1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義（2）一、教學(xué)內(nèi)容分析以物體受力做功為背景引入數(shù)量積的概念，使向量數(shù)量積運(yùn)算與物理知識(shí)聯(lián)系起來；向量數(shù)量積與向量的長度及夾角的關(guān)系；進(jìn)一步探究兩個(gè)向量的夾角對(duì)數(shù)量積符號(hào)的影響及有關(guān)的性質(zhì)、幾何意義和運(yùn)算律。本節(jié)內(nèi)容安排在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)必修4（A版）第二章、第4節(jié)第1課時(shí)。它是平面向量的核心內(nèi)容，向量的平行、垂直關(guān)系是向量間最基本、最重要的位置關(guān)系，而向量的夾角、距離又是向量的重要數(shù)量特征，向量的數(shù)量積恰好是解決問題的一個(gè)重要工具。本節(jié)的知識(shí)結(jié)構(gòu)：二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析本節(jié)以力對(duì)物體做功作為背景，研究平面向量的數(shù)量積。但是，學(xué)生作為初學(xué)者

2、不清楚向量數(shù)量積是數(shù)量還是向量，尋找兩向量的夾角又容易想當(dāng)然，以及對(duì)運(yùn)算律的理解和平面向量的數(shù)量積的靈活應(yīng)用。通過情景創(chuàng)設(shè)、探究和思考引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知、理解并掌握相關(guān)的內(nèi)容。利用向量數(shù)量積運(yùn)算討論一些幾何元素的位置關(guān)系、距離和角，這些刻畫幾何元素（點(diǎn)、線、面）之間度量關(guān)系的基本量學(xué)生容易混淆。利用數(shù)量積運(yùn)算來反映向量的長度和兩個(gè)向量間夾角的關(guān)系解決問題，是學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)又是難點(diǎn)。由向量的線性運(yùn)算遷移、引申到向量的乘法運(yùn)算這是個(gè)很自然的過渡，深入淺出、符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也有利于明確本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望。三、設(shè)計(jì)思想高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純

3、地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生樂于參與到探索性和創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)活動(dòng)中來，這是新課程數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)還明確提出了提高學(xué)生的知識(shí)與技能、重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過程與方法，培養(yǎng)學(xué)生的情感態(tài)度、價(jià)值觀的三維目標(biāo)。為此，結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)中注重過程、方法，注重引導(dǎo)學(xué)生自覺去看書，不斷提出問題，研究問題，并解決問題。重視在師生，生生互動(dòng)、交流的過程中滲透情感態(tài)度與價(jià)值觀。四、教學(xué)目標(biāo)通過師生互動(dòng)、學(xué)生的自主探究，（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；（2）掌握向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，會(huì)進(jìn)行

4、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；（3）能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系；（4）通過向量的線性運(yùn)算及多項(xiàng)式乘法運(yùn)算的對(duì)照，強(qiáng)化學(xué)生的類比思想；通過數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律的靈活應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生從特殊到一般的能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣。五、教材重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積的概念和性質(zhì)；用平面向量數(shù)量積表示向量的模及向量的夾角；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律的探究及應(yīng)用。難點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積的定義及對(duì)運(yùn)算律的探究、理解；平面向量數(shù)量積的靈活應(yīng)用。六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)情景1問題 回憶物理中“功”的計(jì)算，它的大小與哪些量有關(guān)？ 結(jié)合向量的學(xué)習(xí)你有什么想法？若一個(gè)物體在力的作

