（電場矢量方向各向同性）。光強的平均值為22200220(21sinsin()21()2)xxn Enkz nnkz

17、 nVVn EnnVaa 對空間取平均2021/3/2730 光子數(shù)為零時,存在電磁場的真空起伏（起伏的平均值為零）,使得光強不為零。 表示n個光子的光強,因此 表示單模場中一個光子的光強，而 為一個光子的光場振幅。0nV 0V 0V 在這里,雖然是針對諧振腔中的單模電磁場進行量子化,對于自由空間中的電磁場量子化也適用。無限大自由空間,可以看作是V時的情形，其中的歸一化稱為箱歸一化。2021/3/27319.2.2 多模電磁場的量子化前面已經(jīng)講述單模電磁場的量子化。多模電磁場對應(yīng)多個不同頻率的單模電磁場的疊加,它是Maxwell方程組的一般解。因此在與前面相同的條件下,多模電磁場可以表達為:其

18、中s=1, 2,而是第s個模（縱模）的廣義坐標和廣義動量200( , )( , )2( )sin( , )( , )2( )cosxxsssssssyyssssssEz tEz tMVQ tk zHz tHz tM V P tk z20( )2expi(), ( )( )sssssssssQ tVMAtP tM Q t2021/3/2732是第s模的單模電磁場, 是第s模的本征角頻率, 是第s模的波數(shù)矢量的z分量。多模電磁場的Hamiltonian對應(yīng)所有單模電磁場的Hamiltonian之和:20022( , )( )sin, ( , )( )cosssxsssyssssMEz tQ tk

19、z Hz tP tk zVM Vss c Lsskc其中 為第s模的HamiltoniansH222220011()d()22ssxsysssssPHEHVMQM222220011()d()22ssxsyssssssssPHHEHVMQM2021/3/2733量子化之后,經(jīng)典力學(xué)量換成對應(yīng)的算符,由此得到多模電磁場的Hamiltonian算符為:2221()2ssssssssPHHMQM其中 為第s模的Hamiltonian算符:sH2221()2ssssssPHMQM廣義坐標算符與廣義動量算符滿足以下對易關(guān)系:,i, ,0ssssssssQ PQ QP P2021/3/2734與單模電磁場相

20、似,引入光子的湮滅算符和產(chǎn)生算符分別如下:1(i)21(i)2ssssssssssssssaMQPMaMQPM根據(jù)坐標算符與動量算符之間的對易關(guān)系,可以求得:, , , , 0ssssssssaaaaaa2021/3/2735倒過來有:(), i()22ssssssssssMQaaPaaM把上式代入多模電磁場的Hamiltonian算符表達式,并利用產(chǎn)生算符和湮滅算符滿足的對易關(guān)系,可得到:1()2sssssHHN1 (), 2ssssssHNNa a其中:2021/3/2736用 表示第s模的粒子數(shù)算符本征態(tài),則有sn , 0,1,2.(1 2)sssssssssssssN na a nn

21、nnHnnn對于多模輻射場,假設(shè)第s個模中有ns個光子（s=1,2,ns=0,1,2）,則粒子數(shù)算符的本征態(tài)矢可以寫成所有單模本征態(tài)矢的張量積（并式矢）1212.(1,2,. , )llnnnn nnsl l 2021/3/2737則有111 . . . .iiliiiliilN nnna a nnnn nnn利用上式可得12121.(1 2).llsslsH n nnnn nn即多模電磁場的總能量等于各個單模能量之和。第s模的產(chǎn)生和湮滅算符只對第s模的本征態(tài)作用,故有1111. .1. .1.1.iiliiliiliila nnnn nnna nnnnnnn2021/3/2738利用單模本征

22、態(tài)的正交歸一關(guān)系和完備性關(guān)系,可以得到多模本征態(tài)的正交歸一和完備性關(guān)系如下:1 12 21 212121212.1l lllln nn nn nlln nnn nn n nnn nnn nn 因此可以用多模本征態(tài)構(gòu)成的基矢量組張成一個Fock空間（粒子數(shù)占有表象）,電磁場的任意一個量子狀態(tài)矢量|可以用這組基矢展開,展開系數(shù)構(gòu)成的列矩陣,稱為|在該Fock空間中的表示。具體地，有2021/3/2739展開系數(shù)模的平方1 21 21 2.12.12., .llln nnln nnln nnCn nnCn nn1 222.12.ln nnlCn nn表示在態(tài)|中,在第1模中找到n1個光子、且在第2模

