1、四、立體幾何一、選擇題1.（重慶理9）高為的四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，點S、A、B、C、D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點S之間的距離為A B C1 D【答案】C2.（浙江理4）下列命題中錯誤的是A如果平面，那么平面內一定存在直線平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面內一定不存在直線垂直于平面C如果平面，平面，那么D如果平面，那么平面內所有直線都垂直于平面【答案】D3.（四川理3），是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是A， B，C，共面 D，共點，共面【答案】B【解析】A答案還有異面或者相交，C、D不一定4.（陜西理5）某幾何體的三視圖如圖所示，則

2、它的體積是ABCD【答案】A5.（浙江理3）若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是【答案】D6.（山東理11）右圖是長和寬分別相等的兩個矩形給定下列三個命題：存在三棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如下圖；存在四棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖；存在圓柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖其中真命題的個數(shù)是A3 B2 C1 D0【答案】A7.（全國新課標理6）。在一個幾何體的三視圖中，正視圖與俯視圖如右圖所示，則相應的側視圖可以為【答案】D8.（全國大綱理6）已知直二面角 ，點A，AC，C為垂足，B，BD，D為垂足若AB=2，AC=BD=1，則D到平面ABC的距離等于A B C D1 【

3、答案】C9.（全國大綱理11）已知平面截一球面得圓M，過圓心M且與成二面角的平面截該球面得圓N若該球面的半徑為4，圓M的面積為4，則圓N的面積為332正視圖側視圖俯視圖圖1A7 B9 C11 D13【答案】D10.（湖南理3）設圖1是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為ABCD【答案】B11.（江西理8）已知，是三個相互平行的平面平面，之間的距離為，平面，之間的距離為直線與，分別相交于，那么“=”是“”的 A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】C12.（廣東理7）如圖13，某幾何體的正視圖（主視圖）是平行四邊形，側視圖（左視圖）和俯視圖都是矩形，則該

4、幾何體的體積為A B C D【答案】B13.（北京理7）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中，最大的是A8 B C10 D【答案】C14.（安徽理6）一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（A）48 （B）32+8 （C）48+8 （D）80【答案】C15.（遼寧理8）。如圖，四棱錐SABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結論中不正確的是（A）ACSB（B）AB平面SCD（C）SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角（D）AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角【答案】D16.（遼寧理12）。已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點，AB=

5、，則棱錐SABC的體積為（A） （B）（C）（D）1【答案】C17（上海理17）設是空間中給定的5個不同的點，則使成立的點的個數(shù)為 A0 B1 C5 D10 【答案】B二、填空題18.（上海理7）若圓錐的側面積為，底面積為，則該圓錐的體積為 ?！敬鸢浮?9.（四川理15）如圖，半徑為R的球O中有一內接圓柱當圓柱的側面積最大是，求的表面積與改圓柱的側面積之差是 【答案】【解析】時，則20.（遼寧理15）一個正三棱柱的側棱長和底面邊長相等，體積為，它的三視圖中的俯視圖如右圖所示，左視圖是一個矩形，則這個矩形的面積是 【答案】21.（天津理10）一個幾何體的三視圖如右圖所示（單位：），則該幾何體的體

6、積為_【答案】22.（全國新課標理15）。已知矩形ABCD的頂點都在半徑為4的球O的球面上，且AB=6，BC=，則棱錐O-ABCD的體積為_【答案】23.（湖北理14）如圖，直角坐標系所在的平面為，直角坐標系（其中軸一與軸重合）所在的平面為，。（）已知平面內有一點，則點在平面內的射影的坐標為 （2，2） ；（）已知平面內的曲線的方程是，則曲線在平面內的射影的方程是 ?！敬鸢浮?4.（福建理12）三棱錐P-ABC中，PA底面ABC，PA=3，底面ABC是邊長為2的正三角形，則三棱錐P-ABC的體積等于_?！敬鸢浮咳⒔獯痤}25.（江蘇16）如圖，在四棱錐中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，B

