1、1 .數(shù)形結(jié)合話數(shù)軸解讀課標數(shù)學是研究“數(shù)和“形的一門學科,從古希臘時期起,人們就已試圖把它們統(tǒng)一起來.在日常生活中我們通常對有形的東西熟悉比擬快,而對抽象的東西熟悉比擬慢,這正是現(xiàn)階段數(shù)學學習的特點,以形助數(shù)是數(shù)學學習的一個重要方法.運用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系,現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形聯(lián)系的有力工具,主要反映在：1 .利用數(shù)軸形象地表示有理數(shù)；2 .利用數(shù)軸直觀地解釋相反數(shù)；3 .利用數(shù)軸解決與絕對值有關(guān)的問題；4 .利用數(shù)軸比擬有理數(shù)的大小.問題解決例11a、b為有理數(shù),且a0,b0,ab0,將四個數(shù)a、b、a、b按由小到大的順序排列是.?時代學習報?數(shù)學文化節(jié)試題2數(shù)軸上有

2、A、B兩點,A、B之間的距離為1,點A與原點O的距離為3,那么點B對應的數(shù)是.廣西競賽題試一試對于1,賦值或借助數(shù)軸比擬大小；對于2確定A、B兩點在數(shù)軸上的位置,充分考慮A、B兩點的多種位置關(guān)系._'11M-t.»例2如圖,數(shù)軸上標出假設(shè)干個點,每相鄰兩點相距1ASCD個單位,點A、B、C、D對應的數(shù)分別是整數(shù)a、b、c、d,且d2a10,那么數(shù)軸的原點應是.A.A點B.B點C.C點D.D點江蘇省競賽題試一試從尋找d與a的另一關(guān)系式入手.例3兩數(shù)a、b,如果a比b大,試判斷|a|與|b|的大小.試一試因a、b符號未定,故a比b大有多種情形,借助數(shù)軸可直觀全面比擬|a|與|b|

3、的大小.例4電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點K0,第一步從K0向左跳1個單位到K1,第二步由2向右跳2個單位到K2,第三步由K2向左跳3個單位到K3,第四步由K3向右跳4個單位到K4,按以上規(guī)律跳了100步時,電子跳蚤落在數(shù)軸上的點K100所表示的數(shù)恰是19.94,試求電子跳蚤白初始位置K0點所表示的數(shù).“希望杯邀請賽試題試一試設(shè)Ko點表示的數(shù)為x,把Ki、K2、L、K1O0點所表示的數(shù)用x的式子表示.例5數(shù)軸上的點A和點B之間的距離為28個單位長度,點A在原點的左邊,距離原點8個單位長度,點B在原點的右邊.求A、B兩點所對應的數(shù).2數(shù)軸上點A以每秒1個單位長度出發(fā)問左運動,同時點B以每秒3個單位長度

4、的速度向左運動,在點C處追上了點A,求C點對應的數(shù).3在數(shù)軸上點M從點A出發(fā)向右運動,速度為每秒1個單位長度,同時點N從點B出發(fā)向右運動,速度為每秒2個單位長度,設(shè)線段NO的中點為PO為原點,在運動的過程中線段POAM的值是否變化假設(shè)不變,求其值；假設(shè)變化,請說明理由.分析與解對于3,設(shè)M點運動時間為t秒,把POAM用2的式子表示.（1） A、B兩點所對應的數(shù)分別為8,20;（2） C點對應的數(shù)為22;202t（3） AMt,OP10t為什么,那么POAM10tt10,即POAM的值不變.生活啟示例6李老師從油條的制作中受到啟發(fā),設(shè)計了一個數(shù)學問題.如圖,在數(shù)軸上截取從原點到1的對應點的線段A

5、B,對折后點A與點B重合,固定左端向右均勻地拉成1個單位長度的線段,這一過程稱為一次操作例如,在第一次操作后,原線段AB上的工,3均、,11、,一,變成?。?變成1；等等.那么在線段AB上除點A、點B外的點中,在第二次操作22后,求恰好被拉到與1重合的點所對應的數(shù)字之和.浙江省紹興市中考題分析捕捉問題所蘊含的信息,閱讀理解“一次操作的意義：將線段沿中點翻折,中點左側(cè)的點不動,中點右側(cè)的點翻折到左側(cè)的對應位置上,由原來的一個等分點變?yōu)閮蓚€等分點.A8厚閔1131537TTTT£TTotn+6+得,+帝+對折后o工j££R4K2XI+審曾信T拉長后;711i424.鳥

