1、九年級數(shù)學(xué)四點共圓例題講解知識點、重點、難點四點共圓是圓的基本內(nèi)容，它廣泛應(yīng)用于解與圓有關(guān)的問題與圓有關(guān)的問題變化多，解法靈活，綜合性強， 題型廣泛，因而歷來是數(shù)學(xué)競賽的熱點內(nèi)容。在解題中，如果圖形中蘊含著某四點在同一個圓上，或根據(jù)需要作出輔助圓使四點共圓，利用圓的有關(guān)性質(zhì)定理，則會使復(fù)雜問題變得簡單，從而使問題得到解決。因此，掌握四點共圓的方法很重要。判定四點共圓最基本的方法是圓的定義：如果A、B、C、D 四個點到定點 0 的距離相等，即 OA=OB=OC=0D，那么 A、B、C、D 四點共圓.由此，我們立即可以得出1如果兩個直角三角形具有公共斜邊，那么這兩個直角三角形的四個頂點共圓。將上述

2、判定推廣到一般情況，得：2如果四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓。3如果四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓。4如果兩個三角形有公共底邊，且在公共底邊同側(cè)又有相等的頂角，那么這兩個三角形的四個頂點共圓。運用這些判定四點共圓的方法，立即可以推出：正方形、矩形、等腰梯形的四個頂點共圓。其實，在與圓有關(guān)的定理中， 一些定理的逆定理也是成立的，它們?yōu)槲覀兲峁┝肆硪恍┳C明四點共圓的方法.這就是：AB 和 CD 相交于 E,且 AE EB=CE ED，貝 U A、B、C、D 四點共圓。P 的兩線段 PB、PD 上各有一點 A、C,且 PA PB =PC PD，貝 U A、B

3、、C、D 四點共圓。3托勒密定理的逆定理：若四邊形ABCD 中，AB CD + BC DA=AC BD，貝 U ABCD 是圓內(nèi)接四邊形。另外，證多點共圓往往是以四點共圓為基礎(chǔ)實現(xiàn)的一般可先證其中四點共圓，然后證其余各點均在這個圓上, 或者證其中某些點個個共圓，然后判斷這些圓實際是同一個圓。例題精講例 1:如圖，P ABC 內(nèi)一點，D、E、F 分別在 BC、CA、AB 上。已知 P、D、C、E 四點共圓，P、E、A、F 四點共圓，求證：B、D、P、F 四點共圓。證明連 PD、PE、PF.由于 P、D、C、F 四點共圓，所以/ BDP =/ PEC .又由于 A、E、P、F 四點共圓，所以/ P

4、EC = / AFP .于是/ BDP = / AFP，故 B、D、P、F 四點共圓。例 2:設(shè)凸四邊形 ABCD 的對角線 AC、BD 互相垂直，垂足為 E,證明：點 E 關(guān)于 AB、BC、CD、DA 的對稱點共 圓。1相交弦定理的逆定理：若兩線段2.割線定理的逆定理：若相交于點A1證明以 E 為相似中心作相似變換，相似比為丄，此變換把 E 關(guān)于 AB、BC、CD、DA 的對稱點變?yōu)?E 在 AB、BC、2CD、DA 上的射影 P、Q、R、S （如圖）只需證明 PQRS 是圓內(nèi)接四邊形。由于四邊形 ESAP、EPBQ、EQCR 及 ERDS 都是圓內(nèi)接四邊形（每個四邊形都有一組對角為直角），

5、由E、P、B、Q 共圓有/ EPQ =/ EBQ由 E、Q、C、R 共圓有/ ERQ= / ECQ，于是/ EPQ +ZERQ = / EBQ +ZECQ=90 同理可得/ EPS+ZERS =90。從而有/ SPQ+ZQRS =180。，故 PQRS 是圓內(nèi)接四邊形。例 3:梯形 ABCD 的兩條對角線相交于點 K，分別以梯形的兩腰為直徑各作一圓，點K 位于這兩個圓之外，證明:由點 K 向這兩個圓所作的切線長度相等。證明 如圖，設(shè)梯形 ABCD 的兩腰為 AB 和 CD，并設(shè) AC、BD 與相應(yīng)二圓的第二個交點分別為M、N.由于/ AMB、/ CND 是半圓上的圓周角，所以/ AM B =Z

