1、第三章 推理與證明教材分析與教學(xué)建議 高2012級(jí)高二數(shù)學(xué)文科備課組 “推理與證明”是新課標(biāo)新增內(nèi)容(選修1-2第二章，選修2-2第二章)，主要包括合情推理與演繹推理、直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法三個(gè)部分（其中數(shù)學(xué)歸納法文科數(shù)學(xué)不作要求）“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過(guò)程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式本章內(nèi)容是各知識(shí)模塊中常用推理方法和論證方法的總結(jié)，推理方法與證明方法是從思維活動(dòng)中抽象出來(lái)的，是由數(shù)學(xué)思維過(guò)程凝縮而成的，是高中數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，在高中數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位和作用一、課標(biāo)要求1合情推理與演繹推理（1）結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，了解合情推理的含義，能利用歸納

2、和類(lèi)比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用（2）結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，體會(huì)演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理（3）通過(guò)具體實(shí)例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異2直接證明與間接證明（1）結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)（2）結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)3數(shù)學(xué)歸納法（文科不做要求）了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題二、課時(shí)安排1本章理科教學(xué)時(shí)間約需8課時(shí)，具體分配如下：合情推理與

3、演繹推理 約2課時(shí)直接證明與間接證明 約2課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法 約2課時(shí)小結(jié)與復(fù)習(xí) 約2課時(shí)2本章文科教學(xué)時(shí)間約需10課時(shí)，具體分配如下：合情推理與演繹推理 約4課時(shí)（+2）直接證明與間接證明 約4課時(shí)（+4）小結(jié)與復(fù)習(xí)、測(cè)試 約4課時(shí)（+2）三、教材分析與教學(xué)建議本章結(jié)合生活實(shí)例和學(xué)生已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，介紹兩種基本的推理-合情推理與演繹推理、兩類(lèi)基本的證明-直接證明與間接證明、一種特殊的方法-數(shù)學(xué)歸納法本章的內(nèi)容屬于數(shù)學(xué)思維方法的范疇，把過(guò)去滲透在具體數(shù)學(xué)內(nèi)容中的思維方法，以集中的、顯性的形式呈現(xiàn)出來(lái)，使學(xué)生更加明確這些方法，并能有意識(shí)地使用它們，以培養(yǎng)言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣（一）合情推理與演繹

4、推理1教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：了解合情推理的含義，能利用歸納和類(lèi)比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理；了解演繹推理的含義，能利用“三段論”進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理教學(xué)難點(diǎn)：用歸納和類(lèi)比進(jìn)行推理，做出猜想；用“三段論”證明問(wèn)題 2教材分析合情推理和演繹推理是數(shù)學(xué)推理的兩種基本推理形式（1）“合情推理”是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的亮點(diǎn)之一從解放后首次制定（1952年）中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱開(kāi)始，關(guān)于數(shù)學(xué)能力主要以三大能力為具體內(nèi)容；1978年增加了“培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力”，而對(duì)核心邏輯思維能力中推理的理解，僅局限在演繹和歸納兩個(gè)方面，并且不論是教材的呈現(xiàn)方式，還是教師的教學(xué)、考試都是以演繹推理和嚴(yán)格的證明為主，歸納推理沒(méi)有

5、引起足夠的重視，類(lèi)比推理更難尋其蹤影2001年7月全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）中，提出讓“學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)”合情推理首次進(jìn)入國(guó)家綱領(lǐng)性文件，這標(biāo)志著我國(guó)數(shù)學(xué)教育觀念的一次轉(zhuǎn)變，標(biāo)志著合情推理得到了應(yīng)有的重視2003年頒布的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）中，強(qiáng)調(diào)在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論的作用，而且在教材中專(zhuān)門(mén)設(shè)置了合情推理的內(nèi)容（2）歸納推理和類(lèi)比推理是合情推理的兩種常用的思維方法歸納推理是由某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者

6、由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理由于歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般，所以結(jié)論不一定可靠，只能算是一種猜想類(lèi)比推理是由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特性和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理其思維過(guò)程是從特殊到特殊，類(lèi)比的基礎(chǔ)是事物之間的相似性或某種特殊性由于類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理，因此結(jié)論不一定可靠，只能算是一種猜想合情推理具有兩大功能：一是探索一般結(jié)論，二是發(fā)現(xiàn)解題思路M是P，S是MS是P（3）演繹推理是由一般到特殊的推理，“三段論”是演繹推理的一般模式三段論由三部分構(gòu)成：（兩個(gè)前提，一個(gè)結(jié)論）大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情況；結(jié)論-根據(jù)一般原理，對(duì)

