1、微積分II期末模擬試卷1（滿分：100分；測試時間：100分鐘）一、填空題（3X5=15）n11、哥級數(shù)'的收斂區(qū)間為n1n22、由曲線y3x及直線y2x所圍成平面區(qū)域的面積是22xx23、改變dxfdy的積分次序12xJ4、微分方程yy2y0的通解y5、設(shè)an（2）求拋物線yx4x3及其在（0,3）和（3,0）處的切線所圍成圖形的面積。n1xn1&xndx,則極限limnan等于20n二、選擇題(3X5=15)6、定積分xxexdx的值是()。2(A)0;(B)2;(C)2e2+2;(D)3e7、一曲線在其上任意一點（x,y）處的切線斜率等于處，這曲線是（）y（A）直線;（B

2、）拋物線;(C)圓;（D）橢圓8、設(shè)函數(shù)z丫fxy,其中f可微，則()xyxy2,、2(A)2yf'(xy)(B)2yf'(xy)(C)f(xy)(D)-f(xy)xx9、設(shè)函數(shù)zfx,y的全微分為dzxdxydy,則點0,0（）A不是fx,y的連續(xù)點.B不是fx,y的極值點.C是fx,y的極大值點.D是fx,y的極小值點10、設(shè)級數(shù)nan0,且nanan1收斂，則級數(shù)an（）n1n1n1（A）收斂（B）發(fā)散（C）不定（D）與an有關(guān)三、計算題（5X10=50）11、計算下列定積分，/、23f2（1） xv4xdx；0712、計算下列多元函數(shù)微積分g為連續(xù)可微函數(shù),uf(x,x

3、y),vg(xxy),求_u,xx(2)設(shè)x2Z2yz,其中為可微函數(shù)，求一z.yy13、計算下列二重積分(1)計算xydxdy,其中D是由拋物線y2x及直線yx2所圍成的閉區(qū)域D(2)計算exydxdy,其中D是由x2D14、處理下列級數(shù),11(1) 求sin一的斂放性n1ln(n2)n15、求解下列微分方程(1) (xy2x)dx(yx2y)dy02y4所圍成的閉區(qū)域(2)求n(n1)xn的和函數(shù)n1x(2) xyyxe四、綜合題(2X10=20)x2y216、求函數(shù)fx,yxe2的極值.17、設(shè)y(x),y2(x),y3(x)都是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的特解，且Yy2不恒等y

4、2y3于常數(shù)，證明y(1G)y1(C2a)y202y3為方程的通解(其中g(shù),c2為任意常數(shù))。微積分II期末模擬試卷2(滿分：100分；測試時間：100分鐘)一、填空題(3X5=15)101sinxdx2、limlnnj(11).1X24(1二)2(1。)2用積分形式表示為n,nnn123、已知y"*)過(0,-),其上任一點處的切線斜率為xln(1x),則f(x)=4、哥級數(shù)(n1)xn的和函數(shù)為.n15、設(shè)函數(shù)zz(x,y)由方程ze2x3z2y確定，則3-z.xy二、選擇題(3X5=15)6、設(shè)an0(n1,2,),且an收斂，常數(shù)(0,-),則級數(shù)(1)n(ntan)a2nn

5、12n1n(A)絕對收斂(B)條件收斂(C)發(fā)散(D)收斂性與有關(guān)7、曲線yy(x)經(jīng)過點(0,1),且滿足微分方程y2y4x,則當(dāng)x1時，y()(A)0；(B)1；(C)2；(D)4228、設(shè)Dk是圓域D(x,y)|xy1的第k象限的部分，記1k(yx)dxdy,則Dk(A)I10(B)I20(C)I30(D)I409、設(shè)函數(shù)f(x,y)為可微函數(shù)，且對任意的*2都有一(0,4xM0,則使不等式xyf(入，、)f(x2,y2)成立的一個充分條件是(A)XX2,Yiy2(B)x1X2,Yiy2(C)XiX2,Yiy2(D)XiX2，Yiy2“、兒4tanx-4x10、設(shè)I14dx,I24dx,

6、則0x0tanx(A)I1I21.(B)1I112.(C) I2I11.(D) 1I2I1.三、計算題(5X10=50)12、計算下列定積分1 一:xarcsinx.21tdx;(2)求ycosxsinx,y0(0x一)繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積12、計算下列多元微積分(1)設(shè)zfx2y,(xy),其中f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(u)二階可導(dǎo),求f(xy,yz,zx)0,求dz.(1)試確定n3n(2)把f(x)xln(1x)0xdx展成x的哥級數(shù)。13、計算下列二重積分(1)設(shè)平面區(qū)域D是由曲線x3y,y3x,xy8所圍成，求x2dxdy.D一一,一22一(2)求二重積分xydxdy,其中

