1、33.2簡單的線性規(guī)劃問題第 1 課時簡單的線性規(guī)劃問題1.了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念2理解線性規(guī)劃的意義，會根據(jù)約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解線性規(guī)劃的有關(guān)概念名 稱定 義約束條件由變量 x，y 組成的不等式(方程)組線性約束條件由變量 x，y 組成的一次不等式(方程)組目標(biāo)函數(shù)關(guān)于 x，y 的函數(shù)解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于 x，y 的一次函數(shù)解析式線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題統(tǒng)稱線性規(guī)劃問題可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解1判斷(正確的打“”，錯

2、誤的打“”)(1)可行域是一個封閉的區(qū)域()(2)在線性約束條件下，最優(yōu)解是唯一的()(3)最優(yōu)解一定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解()(4)線性規(guī)劃問題一定存在最優(yōu)解()答案：(1)(2)(3)(4)2若x0，y0，xy1，則 zxy 的最大值為()A1B1C2D2答案：B3若變量 x，y 滿足約束條件xy2，x1，y0，則 z2xy 的最大值和最小值分別為()A4 和 3B4 和 2C3 和 2D2 和 0答案：B4若實數(shù) x，y 滿足xy20，x4，y5，則 Sxy 的最大值為_答案：9探究點(diǎn)一求線性目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值(1)(2015高考湖南卷)若變量 x， y 滿足約束條件xy1

3、，2xy1，y1，則 z3xy 的最小值為()A7B1C1D2(2)(2015高考全國卷)若 x，y 滿足約束條件xy20，x2y10，2xy20，則 z3xy 的最大值為_解析(1)畫出可行域，如圖中陰影部分所示目標(biāo)函數(shù) z3xy 可化為 y3xz，其斜率為 3，縱截距為z，平移直線 y3x 知當(dāng)直線 y3xz 經(jīng)過點(diǎn) A 時，其縱截距最大，z 取得最小值由y1，xy1，得 A(2，1)，故 zmin3(2)17，故選 A.(2)畫出可行域(如圖所示)因為 z3xy，所以 y3xz.所以直線 y3xz 在 y 軸上截距最大時，即直線過點(diǎn) B 時，z 取得最大值由xy20，x2y10解得 B(

4、1，1)，所以 zmax3114.答案(1)A(2)4解線性規(guī)劃問題的基本步驟(1)畫：畫出線性約束條件所表示的可行域(2)移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線(3)求：通過解方程組求出最優(yōu)解(4)答：根據(jù)所求得的最優(yōu)解得出答案1.設(shè)變量 x， y 滿足約束條件x2y2，2xy4，4xy1，則目標(biāo)函數(shù) z3xy 的取值范圍是()A.32，6B.32，1C1，6D.6，32解析：選 A. 作出可行域如圖，作直線 3xy0，并向上、向下平移由圖可得，當(dāng)直線過點(diǎn) A 時，z3xy 取最大值；當(dāng)直線過點(diǎn) B 時，z3xy 取最小值由x2y20

5、，2xy40解得 A(2，0)；由4xy10，2xy40解得 B12，3.所以 zmax3206，zmin312332.所以 z3xy 的取值范圍是32，6.探究點(diǎn)二求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值設(shè) x，y 滿足條件xy50，xy0，x3，求 vyx5的最大值與最小值解畫出滿足條件的可行域如圖所示，vyx5表示可行域內(nèi)的點(diǎn) P(x，y)與定點(diǎn) D(5，0)的斜率，由圖可知，kBD最大，kCD最小，又 C(3，8)，B(3，3)，所以 vmax33532，vmin8354.在本例條件下，求 ux2y2的最大值與最小值解：x2y2u 表示一組同心圓(圓心為原點(diǎn) O)，且對同一圓上的點(diǎn) x2y2的值都相等，

6、由圖可知：當(dāng)(x，y)在可行域內(nèi)取值時，當(dāng)且僅當(dāng)圓 O 過 C 點(diǎn)時， u 最大過(0，0)時，u最小點(diǎn) C 坐標(biāo)為(3，8)，所以 umax73，umin0.非線性目標(biāo)函數(shù)的最值的求解策略(1)z(xa)2(yb)2型的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)距離的平方；特別地，zx2y2型的目標(biāo)函數(shù)表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方(2)zybxa型的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率注意解答此類問題利用數(shù)形結(jié)合思想2.如果點(diǎn) P 在平面區(qū)域2xy20，xy20，2y10上， 點(diǎn) Q 在曲線 x2(y2)21 上，求|PQ|的最小值解：畫出不等式組2xy20，xy20，