23、中找到n2個光子、且在第s模中找到ns個光子的概率。電磁場算符為00( , )sin( , )cos()i()xsssysssssssEz tVk zHz takaaaVz 2021/3/2740與單模類似,我們有12122212120.021.()sin2lxslslxslssn nn En nnn nn En nnnk zV多模場的真空態(tài)指的是多模場中的每一個模都沒有光子,n1=n2=ns=0,顯然真空態(tài)的零點能為各個模的零點能之和:1, 0 0 . 0 .2ssO H OO2021/3/2741同理,在真空態(tài)下,電場場強的平均值為零,而它的平方（對應(yīng)光強）的平均值不為零2200, ()s

24、inxxsssO E OO EOVk z 對空間取平均,即得到多模場的零點起伏202xssO EOV光子數(shù)為零的電磁場基態(tài),雖然存在零點漲落,但不足以引起原子吸收一個光子而從低能級向上一能級躍遷的（實）過程發(fā)生（違背能量守恒,真空能量不為零），但是可以引起能量守恒的自發(fā)輻射發(fā)生。2021/3/2742在前面討論電磁輻射場的量子化中在前面討論電磁輻射場的量子化中,粒子數(shù)算符粒子數(shù)算符是是Hermitian算符算符,其本征值其本征值n（粒子數(shù)）對應(yīng)物（粒子數(shù)）對應(yīng)物理上的可觀測量理上的可觀測量,其本征態(tài)其本征態(tài)|n對應(yīng)光子數(shù)為對應(yīng)光子數(shù)為n的的量子態(tài)。由于光子數(shù)與場振幅的平方成正比，量子態(tài)。由于光

25、子數(shù)與場振幅的平方成正比，|n僅反映量子化電磁場的振幅方面的信息。但僅反映量子化電磁場的振幅方面的信息。但是要了解一個波場的全部信息，得知道它的頻率是要了解一個波場的全部信息，得知道它的頻率、振幅和相位（初相）。因此，下面將研究與量、振幅和相位（初相）。因此，下面將研究與量子化電磁場的相位對應(yīng)的位相算符及其特性。子化電磁場的相位對應(yīng)的位相算符及其特性。9.3 單模位相態(tài)與單模光子數(shù)態(tài)2021/3/27439.3.1 位相算符的引入初相算符（位相算符）由湮滅算符來定義:211Neai211ieNa(9-20)9-3-2由上式可得:aNei121211Naei(9-21)9-3-12021/3/2

26、744由于由于 和和 一樣不是厄米算符一樣不是厄米算符,不能作為場不能作為場的可觀察量。的可觀察量。11Nnnn注意到注意到:aa、1 21 211()()nNnn有有)0()0(01nnnnei1nneiiiee、(9-22)(9-23)2021/3/2745因此,通常把該算符的余弦函數(shù)和正弦函數(shù)取作位相算符（顯然它們都是厄米的）cosexp(i )exp( i ) 2sinexp(i )exp( i ) 2(9-24)2021/3/274601 20.01 2i0.1 201 2.1 2i01 2i.cos, sin01 20.01 2i0.001 2.001 2i.因為（h.c.表示前一

27、項的厄米共軛）1 21 21 21 2exp(i )() cos() h.c. 2exp( i )()sin()h.c111.1 2NNaaNaNa在粒子數(shù)表象下,其矩陣形式為2021/3/2747利用1 2 , , (),01a NaaNaNN 不難驗證,cos isin , ,sin icosNN 因此,粒子數(shù)算符與位相算符是不對易的,二者沒有共同的本征態(tài)。例如當場處于粒子態(tài)|n時,就不可能處于某個確定的位相態(tài)，從而當粒子數(shù)具有確定值n時（也即場的振幅有確定大小時），場所處在的相位就完全不確定，反之亦然。2021/3/2748因此,量子化場的粒子數(shù)（振幅）與相位不能同時確定。一般地,按照量