7、Dx,yx1y12,yxD14、處理下列級數(shù)n2nx1的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域。15、求解下列微分方程2xyy(y)y;(2)y2yyxeo四、綜合題(2X10=20)1x.16、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且f'(x)0,求證：F(x)f(t)dtxaa17、求曲線x3xyy3在(a,b)內(nèi)也F'(x)0.1(x0,y0)上的點到坐標(biāo)原點的最長距離和最短距離。微積分II期末模擬試卷3（滿分：100分；測試時間：100分鐘）、填空題（3X5=15）1、x=1-teu2du曲線0在（0,0）處的切線方程為2、yt2ln(2t2)xyy設(shè)zyx(1,2)3、微

8、分方程y2xy一滿足初始條件y1xx01,yx03的特解4、sin(nn1）的斂散性為n5、設(shè)D是頂點分別為0,0,1,0,1,2,0,1的直邊梯形，計算1xyd二、選擇題(3X5=15)k2,6、設(shè)1koexsinxdx,(k1,2,3)，則有(A)I1I2I3(B)13I2I1(C)I2I3I1(D)I2I1I37、設(shè)函數(shù)f連續(xù)，若F（u,v）f(x2y2)JMdxdy,其中區(qū)域y2Duv為圖中陰影部分，則一Fuf(u2)Cvf(u)Df(u)uB8、二元函數(shù)f（x,y）在點Avf(u2)0,0處可微的一個充要條件是(B)(C)(D)(叫,0f(x,y)f(0,0)0.f(x,0)f(0,

9、0)0,且1ym0f(0,y)f(0,0)0.(x,yl)m0,0f(x,y)_f(0,0)22一xy11m0fx(x,0)fx(0,0)0,且limy0fy(0,y)fy(0,0)9、設(shè)函數(shù)f(x)在(0,)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(X)0,令Unf(n),則下列結(jié)論正確的是:(A)若UiU2,則Un必收斂.(B)若UiU2,則Un必發(fā)散(C)若UiU2,則Un必收斂.(D)若UiU2,則Un必發(fā)散.10、微分方程yyx21sinx的特解形式可設(shè)為2(A) yaxbxcx(AsinxBcosx).2(B) yx(axbxcAsinxBcosx)./、2(C)yaxbxcAsinx.(D)y2.a

10、xbxcAcosx三、綜合題(7X10=70)11、求函數(shù)f(x)2X/2(x1t2t)etdt的單調(diào)區(qū)間與極值。12、222設(shè)函數(shù)uf(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足等式4V12520.xxyy2確定a,b的值，使等式在變換xay,xby下簡化0213、求微分方程y(xy)y滿足初始條件y(1)y(1)1的特解.14、將函數(shù)f1,一一在x1處展開為哥級數(shù)，并求xn1(1)n2n15、設(shè)函數(shù)y(x)由參數(shù)方程xx(t)2ln(1u)du確定，其中x(t)是初值問題蟲2texdtxt002的解.求2.xy20,當(dāng)曲線yyx過原點16、設(shè)非負(fù)函數(shù)yyxx0滿足微分方程xy時，其與直線x1及y0

11、圍成平面區(qū)域D的面積為2,求D繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。17、求證：若x+y+z=6,則x2y2z212,(x0,y0,z0).微積分II期末模擬試卷1答案12345232T11dyfdx02yx2xyc1ec2e3(1e1)167P89r10CDADA1、解.limnan1anlimn1(n1)2n12、3232x交點為(3,6）,（1,2）,取x微積分變量則3、31(3x2)2xdx3x21132x3萬2dx1/2xx22xfdy11y210dy2yfdx0,解得特征根4、該方程為二階常系數(shù)線性齊次微分方程，其特征方程為ri1/22,x2x從而通解為ycec2e。=1(1n可見(1因為3e

12、1)23n2x)2limn6、選（C）7、選亞1【分析】先用換元法計算積分，再求極限ann1,1xndx=2nxnd(11n1，nan=“m122(|x|按題意有x)dydx1(131)萬1.|x|edx00dx22xexdx2xex|22ex|22e22xydy2xdx,ii12積分得一y2,可見，該曲線是橢圓。f)2f'(xy)xxf(xy)yf'(xy)2yf'(xy).應(yīng)該選（A）.9、【答案】D【解析】因dzxdxydy可得-zx,yxy0,C1,又在（0,0）處,0,0y一_2._.一一f（x,y）的一個極小值點ACB10故(0,0)為函數(shù)zk10、A解：取