6、+號號電+帝上I對折后gj_TT收昌+專京,+拉長后5二113故在第二次操作后,恰好被拉到與1重合的點所對應白數(shù)字之和是士1.44數(shù)學沖浪知識技能廣場1 .數(shù)軸上有A、B兩點,假設(shè)點A對應的數(shù)是2,且A、B兩點的距離為3,那么點B對應的數(shù)是.2 .電影?哈利波特?中,小哈利,波特穿墻進入“9-站臺的鏡頭如示意圖中的M站4臺,構(gòu)思奇妙,能給觀眾留下深刻的印象,假設(shè)A、B站臺分別位于2,1處,AN2NB,那么N站臺用類似電影中白方法可稱為“站臺.ANBM"予-2-10910“?時代學習報?數(shù)學文化節(jié)試題3 .點A、B、P在數(shù)軸上,點B表示的數(shù)為6,AB8,AP5,那么點P表示的數(shù)是.4

7、.如下圖,按以下方法將數(shù)軸的正半軸繞在-*圭一個圓該圓周長為3個單位長,且在圓周的曲"子"勺“三等分點處分別標上了數(shù)字0、1、2九上：先讓原點與圓周上數(shù)字0所對應的點重合,再將正半軸按順時針方向繞在該圓周上,使數(shù)軸上1、2、3、4、L所對應的點分別與圓周上1、2、0、1L所對應的點重合.這樣,正半軸上的整數(shù)就與圓周上的數(shù)字建立了一種對應關(guān)系.1圓周上的數(shù)字a與數(shù)軸上的數(shù)5對應,那么a；2數(shù)軸上的一個整數(shù)點剛剛繞過圓周n圈n為正整數(shù)后,并落在圓周上數(shù)字1所對應的位置,這個整數(shù)是用含n的代數(shù)式表示.江西省中考題5 .有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如下圖：-2口-I013b,那么以下

8、各式正確的是.A. ab0B. ab0C. |a|b0D. ab020米,玩具2021年湖南省常德市中考題6 .文具店、書店、玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上,文具店在書店西店位于書店東100米處.小明從書店沿街向東走了40米,接著又向東走了60米,此時小明的位置在.A.文具店B.玩具店C.文具店西邊40米D.玩具店東60米A.9x10B.10x11C.11x12D.12x13浙江省紹興市中考題7 .將一刻度尺如下圖放在數(shù)軸上數(shù)軸的單位長度是1cm,刻度尺上的“0cm“15cm分別對應數(shù)軸上的3.6和x,那么.岫訓岫啊叫唧口卜哪排唧那唧啊IL叫刪啊唧叫郵型叫(km1231011121314

9、15一、,1,一8 .在數(shù)軸上任取一條長度為19991的線段,那么此線段在這條數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點的個數(shù)是.A.1998B.1999C.2000D.2001重慶市競賽題9 .一個跳蚤在一條直線上,從.點開始,第1次向右跳1個單位,緊接著第2次晾左跳2個單位,第3次向右跳3個單位,第4次向左跳4個單位依此規(guī)律劇下去,當它跳第100次落下時,求落點處離.點的距離用單位表示.江蘇省無錫市中考題10 .數(shù)軸上有A、B兩點,A、B之間的距離為1,點A與原點.的距離為3,求所有滿足條件的點B與原點O的距離的和.北京市“迎春杯競賽題-思維方法天地-11.在數(shù)軸上,點A、B分別表示1和1,那么線段AB的中

10、點所表示的數(shù)是.35aa12.在數(shù)軸上,表本數(shù)一2,的點M與表示數(shù)一3,的點N關(guān)于原點對稱,那么a的23值為.13.數(shù)形相伴如下圖-3-2-I.I2345,點A、B所代表的數(shù)分別為1,2,在數(shù)軸上畫出與A、B兩點的距離和為5的點并標上字母.2假設(shè)數(shù)軸上點A、B所代表的數(shù)分別為a、b,那么A、B兩點之間的距離可表示為AB|ab|,那么,當|x1|x2|7時,x*|x1|x2|5時,數(shù)X所對應的點在數(shù)軸上的位置是在?時代學習報?數(shù)學文化節(jié)試題14 .點A、B分別是數(shù)3、-在數(shù)軸上對應的點,使線段AB沿數(shù)軸向右移動為AB,2且線段AB的中點對應的數(shù)是3,那么點A對應的數(shù)是,點A移動的距離是江蘇省競賽