7、AD=60°，E、F分別是AP、AD的中點求證：（1）直線EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關系，考察空間想象能力和推理論證能力。滿分14分。證明：（1）在PAD中，因為E、F分別為AP，AD的中點，所以EF/PD.又因為EF平面PCD，PD平面PCD，所以直線EF/平面PCD.（2）連結DB，因為AB=AD，BAD=60°，所以ABD為正三角形，因為F是AD的中點，所以BFAD.因為平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BF平面PAD。又因為BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.26

8、.（安徽理17）如圖，為多面體，平面與平面垂直，點在線段上，OAB，,，都是正三角形。（）證明直線；（II）求棱錐FOBED的體積。本題考查空間直線與直線，直線與平面、平面與平面的位置關系，空間直線平行的證明，多面體體積的計算等基本知識，考查空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力.（I）（綜合法）證明：設G是線段DA與EB延長線的交點. 由于OAB與ODE都是正三角形，所以=，OG=OD=2，同理，設是線段DA與線段FC延長線的交點，有又由于G和都在線段DA的延長線上，所以G與重合.=在GED和GFD中，由=和OC，可知B和C分別是GE和GF的中點，所以BC是GEF的中位線，故BCEF.（向

9、量法）過點F作，交AD于點Q，連QE，由平面ABED平面ADFC，知FQ平面ABED，以Q為坐標原點，為軸正向，為y軸正向，為z軸正向，建立如圖所示空間直角坐標系.由條件知則有所以即得BCEF. （II）解：由OB=1，OE=2，而OED是邊長為2的正三角形，故所以過點F作FQAD，交AD于點Q，由平面ABED平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐FOBED的高，且FQ=，所以27.（北京理16） 如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.()求證：平面（）若求與所成角的余弦值；（）當平面與平面垂直時，求的長. 證明：（）因為四邊形ABCD是菱形，所以ACBD.又因為PA平面ABCD.所以PABD.所以B

10、D平面PAC.（）設ACBD=O.因為BAD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如圖，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系Oxyz，則P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）.所以設PB與AC所成角為，則.（）由（）知設P（0，t）（t>0），則設平面PBC的法向量,則所以令則所以同理，平面PDC的法向量因為平面PCB平面PDC,所以=0，即解得所以PA=28.（福建理20） 如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，四邊形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，CD=，（I）求證：平面PAB平面PAD；（II）設AB=AP （i）若直線PB

11、與平面PCD所成的角為，求線段AB的長； （ii）在線段AD上是否存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等？說明理由。本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、抽象根據能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想，滿分14分。解法一：（I）因為平面ABCD，平面ABCD，所以，又所以平面PAD。又平面PAB，所以平面平面PAD。（II）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系Axyz（如圖）在平面ABCD內，作CE/AB交AD于點E，則在中，DE=，設AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t）由

12、AB+AD=4，得AD=4-t，所以，（i）設平面PCD的法向量為，由，得取，得平面PCD的一個法向量，又，故由直線PB與平面PCD所成的角為，得解得（舍去，因為AD），所以（ii）假設在線段AD上存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等，設G（0，m，0）（其中）則，由得，（2）由（1）、（2）消去t，化簡得（3）由于方程（3）沒有實數(shù)根，所以在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點P，C，D的距離都相等。從而，在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等。解法二：（I）同解法一。（II）（i）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系Axyz（如圖）在平面ABCD

13、內，作CE/AB交AD于E，則。在平面ABCD內，作CE/AB交AD于點E，則在中，DE=，設AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，設平面PCD的法向量為，由，得取，得平面PCD的一個法向量，又，故由直線PB與平面PCD所成的角為，得解得（舍去，因為AD），所以（ii）假設在線段AD上存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等，由GC=CD，得，從而，即設，在中，這與GB=GD矛盾。所以在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點B，C，D的距離都相等，從而，在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等。29.（