13、Sknanan1n1Sk2a2a13a3a24a4a3kakak1a°Sk1kakak1kakkSkakn1SkkSk1akn1a°S11、(1)解:2,xdx令x0%sin3t2cost2costdt32°2(cos2x2.1)costdcost則命題（A正確。2sint得”.1513iX26432(-cosx-cost)25315解：切線方程分別為y4x3和y_3_2x6,其交點坐標(biāo)是(士,3),302(4x3)dx23,八t2c、,93(2x6)dx(x24x3)dx。20412、(1)解.f1'f2'y,g'(1y).所以xx-(1

14、y)g'(f1'f2'y)xv(2)解.原式兩邊對y求導(dǎo).z一yz2z二二y一.所以yyyyy2yzi13、（1）計算xydxdy,其中D是由拋物線x及直線x2所圍成的閉區(qū)域。解：xydxdyD2y21y2xydxdy2dy43Q2y36y651(2)計算Ddxdy,其中D是由4所圍成的閉區(qū)域。解：ex2Dydxdy2er2rdr014、(1)解.因為limnln(n2).1sin一n1nlnn1,所以n11«sin和1ln(n2)n有相同的n1nlnn斂散性.又因為21.dx發(fā)放,xlnx由積分判別法知1n1nln-發(fā)散.所以原級數(shù)發(fā)散.n(2)解.limn

15、(n1)|x|n|x|1收斂.當(dāng)n(n1)及1(1)nn(n1)n1都發(fā)散.所以收斂區(qū)域為（一1,1）.n(nn11)xnxn(nn11)xn1積分二次2x(1x)3,X(-1,1)15、（1）解：變量分離得,ydyxdx一2)1x119兩邊積分得，31n（y1)1231n(x21)從而方程通解為（2）解：整理得,1一yxex,可見該方程是一階線性方程,利用公式得通解為2dxyex(1dxxdxc)1(xxexdxc)1(xexexc)。x16、【解析】：fx,y、,2.2xyxe2先求函數(shù)的駐點：令fxx,yfyx,yxyefxx2x3e-y2解得駐點為1,0,1.0.又fxy對點1,0，有

16、A1fxx1,0fyy12e±,B11,00,Gfyy1,01所以，ACB120,A0,故fx,y在點1,0處取得極大值f1,0e.11對點1Q,有A2fxx1,02e,B2fxy1,00,C2fyy1,01所以，A2c2B220,A20,故fx,y在點1,0處取得極小值f1,0e.P(x)yQ(x)yf(x)的特解,17、證明：因為y(x),y2(x),y3(x)都是方程y所以yy2和丫2y3都是方程yP(x)yQ(x)yf(x)對應(yīng)齊次方程的解,又因Yy2不恒等于常數(shù)，所以y1y2和y2'3線性無關(guān)，y2y從而對應(yīng)齊次方程的通解為YC|(y1y2)c2(y2y3),所以原

17、方程的通解為yYy1ci(y1y2)c2(y2y3)y1,即y(1G)y1(c2G)y2c2y3。微積分II期末模擬試卷2答案123454(亞1)22lnxdx1122y-(1x)ln(1x)1222x1,11x2678910ABBDB1、4(<21)原式/xx2xx.(sincos)dx|sincos-|dx0.220222xx0(cos-sin-)dxxx22(sin-cos-)|022xx2(sin-cos-)dx(cos：sin：)24(.21)222、212lnxdx【詳解】limnn1222lnn(1)(1)(1limnln(1-)(1nn).(12口)nnlimnln(11

18、)nln(12)n一(1n)nlimnn2ln(1i1A1101n(1x)dx1x2lntdt221lnxdx3、解.由題設(shè)得微分方程dydxxln(1x2)x2)d(12、.x).所以12y2(1x)1n(1212x)2(1x)c.代入初始條件，得y(0)是c=0.得特解y2(1)ln(114、解.(nn11)xnn22(n1)xx22x2.該等式(1x)2在（一1,1）中成立.當(dāng)x=1時，得到的數(shù)項級數(shù)的通項不趨于0.所以11(n1)xnn12x2，x(1x)2屬于(一1,1).【解析】利用全微分公式，得dze2x3z(2dx3dz)2dy2x3z,2edx2dy3e2x3zdz(13e2