11、題15 .點A-、&、A3、L、Ann為正整數(shù)都在數(shù)軸上,點A在原點O的左邊,且AO1,點A在點A的右邊,且A2Al2;點A在點與的左邊,且A3A23,點A在點A的右邊,且A4A34,LL,依照上述規(guī)律,點A2021、A2021所表示的數(shù)分別為A.2021,2021B.2021,2021C.1004,1005D.1004,1004福建省泉州市中考題_1上！立IL二,16 .如圖：/BCD,數(shù)軸一上標出假設(shè)干個點,每相鄰兩點相距1個單位,點A、B、C、D對應的數(shù)分別是整數(shù)a、b、c、d,且b2a9,那么數(shù)軸的原點對應點是.D.D點一.上.1.|a|b|口°D.cbA、B、C,假

12、設(shè)|ab|bc|ac|C點左邊A.A點B.B點C.C點17 .有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖,式子|ab|bc|化簡結(jié)果為.A.2a3bcB.3bcC.bc18 .不相等的有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應點分別為那么點B.A.在A、C點右邊B.在A、C.在A、C點之間D.以上均有可能“希望杯邀請賽題19 .在數(shù)軸上,N點與O點的距離是N點與30所對應點之間的距離的4倍,那么N點表示的數(shù)是多少"CASIO杯河南省競賽題20 .數(shù)軸上有A、B、C三點,分別代表24、10、10,兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點同時相向而行.甲的速度為4個單位/秒.1問多少秒后甲到A、B、C的距離和為40

13、個單位2假設(shè)乙的速度為6個單位/秒,兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點同時相向1而行,問甲、乙在數(shù)軸上的哪個點相遇3在1、2的條件下,當甲到A、B、C的距離和為40個單位時,甲調(diào)頭返回,問甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎假設(shè)能,求出相遇點；假設(shè)不能,請說明理由.21.操作與探究對數(shù)軸上的點P進行如下操作：先把點P表示的數(shù)乘以1再把所得數(shù)對應的點向右平3移1個單位,得到點P的對應點P.點A,B在數(shù)軸上,對線段AB上的每個點進行上述操作后得到線段AB,其中,點A,B的對應點分別為AB,如下圖,假設(shè)點A表示的數(shù)是3,那么點A表示的數(shù)是假設(shè)點B表示的數(shù)是2,那么點B表示的數(shù)是;線段AB上的點E經(jīng)過上述操作后得

14、到的對應點E與點E重合,那么點E表示的數(shù)是.43*T-2-1.】2342021年北京市中考題22.一動點P從數(shù)軸上的原點出發(fā),沿數(shù)軸的正方向以每前進5個單位、后退3個單位的程序運動.點P每秒前進或后退1個單位,設(shè)xn表示第n秒點P在數(shù)軸上的位置所對應的數(shù)(如X44,X55,X54),求X2021所對應的數(shù).2.聚焦絕對值絕對值是數(shù)學中的一個根本概念,這一概念是學習相反數(shù)、有理數(shù)運算、算術(shù)根的根底；絕對值又是數(shù)學中的一個重要概念,絕對值與其他知識融合形成絕對值方程、絕對值不等式、絕對值函數(shù)等,在代數(shù)式化簡求值、解方程、解不等式等方面有廣泛的應用,理解、掌握絕對值應注意以下幾個方面：1 .脫去絕對

15、值符號是解絕對值問題的切入點脫去絕對值符號常用到相關(guān)法那么、分類討論、數(shù)形結(jié)合等知識方法2 .恰當?shù)剡\用絕對值的幾何意義從數(shù)軸上看|a|表示數(shù)a的點到原點的距離；|ab|表示數(shù)a、數(shù)b的兩點間的距離3 .靈活運用絕對值的根本性質(zhì)|a|0;|a21|a|2a2；|ab|a|b|；|a|回(ba)b|b|例1：y|xb|x20|xb20|其中0b20,bx20,那么y的最小值為.("CASIO杯河南省競賽題)試一試結(jié)合條件判斷出每一個絕對值符號內(nèi)式子的正負性,再去掉絕對值符號.一,、一abab例2式子的所有可能的值有().|a|b|ab|A.2個B.3個C.4個D.無數(shù)個試一試根據(jù)a、b

