1、-圓錐曲線的幾何性質(zhì)*yoF11F2AB一、橢圓的幾何性質(zhì)以+=1ab0為例1、ABF2的周長(zhǎng)為4a(定值)證明：由橢圓的定義即2、焦點(diǎn)PF1F2中：*yoF1F22P1SPF1F2=2SPF1F2ma*= bc3當(dāng)P在短軸上時(shí)，F(xiàn)1PF2最大證明：1在中2SPF1F2ma* =3 *yoF1F2PM當(dāng)=0時(shí) 有最小值 即F1PF2最大3、 過點(diǎn)F1作PF1F2的P的外角平分線的垂線，垂足為M ，則M 的軌跡是*2+y2=a2證明：延長(zhǎng)交于，連接由有 為中點(diǎn)=所以M的軌跡方程為 *yoF1F2P 4、以橢圓的任意焦半徑為直徑的圓，都與圓*2+y2=a2切證明：取的中點(diǎn)，連接。令圓的直徑，半徑為

2、= 圓與圓切 以橢圓的任意焦半徑為直徑的圓，都與圓*2+y2=a2切*yoF1F2PIIIR5、任一焦點(diǎn)PF1F2的切圓圓心為I，連結(jié)PI延長(zhǎng)交長(zhǎng)軸于R，則 IR：IP=e證明：證明：連接由三角形角角平分線性質(zhì)有 y*oF1F2AB6、以任一焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)準(zhǔn)線相離。證明：令到準(zhǔn)線的距離為以為直徑的圓的圓心為到準(zhǔn)線的距離為。以任一焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)準(zhǔn)線相離7、A為橢圓一定點(diǎn)，P在橢圓上，則：PA+PF2ma* =2a+AF1PA+PF2min =2a-AF1*yoF1F2PPA·證明：連接 PA+PF2ma* =2a+AF1PA+PF2min =2a-AF1*yoFA

3、83;8、A 為橢圓一定點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則PA+min = A到右準(zhǔn)線的距離證明：設(shè)到右準(zhǔn)線的距離d,由橢圓的第二定義有PA+min = = A到右準(zhǔn)線的距離.9、焦點(diǎn)PF1F2的旁心在直線 *=±a 上。證明：令I(lǐng)與PF1F2三邊所在的直線相切于M、N、A*yoF1F2PNIIA2IM 即為橢圓頂點(diǎn)。焦點(diǎn)PF1F2的旁心在直線 *=±a 上10、P是橢圓上任意一點(diǎn)，PF2的延長(zhǎng)線交右準(zhǔn)線于E，K是準(zhǔn)線上另一任意點(diǎn)，連結(jié)PK交橢圓于Q，則KF2平分EF2Q*yoF1F2EKQP證明：令P,Q到準(zhǔn)線的距離為由三角形外角平分線性質(zhì)定理有KF2平分EF2Q*yoFBA11、

4、證明：令當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直線方程為=當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，*yoFBAP12、AB是橢圓的任意一弦，P是AB中點(diǎn)，則定值證明：令 ，則，13、橢圓的短軸端點(diǎn)為B1、B2，P是橢圓上任一點(diǎn)，連結(jié)B1P、B2P分別交長(zhǎng)軸于N、M兩點(diǎn)，則有OM*ON =a2證明：*yoNMB2PB1 由于、共線 由于、N共線*yoFNA2PA1M14、橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為A1、A 2，P是橢圓上任一點(diǎn)，連結(jié)A1P、A2P并延長(zhǎng)，交一準(zhǔn)線于N、M兩點(diǎn)，則M、N與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的焦點(diǎn)角為900證明：令， 由于、共線 由于共線 M、N與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的焦點(diǎn)角為900y*oM1F2AB15、過橢圓準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作橢圓和切線，切點(diǎn)弦AB過該準(zhǔn)線對(duì)

5、應(yīng)的焦點(diǎn)。證明：設(shè)則的方程為即 必過點(diǎn)16、橢圓的光學(xué)性質(zhì)：過一焦點(diǎn)的光線經(jīng)橢圓反射后必過另一焦點(diǎn)。證明：設(shè)，則過點(diǎn)的切線：，直線的法線交軸于直線的法向量為：y*oF1F2Plm同理 同理即過一焦點(diǎn)的光線經(jīng)橢圓反射后必過另一焦點(diǎn)。1F1F2P二、雙曲線的幾何性質(zhì)均以 為例：1焦點(diǎn)三角形面積：F1F2PM*y2(2)、過作F1PF2的角平行線的重線垂足M的軌跡是F1F2Py*(3)(3)、以焦半徑為直徑作圓長(zhǎng)的焦半徑為直徑作圓與切，小的圓與外切。F1F2Ay*(4)B(4)、以焦點(diǎn)為直徑作圓與該焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交F1F2Py*(5)I(5)、焦點(diǎn)PF1F2的切圓心橫生標(biāo)為±a即與實(shí)軸的切

6、點(diǎn)一定是實(shí)軸端點(diǎn)6焦點(diǎn)弦為直徑的圓被相應(yīng)準(zhǔn)線截得圓弧所對(duì)的圓心角為定值M2arccosF1F2By*(6)CAMNF1F2Py*(7)A(7)、A為雙曲線一定點(diǎn)P為雙曲線上動(dòng)點(diǎn)=+2aF1F2Py*(8)AB(8)、如圖：A為雙曲線一定點(diǎn)，P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，等于A到右準(zhǔn)線的距離F1F2Py*(9)9、焦點(diǎn)到漸近線的距離等于bF1F2Py*(10)AB (10)、雙曲線上的任上點(diǎn)到兩漸近線的距離之積等于定值F1F2Py*(11)ABO11、P是弦AB中點(diǎn)KK定值12、P為雙線上任一點(diǎn)過P點(diǎn)作兩漸近線的平行線與漸近線圍成的平行四邊形面積等于定值abF1F2Py*(12)MONyF1F2PM*13

7、12 (13)、過P的切線平分F1PF2光學(xué)性質(zhì)即經(jīng)過一焦點(diǎn)的光線被雙曲線反射，反射光線的下長(zhǎng)線過另一焦點(diǎn)F1F2y*(14)14雙曲線與漸近線把平面分成5局部雙曲線上的點(diǎn) 漸近線上的點(diǎn)區(qū)域的點(diǎn) 區(qū)域的點(diǎn)區(qū)域的點(diǎn)過漸近線上的點(diǎn)除中心只能作一條切線，過中心無切線，沒有與兩支都相切的切線過區(qū)域的點(diǎn)作切線分別在兩支上，過區(qū)域的點(diǎn)作切線切點(diǎn)在同一支上，過區(qū)域的點(diǎn)沒切線，雙曲線的切線斜率，區(qū)域、的點(diǎn)可作弦的中點(diǎn)，中心是任意過中心的弦的中點(diǎn)，漸近線上除中心，雙曲線上，區(qū)域的點(diǎn)不可能是弦中點(diǎn)F1F2y*(15)ABDC15直線L與雙曲線的漸近線交于A、B兩點(diǎn)，與雙曲線交于C、D兩點(diǎn)，則AC=BD三、拋物線的幾何性質(zhì)均以拋物線*=-P/2Fy*AP(1) 如圖：A為拋物線一定點(diǎn)，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，等于A到準(zhǔn)線的距離(2) 過拋物線焦點(diǎn)F作弦AB，其中A*1,y1,B*2,y2則有：*=-P/2Fy*AB以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切3過拋物線頂點(diǎn)作任意互相垂直的弦OA、OB，則弦AB必過定點(diǎn)2