28、子力學(xué)理論,若算符滿足關(guān)系 ，則有測不準關(guān)系 , iA BC2A BC 其中A和B是相應(yīng)力學(xué)量算符的均方根誤差222()AAAAA力學(xué)量算符的均方根誤差,是量子漲落產(chǎn)生的偏差,使得力學(xué)量的測量值偏離平均值。這種誤差不是由于測量設(shè)備或測量人員造成的,而是自然界本身內(nèi)在的隨機性造成的。2021/3/2749由此可以算出量子化場的粒子數(shù)（振幅）與相位之間存在以下測不準關(guān)系11cossin, sincos22nn 上式表明,粒子數(shù)（場振幅）越確定,測量值越準確（即偏差越?。?則場的相位就越不準確，測量值偏差就越大，反之亦然。量子化場的振幅與相位不能同時確定，這是量子化電磁場與經(jīng)典電磁場之間的又一個重要

29、區(qū)別。2021/3/27509.3.2 位相算符的本征態(tài)位相態(tài)不難驗證,前面定義的兩個位相算符不對易1cos ,sin (1 2i)1()10Naa因此二者沒有共同的本征態(tài)。不過,上式左端僅有一個矩陣元不為零:0 cos ,sin 01 2i 其他的無窮多個矩陣元皆為零。因此,從極限意義上考慮,兩個位相算符具有同一本征態(tài)是可能的。2021/3/2751考慮到在經(jīng)典電磁場中,相位是一個單一的變量,不必分為cos和sin等兩種表達形式,因此不必用兩個不同的量子力學(xué)算符的本征態(tài)來表示位相態(tài)。為此，定義位相態(tài)1 20lim(1)exp(i)SsnSnn其中(S+1)-1/2是歸一化系數(shù)。2021/3/

30、2752上式右端展開系數(shù)模的平方都相等,故在位相態(tài)上（相位是確定的）,包含各種可能的光子數(shù)的幾率均相等,即光子數(shù)是完全不確定的。位相態(tài)滿足正交歸一關(guān)系，例如110lim(1)expi() lim(1)11SsmnSsnSnmm nS 110lim(1)expi( lim(1)expi (0SsmnSsnSnmm nSn ()2021/3/2753可以證明,這樣定義的位相態(tài)同時是兩種位相算符的本征態(tài)（證明從略,可參考教材第173-174頁）,即有coscos, sinsin 從而有coscos , 1,2,3.sinsinlllll 22coscoscos0, sin0 此結(jié)果僅在S+時（即光子

31、數(shù)趨于無窮大時,過渡到經(jīng)典力學(xué)）成立。2021/3/27549.3.3 單模光子數(shù)態(tài)|n對量子化輻射場,場的粒子數(shù)與位相在同一態(tài)中不能同時具有確定值。將光子算符 的本征態(tài)|n稱為單模光子數(shù)態(tài)下面計算輻射場處于單模光子數(shù)態(tài)|n時,光子數(shù)及位相的不確定量（均方偏差）。粒子數(shù)算符22, 1,2,3., 0,1,2.0lllNn NnnlnnNN 這是顯然的,因為按照量子力學(xué),力學(xué)量算符在它的本征態(tài)下測量,必有確定值。N2021/3/2755但是對于位相算符,考慮到可驗證1 21 21 2cos( ) 2, () ,1, ()()1 (0); 0 1(1110)1AAAaa anna nn nnnan

32、nNnnNcoscos0nn221 2, 0coscos1 4, 0nnnn2021/3/275622coscoscos12 sin12同理因此,當光場處于|n態(tài)且n0時,有考慮到（n0）,cos2在=02時的平均值為2222200111cosdsindcos222nn 即當電磁場處于|n態(tài)（n0）時,其光子數(shù)（因而最大振幅）有確定值,而相位可以取02之間的任意值。2021/3/2757下圖表示單模光子數(shù)態(tài)|n的振蕩電場是時間的函數(shù)（單模下每個正弦波的振蕩頻率都一樣）,最大振幅是確定的,但相位在02之間完全隨機分布,即相位是混亂的，完全不確定的。2021/3/2758對于單模光子數(shù)態(tài)|n,電場