7、特殊情況做出的判斷三段論可用右邊的格式來(lái)表示用集合觀點(diǎn)就是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，則S中所有元素都具有性質(zhì)P演繹推理只要前提正確，推理的形式正確，那么推理所得結(jié)論就一定是正確的但錯(cuò)誤的前提會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論（4）合情推理與演繹推理的聯(lián)系與差異：從推理形式和推理所得結(jié)論的正確性上講，二者有差異合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類(lèi)比，然后提出猜想的推理，是由部分到整體、由個(gè)別到一般、由特殊到特殊的推理，合情推理作出的結(jié)論未必可靠，有待于進(jìn)一步證明或否定演繹推理是由一般到特殊的推理，只要前提正確，推理的形式正確，那么推理所得結(jié)論就一定是正確的正如

8、波利亞所說(shuō)：“論證推理（即演繹推理）是可靠的、無(wú)可置疑的和終決的合情推理是冒險(xiǎn)的、有爭(zhēng)議的和暫時(shí)的”從二者在認(rèn)識(shí)事物的過(guò)程中所發(fā)揮的作用的角度上講，它們又是緊密聯(lián)系，相輔相成的合情推理的結(jié)論需要演繹推理的驗(yàn)證，而演繹推理的內(nèi)容一般是通過(guò)合情推理獲得的演繹推理回答如何證明定理或命題的問(wèn)題，是“論證”的手段，而合情推理回答如何發(fā)現(xiàn)定理或命題的問(wèn)題，是發(fā)現(xiàn)的工具合情推理可以為演繹推理提供方向和思路，演繹推理可以驗(yàn)證合情推理的結(jié)論的正確性合情推理和演繹推理是數(shù)學(xué)推理的兩種基本推理形式許多重要的科學(xué)結(jié)論（包括數(shù)學(xué)的定理、法則、公式等）的發(fā)現(xiàn)往往發(fā)端于對(duì)事物的觀察、比較、歸納、類(lèi)比等，即通過(guò)合情推理提出猜

9、想，然后再通過(guò)演繹推理證明猜想正確或錯(cuò)誤對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，既要學(xué)會(huì)證明，也要學(xué)會(huì)猜想3教學(xué)建議（1）要注意結(jié)合實(shí)際例子，使學(xué)生了解合情推理的含義；（2）要通過(guò)學(xué)生學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)例子，讓學(xué)生掌握歸納推理和類(lèi)比推理的基本方法；（3）要通過(guò)數(shù)學(xué)史事，使學(xué)生認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用；（4）要通過(guò)學(xué)生學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)例子，讓學(xué)生掌握演繹推理的基本模式-“三段論”推理模式；（5）要通過(guò)反例，讓學(xué)生理解演繹推理的前提與結(jié)論之間的蘊(yùn)涵關(guān)系；（6）要通過(guò)具體實(shí)例，幫助學(xué)生了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差異，讓學(xué)生既學(xué)會(huì)猜想，又學(xué)會(huì)證明（二）直接證明與間接證明1教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)

10、學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法，了解間接證明的一種基本方法反證法；了解分析法、綜合法和反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn),結(jié)合分析法、綜合法和反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法或使用不同的證明方法解決同一問(wèn)題.2教材分析數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通過(guò)邏輯推理的方式加以證明才能得到確認(rèn)，這是數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的顯著特點(diǎn).直接證明與間接證明是兩類(lèi)基本的數(shù)學(xué)證明方法（1）綜合法的思維特征是：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法（2）分析法的思維特征是：執(zhí)果索因即從結(jié)論入手進(jìn)行反推，看看需要知道什么，最后推出一個(gè)已證的命題（定

11、義、公理、定理、公式等）或已知條件，從而得到證明很多演繹推理的證明題都是采用這種方法進(jìn)行思考的，有時(shí)也將綜合法和分析法結(jié)合起來(lái)使用（3）反證法是間接證明的一種基本方法，任何一個(gè)問(wèn)題都有正反兩面，當(dāng)直接證明有困難時(shí)，便可以考慮使用反證法反證法證題的步驟可歸結(jié)為：反設(shè)歸謬結(jié)論3教學(xué)建議（1）先講綜合法，后講分析法綜合法和分析法，是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常用的思維方式綜合法是學(xué)生使用較多、較為熟悉的一種方法分析法雖然在過(guò)去也經(jīng)常使用，但學(xué)生在理解上顯然不如綜合法那樣容易（2）要突破分析法這一教學(xué)難點(diǎn)分析法的主要困難有兩點(diǎn)：一是學(xué)生對(duì)這種證明方法的思考過(guò)程不理解；二是學(xué)生對(duì)