5、用下產(chǎn)生的位移為，那么力所做的功等于多少？ 設(shè)計(jì)意圖以物理問題為背景，初步認(rèn)識(shí)向量的數(shù)量積，為引入向量的數(shù)量積的概念做鋪墊。師生互動(dòng) 生： （其中是和的夾角）。師：功是一個(gè)矢量還是標(biāo)量？它的大小由那些量來確定？顯然功是一個(gè)標(biāo)量，它由力和位移兩個(gè)向量來確定。從中我們得到一個(gè)啟發(fā)：能否將功看成是兩個(gè)“向量相乘”的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？從而得出平面向量的“數(shù)量積”的概念。 情景21、定義向量數(shù)量積。弄清定義中涉及哪些量？它們有怎樣的關(guān)系？運(yùn)算結(jié)果是向量還是數(shù)量？2、如何確定兩個(gè)非零向量的數(shù)量積的符號(hào)，什么情況下值為零？ 設(shè)計(jì)意圖使學(xué)生從感性到理性去認(rèn)知數(shù)量積的定義。通過對(duì)概念的認(rèn)識(shí)、分析和探究，使學(xué)生加

6、深理解，并掌握相關(guān)的性質(zhì)及幾何意義。同時(shí)加深對(duì)投影的認(rèn)識(shí)。師生互動(dòng)1、仿照物理問題建構(gòu)“數(shù)學(xué)模型”。引入“向量數(shù)量積”的概念：已知兩個(gè)非零向量與，把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：，即（其中是與的夾角）。叫做向量在方向上（在方向上）的投影。2、規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為。3、（1）數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)取決于與的夾角（）的大??；（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，它與兩個(gè)向量的長度及其夾角有關(guān)；（3）符號(hào)不能寫成或的形式；（4）找向量的夾角時(shí)，應(yīng)將兩向量的起點(diǎn)平移到同一個(gè)點(diǎn)上。4、探究其性質(zhì)：（1）（與都是非零向量）；設(shè)置情景：若，則向量與至少有一個(gè)是零向量？類比時(shí)，若或。而且此性質(zhì)在解

7、決有關(guān)線段垂直問題時(shí)具有很好的作用。（2）當(dāng)向量與共線同向時(shí)，；當(dāng)向量與共線反向時(shí)，。特別地或（與二次根式性質(zhì)：進(jìn)行類比）。這是求向量長度的又一重要方法。情景3由學(xué)生自主學(xué)習(xí)來完成書本例題1。設(shè)計(jì)意圖通過計(jì)算鞏固對(duì)數(shù)量積定義的理解。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)和的大小關(guān)系進(jìn)行一般的研究比較。師生互動(dòng)從例1容易得出性質(zhì)和數(shù)量積的幾何意義。情景4給學(xué)生分鐘時(shí)間，閱讀教材，并對(duì)前面所學(xué)的內(nèi)容及研究方法作一個(gè)歸納小結(jié)。設(shè)計(jì)意圖培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力和及時(shí)進(jìn)行歸納小結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。把課堂還給學(xué)生，體現(xiàn)師生間的合作探究，不管是老師還是課件，都是為學(xué)生服務(wù)的，都在同步配合學(xué)生的學(xué)習(xí)和探索。師生互動(dòng)學(xué)生通過自主閱讀、總結(jié)并發(fā)表

8、自己的看法，老師可以有針對(duì)性進(jìn)行學(xué)習(xí)方法點(diǎn)撥并指出對(duì)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行及時(shí)反思的重要性。情景5 運(yùn)算律和運(yùn)算是緊密相聯(lián)的，類比實(shí)數(shù)運(yùn)算中的運(yùn)算律，探究平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律。設(shè)計(jì)意圖 通過類比、探究使學(xué)生得出數(shù)量積的運(yùn)算律，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和研究問題的能力。師生互動(dòng) 1、回顧實(shí)數(shù)運(yùn)算中有關(guān)乘法的運(yùn)算律。類比數(shù)量積的運(yùn)算律，體會(huì)不同運(yùn)算的運(yùn)算律不盡相同，需要研究。已知向量、和實(shí)數(shù)，則 2、對(duì)向量數(shù)量積的運(yùn)算律進(jìn)一步研究，（1）成立嗎？顯然，等式左邊與向量共線，右邊與向量共線，而向量與不一定共線，因此結(jié)論不一定成立；（2）由能否推出？（反例：當(dāng)時(shí)，有。但不能得到）。結(jié)合實(shí)數(shù)，有進(jìn)行類比，辯析。3

