1、勾股定理的證明方法勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。這個定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因為這個定理太貼近人們的生活實際，以至于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討和研究它的證明下面結(jié)合幾種圖形來進(jìn)行證明。      一、傳說中畢達(dá)哥拉斯的證法（圖1） 左邊的正方形是由1個邊長為的正方形和1個邊長為的正方形以及4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為的正方形和4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。因為這兩個正方形的面積相等(邊長都是)，所以可以列出等式

2、，化簡得。 在西方，人們認(rèn)為是畢達(dá)哥拉斯最早發(fā)現(xiàn)并證明這一定理的，但遺憾的是，他的證明方法已經(jīng)失傳，這是傳說中的證明方法，這種證明方法簡單、直觀、易懂。 二、趙爽弦圖的證法（圖2） 第一種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為 的直 角三角形圍在外面形成的。因為邊長為的正方形面積加上4個直角三角形的面積等于外圍正方形的面積，所以可以列出等式，化簡得。 第二種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為 的 角三角形拼接形成的（虛線表示），不過中間缺出一個邊長為的正方形“小洞”。 因為邊長為的

3、正方形面積等于4個直角三角形的面積加上正方形“小洞”的面積，所以可以列出等式，化簡得。     這種證明方法很簡明，很直觀，它表現(xiàn)了我國古代數(shù)學(xué)家趙爽高超的證題思想和對數(shù)學(xué)的鉆研精神，是我們中華民族的驕傲。 三、美國第20任總統(tǒng)茄菲爾德的證法（圖3） 這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個直角邊為 的等腰直角三角形拼成的。因為3個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式，化簡得。 這種證明方法由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡潔，它在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。古希臘

4、數(shù)學(xué)的偉大成就：1、 使數(shù)學(xué)成為抽象性的一門科學(xué)；2、 建立了演繹證明體系，希臘成為論證數(shù)學(xué)發(fā)祥地；3、 創(chuàng)立了幾何學(xué)、三角學(xué)，奠定了數(shù)論基礎(chǔ)等；4、 萌芽了一些高等數(shù)學(xué)，如數(shù)論、極限等；5、 希臘人發(fā)現(xiàn)定理及證明，邏輯結(jié)構(gòu)嚴(yán)密，論證認(rèn)真細(xì)致，為后世樹立了樣板等；不足：如，重幾何輕代數(shù)，認(rèn)為幾何方法是數(shù)學(xué)證明唯一方法，畏于無理數(shù)的存在，而不將算術(shù)應(yīng)用于幾何；幾何作圖嚴(yán)格限制規(guī)尺。古希臘的數(shù)學(xué)方法論泰勒斯最先提出數(shù)學(xué)方法論，數(shù)學(xué)命題要加以演繹證明，在數(shù)學(xué)中要建立一般的原理好人規(guī)則，數(shù)學(xué)命題的證明就是要借助一些公理或真實性已經(jīng)確定的命題來論證某一命題真實性的思想過程。演繹證明的方法即演繹推理的方法

5、，指從一般到特殊的推理方法，其核心是三段論法，即有兩個已知判斷，推出第三個判斷，例如，平行四邊形的對角線互相平分（第一個已知一般判斷成為大前提），矩形是平行四邊形（另一個已知較特殊的判斷，成為小前提），則矩形的對角線互相平分（推出新判斷，即結(jié)論）。用演繹法證明命題使幾何由實驗階段，過渡到一門抽象的理論科學(xué)，使人類對自然的認(rèn)識由感性（或經(jīng)驗）認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，因此這是一個劃時代的貢獻(xiàn)。后來亞里士多德（公元前384前322）推出邏輯方法論，創(chuàng)建公理方法和數(shù)學(xué)證明原理，使演繹推理的方法系統(tǒng)化，建立了邏輯學(xué)。歐幾里得則在數(shù)學(xué)中實現(xiàn)了公理化，他的幾何原本奠定了古希臘數(shù)學(xué)方法論的基礎(chǔ)：采用公理法構(gòu)建數(shù)學(xué)

6、理論體系，邏輯證明是數(shù)學(xué)的基本方法。因此， 數(shù)學(xué)中的方法、發(fā)明與創(chuàng)新表現(xiàn)為提出新命題、證明未證的命題，改進(jìn)已證命題的證明，由命題構(gòu)成新的公理體系等。例如：小學(xué)三年級的搭配問題1、某女士外出旅行時帶了2件不同顏色的上衣和3條不同顏色的裙子，問：共有多少種不同的搭配方法？教師鼓勵學(xué)生用“實驗”的方法去解決問題：學(xué)生拿出了紙和筆，開始在紙上“實際地”畫出各種可能的組合。實驗表明，大多數(shù)學(xué)生都可以憑借自己的努力，單獨(dú)或合作地得出正確答案。進(jìn)而，教師又要求學(xué)生對自己的結(jié)論的正確性作出“說明”當(dāng)然，并非嚴(yán)格的論證，而主要是一種樸素的說明。作為“問題解決”的一次實踐活動，該節(jié)課較好地體現(xiàn)了“學(xué)數(shù)學(xué)就是做數(shù)學(xué)

7、”這樣一個思想，更使學(xué)生實際地體會到了“實驗”在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用。然而，我們都這一教學(xué)活動進(jìn)行反思，學(xué)生通過這一活動學(xué)到了說明？他表示，我們能否認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)掌握了相關(guān)的數(shù)學(xué)知識？因此，作為一種較好的檢驗方法，可以要求學(xué)生進(jìn)一步解決類似的問題：1、 某男士外出旅行時帶了2件不套不同的西裝和3條不同顏色的領(lǐng)帶，問：共有多少種不同的搭配方法？2、 有2個軍官和3個士兵?，F(xiàn)由1個軍官和1個士兵組成巡邏隊，問：共有多少種不同的組成方式？再例如：1、 某女士外出旅行時帶了3件不同顏色的上衣和4條不同顏色的裙子，問：共有多少種不同的搭配方法？2、 有4個軍官和5個士兵?，F(xiàn)由1個軍官和1個士兵組成巡邏隊，問：

8、共有多少種不同的組成方式？顯然，在此還是允許學(xué)生繼續(xù)采取“實驗”方法，但是，如果某個學(xué)生始終停留在“實驗和歸納”的水平，我們就不能認(rèn)為這個學(xué)生已經(jīng)掌握了相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識。因為，數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)。與上面的教學(xué)實例十分相似，就數(shù)學(xué)在古埃及、巴比倫等地的早期發(fā)展而言，人們主要通過觀察或?qū)嶒炓约皩τ诮?jīng)驗事實的簡單歸納獲得了關(guān)于真實事物或現(xiàn)象量性屬性的某些知識，但從現(xiàn)今的觀點(diǎn)看，這只能說是經(jīng)驗的知識而不能被看成真正的數(shù)學(xué)知識，因為，真正的數(shù)學(xué)知識是關(guān)于抽象的數(shù)學(xué)對象的研究，而非對于真實事物或現(xiàn)象量性屬性的直接研究。例如，就幾何的研究而言，這也就是指，“三角形”具有什么性質(zhì)？“圓”具有什么性質(zhì)？而不是指，某些“三角形的事物”具有什么性質(zhì)？某些“圓形的事物”具有什么性質(zhì)？從歷史的角度看