7、2y10所表示的平面區(qū)域，x2(y2)21 所表示的曲線為以(0，2)為圓心，1 為半徑的一個圓如圖所示，只有當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn) A0，12 ，點(diǎn) Q 在點(diǎn) B(0，1)時，|PQ|取最小值32.探究點(diǎn)三已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)問題若變量 x，y 滿足約束條件yx，xy4，yk，且 z2xy 的最小值為6，則 k_解析作出不等式組yx，xy4，yk表示的平面區(qū)域， 如圖所示，由 z2xy 得 y2xz，易知當(dāng)直線 y2xz 過點(diǎn) A(k，k)時，z2xy 取得最小值，即 3k6，所以 k2.答案2含參數(shù)的線性目標(biāo)函數(shù)問題的求解策略(1)約束條件中含有參數(shù)：此時可行域是可變的，應(yīng)分情況作出可行域，結(jié)

8、合條件求出不同情況下的參數(shù)值(2)目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)：此時目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線是可變的，如果斜率一定，則對直線作平移變換； 如果斜率可變， 則要利用斜率與傾斜角間的大小關(guān)系分情況確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)的值3.已知平面區(qū)域 D 是由以 A(1，3)，B(5，2)，C(3，1)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部和邊界組成若在區(qū)域 D 上有無窮多個點(diǎn)(x，y)可使目標(biāo)函數(shù) zxmy 取得最小值，則m_解析：如圖所示易知 m0 時，不符合題意目標(biāo)函數(shù)可化為 y1mxzm.若 m0，則 z 的最小值對應(yīng)截距的最小值，可知 m1 滿足題意；若 m0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則 a 的值是()A.23B1C4D

9、.32解析：選 A. 目標(biāo)函數(shù) zaxy(a0)，可變形為 yaxz，這是斜率為 a(a0)，在 y軸上截距為z 的一組平行直線， 由圖象知， 當(dāng)直線 yaxz(a0)一部分與邊界 AC 重合時，線段 AC 上的點(diǎn)都使z 取得最小值，即 z 取得最大值，此時最優(yōu)解有無數(shù)個，所以 akAC314123，故選 A.6設(shè) x，y 滿足約束條件1x3，1xy0，則 z2xy 的最大值為_解析：作出可行域如圖陰影部分所示作直線 2xy0，并向右平移，當(dāng)平移至直線過點(diǎn) B 時，z2xy 取最大值而由x3，xy0，可得 B(3，3)所以 zmax2333.答案：37設(shè) x，y 滿足約束條件xy5，3x2y1

10、2，0 x3，0y4，則使得目標(biāo)函數(shù) z6x5y 的值最大的點(diǎn)(x，y)是_解析：畫可行域，如圖所示由 z6x5y 得 y65xz5.因為32650， x， y滿足約束條件x1，xy3，ya（x3） ，若 z2xy 的最小值為 1， 則 a等于()A.14B.12C1D2解析：選 B. 先根據(jù)約束條件畫出可行域，若 z2xy，則 y2xz， 將最大值轉(zhuǎn)化為 y 軸上的截距， 當(dāng)直線 y2xz 經(jīng)過點(diǎn) B 時， z 最小， 由x1，2xy1，得x1，y1，所以 B(1，1)將 B 點(diǎn)坐標(biāo)代入直線 ya(x3)得，a12，故選 B.2設(shè)點(diǎn) P(x，y)是不等式組y0，x2y10，xy3所表示的平面

11、區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，向量 m(1，1)，n(2，1)，點(diǎn) O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，若向量OPmn(，R)，則的取值范圍是_解析：畫出不等式組所表示的可行域，如圖中陰影部分所示由題意，可得(x，y)(1，1)(2，1)(2，)，故x2，y，令 z2(2)3()2x3y，變形得 y23xz3.當(dāng)直線 y23xz3過點(diǎn) A(1，0)時，z 取得最大值，且 zmax2；當(dāng)直線 y23xz3過點(diǎn) B(3，0)時，z 取得最小值，且 zmin6.故的取值范圍是6，2答案：6，23在約束條件x0，y0，xys，y2x4下，當(dāng) 3s5 時，求目標(biāo)函數(shù) z3x2y 的最大值的變化范圍解：如圖，由xys，y2x4，得x4s

12、，y2s4，交點(diǎn)為 B(4s，2s4)，其他各交點(diǎn)分別為 A(2，0)，C(0 ，s)，C(0，4)(1)當(dāng) 3s4 時，可行域是四邊形 OABC，此時 7zmax8；(2)當(dāng) 4s5 時，可行域是OAC，此時 zmax8.由(1)，(2)可知目標(biāo)函數(shù) z3x2y 的最大值的變化范圍是7，84(選做題)已知 x，y 滿足約束條件x1，x3y4，3x5y30.(1)求目標(biāo)函數(shù) z2xy 的最大值和最小值(2)若目標(biāo)函數(shù) zaxy 取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，求 a 的值解：作出可行域如圖所示(1)作直線 l：2xy0，并平移此直線，當(dāng)平移直線過可行域內(nèi)的 A 點(diǎn)時，z 取最小值；當(dāng)平移直線過可行域內(nèi)的 B 點(diǎn)時，z 取得最