12、這種證明方法的表達(dá)方式不習(xí)慣突破難點(diǎn)的方法有兩點(diǎn)：一是結(jié)合具體的數(shù)學(xué)實(shí)例，讓學(xué)生感受分析法證明的可靠性，以及“要證只需證”這種表達(dá)的必要性；二是將分析法與綜合法對(duì)比著進(jìn)行講解幫助學(xué)生加深對(duì)分析法思考過(guò)程及特點(diǎn)的理解（3）通過(guò)具體的數(shù)學(xué)實(shí)例，幫助學(xué)生形成既分析又綜合的思維方式，學(xué)會(huì)將分析法與綜合法結(jié)合起來(lái)運(yùn)用結(jié)合方式有兩種：一是先用分析法探尋證題思路，再用綜合法有條理地表述證明過(guò)程；二是將分析法與綜合法結(jié)合起來(lái)，證明某些較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題（4）結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，幫助學(xué)生了解間接證明的一種基本方法反證法，了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)在必修課的教學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)使用反證法證明了一些較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題，

13、對(duì)于反證法學(xué)生并不是完全陌生的本次教學(xué)應(yīng)盡量利用學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步加深對(duì)反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)的了解一是要提煉用反證法證題的基本模式反證法證題的步驟可歸結(jié)為：反設(shè)歸謬結(jié)論其中，正確反設(shè)是用好反證法的前提，推出矛盾（歸謬）是用好反證法的關(guān)鍵反設(shè)是否正確，與邏輯知識(shí)密切相關(guān)，因此，在反證法教學(xué)前，宜先復(fù)習(xí)常用邏輯用語(yǔ)中的相關(guān)知識(shí)二是總結(jié)反證法的適用范圍反證法主要適用于以下兩種情形：要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類(lèi)討論，而從反面進(jìn)行證明，只要研究一種或很少的幾種情形（三）數(shù)學(xué)歸納法1教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：借助具體實(shí)例了

14、解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些與正整數(shù)（取無(wú)限多個(gè)值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題教學(xué)難點(diǎn)：（1）對(duì)數(shù)學(xué)歸納法基本原理的理解；（2）在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問(wèn)題的遞推關(guān)系2教材分析本節(jié)分為兩部分：第一部分主要內(nèi)容是借助具體實(shí)例歸納出數(shù)學(xué)歸納法的基本原理、步驟；第二部分的重點(diǎn)是用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題，教科書(shū)安排了兩個(gè)例題，通過(guò)證明數(shù)學(xué)命題鞏固對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的直接證明的方法在證明一些與正整數(shù)（取無(wú)限多個(gè)值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題時(shí)，數(shù)學(xué)歸納法往往是非常有用的研究工具，它通過(guò)有限個(gè)步驟的推理，證明取無(wú)限多個(gè)正整數(shù)的情形用數(shù)學(xué)歸納法證題分為

15、兩大步驟：第一步（歸納奠基）：證明當(dāng)時(shí)命題成立，其中是命題成立的初始值，不一定是自然數(shù)1這一步是論證的基本保證，是遞推的基礎(chǔ)，必須保證其真實(shí)性第二步（歸納遞推）：假設(shè)時(shí)命題成立，證明時(shí)命題也成立這一步是命題具有后續(xù)傳遞性的保證，是遞推的依據(jù)由時(shí)必須使用歸納假設(shè)，否則不算數(shù)學(xué)歸納法只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從開(kāi)始的所有正整數(shù)都成立數(shù)學(xué)歸納法雖然僅限于與正整數(shù)有關(guān)的命題，但并不是所有與正整數(shù)有關(guān)的命題都能使用數(shù)學(xué)歸納法3教學(xué)建議（1）通過(guò)遞推數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的欲望，說(shuō)明探索新的證明方法的必要性（2）分析“多米諾骨牌”全部倒下的原理遞推思想（3）給出數(shù)學(xué)歸納法的基本原理（4）結(jié)合例題，講解數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟與要求，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法證題中的“歸納奠基”和“歸納遞推”兩個(gè)步驟缺一不可（5）向?qū)W生指明數(shù)學(xué)歸納法的