9、、老師可以通過學(xué)生的討論進(jìn)行糾錯(cuò)，理解不同的運(yùn)算具有不同的運(yùn)算律，體會(huì)到數(shù)學(xué)的法則與法則之間的區(qū)別與聯(lián)系。同時(shí)注意利用學(xué)生錯(cuò)誤這一重要的資源，讓學(xué)生更容易找到易錯(cuò)點(diǎn)和易混點(diǎn)，從而更清晰、準(zhǔn)確地掌握知識(shí)。情景6例2、例3、例4的教學(xué)。設(shè)計(jì)意圖1、要求學(xué)生體會(huì)實(shí)際解題中運(yùn)算律的作用，比較向量運(yùn)算與多項(xiàng)式乘法運(yùn)算的異曲同工；2、學(xué)會(huì)利用數(shù)量積來解決有關(guān)垂直問題，體會(huì)運(yùn)算律帶來的優(yōu)越性。3、上面幾個(gè)例題，層層遞進(jìn)，都是把較難的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的較易的標(biāo)準(zhǔn)問題，體現(xiàn)了知識(shí)和方法上的轉(zhuǎn)化。師生互動(dòng)1、老師可以將例題內(nèi)容與多項(xiàng)式乘法運(yùn)算進(jìn)行類比；2、讓學(xué)生自己體會(huì)用數(shù)量積將“幾何問題”化歸為方程問題來求解

10、的簡練，進(jìn)一步體現(xiàn)向量的工具作用。 情景7課后反思：讓學(xué)生回顧總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容及探究、解決問題的方法。設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生整理相關(guān)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，使得“知識(shí)系統(tǒng)性、技能熟練性”得到更加充分體現(xiàn)，體會(huì)所學(xué)知識(shí)的引入基礎(chǔ)及探究、解決問題時(shí)用到的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生思考問題、分析問題、解決問題的能力。七、教學(xué)反思本節(jié)課教學(xué)效果不錯(cuò)，主要是把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交還給學(xué)生，注意學(xué)生的主動(dòng)探索、思考及師生互動(dòng)，還以物理知識(shí)為背景，建立了數(shù)學(xué)的平面向量數(shù)量積的概念和運(yùn)算。使得學(xué)習(xí)內(nèi)容直觀、生動(dòng)，抓住重點(diǎn)。使學(xué)生懂得對(duì)已有的知識(shí)進(jìn)行遷移、采用類比的方法讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)合作交流，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)

11、表達(dá)和交流的能力。在課堂中會(huì)體現(xiàn)自我，學(xué)會(huì)自己尋找解題的突破口，在探究中學(xué)會(huì)思考，在合作中學(xué)會(huì)推進(jìn)，在觀察中學(xué)會(huì)比較，進(jìn)而推進(jìn)整個(gè)教學(xué)程序的展開。但自我感覺 “講”的還是偏多了一點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生解題中出現(xiàn)的錯(cuò)誤這一資源展開、分析得不夠，以后應(yīng)該更加注意引導(dǎo)。龍巖二中蘇元東點(diǎn)評(píng)：平面向量的數(shù)量積與數(shù)的乘法既有區(qū)別又有聯(lián)系。教材中以物體受力做功為背景，引出向量數(shù)量積的概念。功是一個(gè)標(biāo)量，它用力和位移兩個(gè)向量來定義，反映在數(shù)學(xué)上就是向量的數(shù)量積。蘇老師在教學(xué)設(shè)計(jì)中，注重知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程的展現(xiàn)，從數(shù)學(xué)和物理兩個(gè)角度創(chuàng)設(shè)問題情景，通過數(shù)量積的幾何意義使學(xué)生從代數(shù)和幾何兩個(gè)方面對(duì)數(shù)量積的“質(zhì)變”特征有了更充分的認(rèn)識(shí)。以問題設(shè)計(jì)為導(dǎo)向，以知識(shí)為載體，引導(dǎo)學(xué)生積極