33、算符的期望值為:2010, () 2n E nn EnnV上圖中電磁波（最大）振幅可定量地表示為21 21 2001()() 2En EnnV2010, () 2n E nn EnnV場的強度的期望值為:2002( , )( )sinsin()xME z tQ tkzkazaVV2021/3/2759電磁場在波動過程中,某一固定位置處的振幅大?。妶鍪噶看笮。┰?和最大值E0之間周期性地變化著,因此電場強度的均方根偏差為220En Enn E nE當然,當電磁場處于|n態(tài)時,它的最大振幅是確定的。此時它的相位是完全不確定的,具有在0, 2范圍內(nèi)隨機分布的相位的正弦波，平均值為零，而正弦波的最大

34、振幅（對應(yīng)光強或者光子數(shù)）是確定的。2021/3/27609.3.4 單模位相態(tài)位相算符的本征態(tài)|稱為單模位相態(tài)。在單模位相態(tài)|下,前面已經(jīng)表明,位相算符的不確定量在S時為零,即單模位相態(tài)的相位是完全確定的cossin0但是光子數(shù)是不確定的,即有10010lim(1)exp(ii) lim(1)l mi2SSsmnSssnSnmmNSN nSn2021/3/2761由此得到1202lim(1)lim(21) 6SssnSNSnS21 22211lim()612sNnSNS 因此在單模位相態(tài)|下,光子數(shù)的平均值和不確定量均為無窮大,而相對偏差為13Nn是一個有限的確定值2021/3/2762上面

35、的結(jié)果說明,當光場處于單模相位態(tài)時,與處于單模光子數(shù)態(tài)的情形剛好相反,此時電磁場具有完全確定的相位，而具有完全不確定的光子數(shù)。下圖描述了這種情況單模位相態(tài)的光場隨時間變化的情況,相位完全確定,振幅在0之間變化,因而完全不確定2021/3/2763前面的結(jié)果表明,由于光子數(shù)算符與位相算符之間不對易,量子化的電磁場的振幅與相位不能同時確定。在光子數(shù)態(tài)|n下,振幅完全確定而相位完全不確定;在位相態(tài)|下，相位完全確定而振幅完全不確定。因此這兩種態(tài)屬于兩個極端情形。對于電磁場，通常我們既需要了解一定的振幅信息，也同時需要了解一定的相位信息。下面給出的相干態(tài)就能滿足這一點。2021/3/27649.4.1

36、 相干態(tài)的定義相干態(tài)存在多種等價定義,下面把相干態(tài)定義為湮滅算符的本征態(tài)|表示相干態(tài),為本征值。由于湮滅算符不是厄米算符,因此“本征值是實數(shù)”和“本征矢是正交和完備的”這些定理不再適用。因此本征值可以為任意復(fù)數(shù),即9.4 相干態(tài)a 9.4.19.4.2ie2021/3/2765為了討論相干態(tài)的性質(zhì),利用粒子數(shù)態(tài)的完備性,將相干態(tài)用粒子數(shù)態(tài)展開 是光子數(shù)表象和相干態(tài)表象之間的變換系數(shù)。將上式代入本征方程,有左邊的求和可移動指標nn+1,則 00nnnnCnn nCn nCnnCannnn011 nCnnCnnnn00119.4.42021/3/2766將上式左乘的歸一化條件求得（忽略一個相位因子

37、） 11nCCnn所以展開系數(shù)的遞推關(guān)系 !01nCCnn1!)(!220000220*20eCnCnmmnCnmnnnm2210 eC9.4.69.4.7 !2211neCnn于是2021/3/2767因此,相干態(tài)可以表達為相干態(tài)可以由光子數(shù)態(tài)|n的適當疊加構(gòu)成nnenn021!29.4.8利用(9-18)（教材9-1-21）,將上式改寫為0212ae9.4.92021/3/27689.4.2 相干態(tài)的性質(zhì) 1、正交歸一性22*222221212121*00*2121!eeennmnmeennmnnn以及22 e9.4.109.4.11=時,=1,相干態(tài)是歸一化的。但是不同相干態(tài)之間不正交。 時,0如若| -|時,0。可以認為兩個相干態(tài)近似于正交2021/3/2769 2、相干態(tài)下的平均光子數(shù)與光子分布、相干態(tài)下的平均光子數(shù)與光子分布221120202|)!1()|(|!)|(|!)