19、x3z)dz2e2x3z,dx2dyc2x3z,2edzxwdx13e2_13e2x2e2x3z13e2x3z213e2x3z從而3x6、A解.因為an收斂，所以n1a2n收斂.n1limnn(tan-)a2nna2n.所以(ntan-)a2n和a2n有相同的斂散性.所以原級數(shù)絕對收斂.7、選毆；方程y2y4x為一階線性微分方程，其通解2dx2dxye(4xedxc)2x1ce2x0,所以曲線為y2x1,由此，當(dāng)x1時y1。8、B【詳解】由極坐標(biāo)系卜二重積分的計算可知Ik(yx)dxdyDksincosk2(k1)2k|2|k121(sincos0)r2drki21(sinsin)dT所以Ii

20、I30,I2,I42,應(yīng)該選(B).3f(x,y)x量y是單調(diào)遞減的。因此,：(D)fS0表示函數(shù)f(x,y)關(guān)于變量x是單調(diào)遞增的，關(guān)于變yxx2,yy2時，必有f(x1,y1)f(x2,y?),故選D.10、B【分析】直接計算I1,I2是困難的，可應(yīng)用不等式tanx>x,x>0.12【詳解】因為當(dāng)x>0時，有tanx>x,于是tanxtanxtanxI14dx0x4dx0tanxI1I2且I2,可排除4【評注】本題沒有必要去證明1,因為用排除法，(A),(C),(D)均不正確，剩下的(B)定為正確選項11、解:12xarcsinx2-jdx1arcsinxd,1x2

21、2V1x2arcsinx12121212(2)解:12、,J362.(cosxsinx)dx(12sinxcosx)dx解.2xf1'x2y，(xy)yf2x2y.(xy)'(xy)2xf11xf12'f2y'f12''xf22'''xyf2''f1f1所以dz(xy'')f2'2xfn''(2x2y)f12''xy()2f22''13、(1)【詳解】f3'(1f2'(1-dyy2,2,dxdyxdxdyD1(2)【解析

22、】由(x1)2(xy)dxdy所以xf1'f3'f2'f3')0，所以yf1'f2'f2'f3'(f1f3')dx(f12.xdxdyD2(y1)2d2(sinf2')dyf2'f3'cos3xdxxdy32(sin)(rcoscos2dx8x416)dy33rsin)rdr工(cos3sin2(sin0cos)8(cos3sin(sincos)(sincos)2d8(cos3sin(sincos)3d4(sincos)3d(sincos)1(sin4cos14、(1)解：令n_n3n2收斂半徑:收

23、斂區(qū)間:收斂區(qū)域:anlimnann令n2k3nnimnnn3n2nim2k132k4k收斂;故收斂區(qū)域為(2)解.見1n3n243,3n1)n1)n1,1f(x)xln(1x),dx0xn1n1x(1)dxnnn1)n13n由于n1一人，收斂，所以當(dāng)1n1時上述級數(shù)都收斂所以f(x)xln(1x),dx0x1)n1x,-1,1n15、(1)解：方程中不顯含自變量p(y)，dD、一1則yp上，代入方程得，dydp2dpdyyppp,整理得一,dyp1y積分得p-，即yyy變量分離并積分得ycjn(yG)xc2,此即為原方程的通解。(2)解：由特征方程r22r10解得特征根r1r21,xy(ax

24、b)e,所以對應(yīng)齊次方程的通解為Y(gxc2)ex°又因為xex中1不是特征根，所以可設(shè)原方程的特解為代入原方程并整理得，4ax4a4bx,1.1.1.x從而a,b,即y(x1)e°4441v所以原方程的通解為y(c1xc2)e(x1)e416、證明：因為f'(x)0,所以f(x)單減.F,(x)1(xa)2af(t)dtaf(x)=2(xa)f(t)dt+-j(xa)f(x)dt1(xa)2xaf(x)af(t)dt1517、【分析】考查的二元函數(shù)的條件極值的拉格朗日乘子法.【詳解】構(gòu)造函數(shù)L(x,y)x2y2(x3xyy31)00,得唯一駐點x1,y1,即Mi(

25、1,1).一2x(3x2y)x-L_2令一2y(3yx)y33(xxyy1考慮邊界上的點，M2(0,1),M3(1,0)；距離函數(shù)f(x,y)<x2y2在三點的取值分別為f(1,1)寸2f(0,1)1,f(1,0)1,所以最長距離為<2,最短距離為1.所以zx(1,2)(in221)1inx微積分II期末模擬試卷3答案12345y2x(in21)23y=x3x1條件收斂73678910DACDA1、【答案】y2x【解析】曳2tln(2t2)t2-2ti2出2t2dXe(1t)2(1)ti1dt所以曳2dx所以切線方程為y2x.2、【答案】-l(ln21)【詳解】設(shè)uy,v二，則zu