6、CND = 90 .從而/ BMC =ZBNC=90。，故 B、M、N、C 四點共圓， 因此/ MNK=/ ACB .又/ ACB = / KAD ,所以/ MNK = / KAD .于是 M、N、D、A四點共圓，因此 KM -KA = KNKD. 由切割線定理得 K向兩已知圓所引的切線相等。例 4:如圖，A、B 為半圓 0 上的任意兩點， AC、BD 垂直于直徑 EF , BH 丄 0A,求證：DH=AC.證法一 在 BD 上取一點 A，使 AD = AC,貝 U ACDA是矩形。連結(jié) AH、AB、OB.由于 BD 丄 EF、BH 丄 OA，所以/ BDO = /BHO=90 .于是 D、B

7、,H、O 四點共圓，所以/ HOB =ZHDB .由于/ AHB = /AAB = 90,所以 A、H、A、B 四點共圓。故/ DAH =ZOAB，因此/ DHA= / OBA.而 OA = OB，所以/ OBA= / OAB，于是/ DHA =ZDAH.所以 DH = DA，故 DH = AC.證法二 設(shè)圓 O為點 D、B、H、O 四點所共的圓，過 H 作 HG 丄 DH，與圓 O交于 G（如圖），則/ AOC =ZHBD = / DGH ,GD = OB = OA.因此 Rt OAC 也 Rt GDH，故 DH = AC.證法三 因為 D、B、H、O 四點共圓，且直徑為 OB .而 Rt

8、AOC 的斜邊為 OA，利用正弦定義及正弦定理，例 5:如圖，已知銳角三角形 ABC，以 AB 為直徑的圓與 AB 邊的高線 CC及其延長線交于 M、N，以 AC 為直徑的 圓與 AC 邊的高線 BB及其延長線交于 P、Q,求證：M、N、P、Q 四點共圓。證明 設(shè) BC 上的高為 AA, ABC 的垂心為 H,貝UA在以 AB 為直徑的圓上，從而 AHXHA=MHXHN.同理 AHXHA= PHXHQ.于是 MHXHN= PHXHQ，故 M、N、P、Q 四點共圓。說明 另證：在 RtAABM 和 Rt ACP 中，AM =AC -AB, AP = AB -AC.又厶 ABBACC，有 AC -

9、AB =AB -AC .于是 AM2= AP2，即 AM =AP .但 M、N 關(guān)于 AB 對稱，P、Q 關(guān)于 AC 對稱，故 AM=AN , AP=AQ .因此 M、N、P、Q 在以A 為圓心的圓上。得OAACsin AOC,OB.由于 OA =OB,ZAOC =ZDBH，所以 DH = AC.sinDBHECO D也可由 MHXHN = BHXHB=CHXHC = PHXHQ 推出 M、N、P、Q 四點共圓。 例 6:如圖，ABCD 是圓內(nèi)接四邊形，AD、BC 的延長線交于 P, PAB 與厶 PCD 的外心、垂心分別是O1、02和H1、H2，求證：O1、O2、H1、H2四點共圓。證明 因

10、為 出是 PAB 的垂心，所以HfB+ZABP =90 .又因為02是 PCD 的外心，所以11O2PCCDP90 .而CDPCO2P，所以O(shè)2PCCDP=90.因為 A、B、C、D 四點共圓，22所以ZCDP =ZABP,所以HiPBO2PC，所以H2、Oi、P 三點共線同理可證H?、O?、P 三點共線。顯PHPO然厶 PABPCD，因此11，即PH1gPO2PH2gPO1，故01、02、H1、H2四點共圓。PH2PO2例 7:兩個等圓彼此相交，從它們的對稱中心引出兩條射線交圓周于不在同一條直線上的四個點，試證：這四個點 必在同一個圓周上。證明 如圖，設(shè)過兩圓的對稱中心 O 的二條射線為A1

11、B1、A,B2,A1、A位于第一個圓周上，而B2位于第二個圓周上。設(shè)點A3、B3和B4分別是點B2、A和A2關(guān)于點 O 的對稱點，根據(jù)相交弦定理有B3OOB1=B2OOB4.因為B3O=OA1,OB4=OA2，從而0A1OB1=OB2OA2，故A1B、A、B2四點必在同一個圓周上。例&如圖，AB 為定OO 中的定弦，作OO 的弦C1D1、C2D2、C2000D2000，對其中每一 i (i = 1, 2,，2000)CiDi都被弦 AB 平分于M：點，過 G、D 分別作OO 的切線，兩 切線交于P，求證：R、P2丄、P2000必在同一個圓周上，并指出圓心是什么點。證明 連結(jié)OCi、ODi對每一個 i（i = 1 ,2，2000），因為CiDi均被 A