16、的符號所有可能情況,去掉絕對值符號,這是解本例的關(guān)鍵一一,111例3(1)|ab211a2|0,求ab(a1)(b1)(a2)(b2)的值.(a2005)(b2006)(“華羅庚杯香港中學競賽題)(2)設(shè)a、b、c為整數(shù),且|ab|ca|1,求|ca|ab|bc|的值.(“希望杯邀請賽試題)試一試對于(1),由非負數(shù)的性質(zhì)先導出a、b的值；對于(2),1寫成兩個非負整數(shù)的和的形式又有幾種可能企是解(2)的突破口.例4閱讀以下材料并解決有關(guān)問題：x(x0),我們知道|x|0(x0),現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式,如化x(x0).簡代數(shù)式|x1|x2|時,可令：x10和x20,分

17、別求得x1,x2(稱1,2分別為|x1|與|x2|的零點值)在有理數(shù)范圍內(nèi),零點值x1和x2可將全體有理數(shù)分成不重復且不遺漏的如下3種情況：(1)x1；(2)1x2；x2.從而化簡代數(shù)式|x1|x21可分以下3種情況：(1)當x1時,原式(x1)(x2)2x1;(2)當1x2時,原式x1(x2)3;(3)當x2時,原式x1x22x1.2x1(x1),綜上討論,原式3(1x2),2x1(x2).通過以上閱讀,請你解決以下問題：(1)分別求出|x2|和|x4|的零點值；(2)化簡代數(shù)式|x2|x4|.(云南省中考題)試一試在閱讀理解的基石上化簡求值.例5(1)當x取何值時,|x3|有最小值這個最小

18、值是多少(2)當x取何值時,5|x2|有最大值這個最大值是多少(3)求|x4|x5|的最小值.(4)求|x7|x8|x9|的最小值.分析對于(3)、(4)可先運用零點分段討論法去掉絕對值符號,再求最小值；也可利用絕對值的幾何意義,即在數(shù)軸上找一表示x的點,使之到表示4、5的點(:或表示7、8、9的點)的距離和最小.解(1)當x3時,原式有最小值,最小值為0.(2)當x2時,原式有最大值,最大值為5.(3)當4x5時,原式有最小值,最小值為1.(4)當x8時,原式有最小值,最小值為2.對于(3),給出另一種解法：當x4時,原式(x4)(x5)92x,最小值為1；當4x5時,原式x4(x5)1,最

19、小值為1；當x5時,原式x4x52x9,最小值為1.綜上所述,原式有最小值等于1.以退求進例6少年科技組制成一臺單項功能計算器,對任意兩個整數(shù)只能完成求差后再取絕對值的運算,其運算過程是：輸人第一個整數(shù)x1,只顯示不運算,接著再輸人整數(shù)*2心后那么顯示|x1x2|的結(jié)果,此后每輸入一個整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進行求差取絕對值的運算.現(xiàn)小明將從1到1991這1991個整數(shù)隨意地一個一個地輸人,全部輸入完畢之后顯示的最后結(jié)果設(shè)為P,試求出P的最大值,并說明理由.分析先考慮輸入個數(shù)較少的情形,并結(jié)合奇偶分析調(diào)整估值,一步步求出P的最大值.解由于輸入的數(shù)都是非負數(shù),當x10,x20時,|為x21不超過x1、*2中最大的數(shù),對x10,x20,x30,那么|x1x2|x3|不超過工x1、x2、x3中最大的數(shù),設(shè)小明輸入這1991個數(shù)的次序是x1,x2,為991.相當于計算：|L|xx2|*3|x1990|x1991|P,因此P的值x1991.另外從運算奇偶性分析,x1、*2為整數(shù),|x1x2|與|x1x2|奇偶性相同,因此P與xx2x1991的奇偶性相同,但xx2x1991121991偶數(shù)