26、vyinu2uxyxyv1y所以vu(2)x2xy3、萬程y，中不顯含未知函數(shù)y,因此作變重代換令yp(x),則yp(x),1x代入方程得p2xp2一2、2,變重分離法解此方程得pC1(1x),即yc(1x),代入初1x3_x3xC2,代入初始條，-2始條件yx03得C13,于是y3(1x),兩邊積分得y件yx01得C1,所以所求特解為yx33x1。4、【答案】條件收斂17【解析】解.nsin(n)n(1)nsin-.n因為limnsinn1)n-所以原級數(shù)條件收斂.5、分析:ydydydx2.xdx2xdx-36、(D)由于當(dāng),2)時sinx0,可知sinxdx0,也即I1可知I1。又由于x

27、2sinxdx2ex2sinxdx3x2esinxdx，對2x2esinxdx做變量代換txsinxdx2sintdt2t2esintdt2sinxdx,*esinxdxx2xeesinxdx由于當(dāng)x(,2)時x2xsinx0,eex2esinxdx0,也即I3Ii可知I3綜上所述有I2I1I3,故選(D).7、【答案】A【詳解】用極坐標(biāo)得fu22vv一dudvdv20vfprdr1rFvfu8、C【分析】本題考查二元函數(shù)可微的充分條件的關(guān)系.利用可微的判定條件及可微與連續(xù)，偏導(dǎo)【詳解】本題也可用排除法，(A)是函數(shù)在0,0連續(xù)的定義；(B)是函數(shù)在0,0處偏導(dǎo)數(shù)存在的條件；(D)說明一階偏導(dǎo)

28、數(shù)fx(0,0),fy(0,0)存在，但不能推導(dǎo)出兩個一階偏導(dǎo)函數(shù)fx(x,y),fy(x,y)在點(0,0)處連續(xù)，所以(A)(B)(D)均不能保證f(x,y)在點0,0處可微.故應(yīng)選(C).事實上，由limf(x,y)f(0,0)0可得(x,y)0,0、x2y2limf(x,0)f(0,0)limf(x,0)f(0,0)夕°,即幻(0,0)0,同理有x0xx0,X202xfy(0,0)0.從而limof(2t2f(x)2x1edt,所以駐點為x0,1.，y)f(0,0)(fx(0,0)xfy(0,0)y)limf(x,y)f(0,0)00.根據(jù)可微的判定條件可知函數(shù)f(x,y)在

29、點0,0處可微，故應(yīng)選(C)f(X,y)f(0,0).(x)2(y)29、D【分析】本題依據(jù)函數(shù)f(x)的性質(zhì)，判斷數(shù)列unf(n).由于含有抽象函數(shù)，禾I用賦值法舉反例更易得出結(jié)果.1【詳斛】選(D).取f(x)Inx,f(x)0,u1ln10In2u2，而x1-、6八，1一f(n)Inn發(fā)散，則可排除(A)；取f(x),f(x)0,u11四，而xx4一.122f(n)=收斂，則可排除(B)；取f(x)x,f(x)20,Ui14止，而f(n)nn發(fā)散，則可排除(C);故選(D).事實上，若UiU2,則也一u1f(2)f(1)f(1)0.2121對任意x1,，因為f(x)0,所以f(x)f(1

30、)c0,對任意21,f(x)f(1)f(2)x1(x).故選(D).10、 A【詳解】對應(yīng)齊次方程yy0的特征方程為210,特征根為i,-2,0,2對yyx1e(x1)而言，因0不是特征根，從而其特解形式可設(shè)為y1ax2bxc對yysinx1mgix),因i為特征根，從而其特解形式可設(shè)為y2x(AsinxBcosx)從而yyx21sinx的特解形式可設(shè)為2yaxbxcx(AsinxBcosx)11、x2x2斛：f(x)的je義域(，)，由于f(x)x1edt1tedt,x(,1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)f(x)-0+0-0+f(x)極小極大極小列表討論如下:因此，f(x)的單調(diào)增加區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞減區(qū)間為及(1,-1)及(0,1)f(1)0,極大值為f(0)1t2tedt0e1).2u2x12、ux解：y將以上