14、廣東理18） 如圖5在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長為1的棱形，且DAB=60，,PB=2,E,F分別是BC,PC的中點（1） 證明：AD 平面DEF;（2） 求二面角P-AD-B的余弦值 法一：（1）證明：取AD中點G，連接PG，BG，BD。因PA=PD，有，在中，有為等邊三角形，因此，所以平面PBG又PB/EF，得，而DE/GB得AD DE，又，所以AD 平面DEF。 （2），為二面角PADB的平面角，在在法二：（1）取AD中點為G，因為又為等邊三角形，因此，從而平面PBG。延長BG到O且使得PO OB，又平面PBG，PO AD，所以PO 平面ABCD。以O為坐標原點，菱形的邊長為單位

15、長度，直線OB，OP分別為軸，z軸，平行于AD的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系。設由于得平面DEF。 （2）取平面ABD的法向量設平面PAD的法向量由取30.（湖北理18） 如圖，已知正三棱柱的各棱長都是4，是的中點，動點在側棱上，且不與點重合（）當=1時，求證：；（）設二面角的大小為，求的最小值本小題主要考查空間直線與平面的位置關系和二面角等基礎知識，同時考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力。（滿分12分） 解法1：過E作于N，連結EF。 （I）如圖1，連結NF、AC1，由直棱柱的性質知， 底面ABC側面A1C。 又度面?zhèn)让鍭，C=AC，且底面ABC， 所以側面A1C，NF為E

16、F在側面A1C內的射影，在中，=1，則由，得NF/AC1，又故。由三垂線定理知（II）如圖2，連結AF，過N作于M，連結ME。由（I）知側面A1C，根據三垂線定理得所以是二面角CAFE的平面角，即，設在中，在故又故當時，達到最小值；，此時F與C1重合。解法2：（I）建立如圖3所示的空間直角坐標系，則由已知可得于是則故（II）設，平面AEF的一個法向量為，則由（I）得F（0，4，），于是由可得取 又由直三棱柱的性質可取側面AC1的一個法向量為， 于是由為銳角可得， 所以， 由，得，即 故當，即點F與點C1重合時，取得最小值31.（湖南理19） 如圖5，在圓錐中，已知=，O的直徑,是的中點，為的中

17、點（）證明：平面平面;（）求二面角的余弦值。解法1：連結OC，因為又底面O，AC底面O，所以，因為OD，PO是平面POD內的兩條相交直線，所以平面POD，而平面PAC，所以平面POD平面PAC。（II）在平面POD中，過O作于H，由（I）知，平面所以平面PAC，又面PAC，所以在平面PAO中，過O作于G， 連接HG，則有平面OGH，從而，故為二面角BPAC的平面角。在在在在所以故二面角BPAC的余弦值為解法2：（I）如圖所示，以O為坐標原點，OB、OC、OP所在直線分別為x軸、y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，設是平面POD的一個法向量，則由，得所以設是平面PAC的一個法向量，則由，得所以得。

18、因為所以從而平面平面PAC。（II）因為y軸平面PAB，所以平面PAB的一個法向量為由（I）知，平面PAC的一個法向量為設向量的夾角為，則由圖可知，二面角BPAC的平面角與相等，所以二面角BPAC的余弦值為32.（遼寧理18） 如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（I）證明：平面PQC平面DCQ；（II）求二面角QBPC的余弦值解：如圖，以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系Dxyz. （I）依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.則所以即PQDQ，PQDC.故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，

19、所以平面PQC平面DCQ. 6分 （II）依題意有B（1，0，1），設是平面PBC的法向量，則因此可取設m是平面PBQ的法向量，則可取故二面角QBPC的余弦值為 12分33.（全國大綱理19） 如圖，四棱錐中， ,，側面為等邊三角形，（）證明：;（）求與平面所成角的大小解法一： （I）取AB中點E，連結DE，則四邊形BCDE為矩形，DE=CB=2， 連結SE，則 又SD=1，故， 所以為直角。3分 由， 得平面SDE，所以。 SD與兩條相交直線AB、SE都垂直。 所以平面SAB。6分 （II）由平面SDE知， 平面平面SED。 作垂足為F，則SF平面ABCD， 作，垂足為G，則FG=DC=1。

20、 連結SG，則， 又， 故平面SFG，平面SBC平面SFG。9分 作，H為垂足，則平面SBC。 ，即F到平面SBC的距離為 由于ED/BC，所以ED/平面SBC，E到平面SBC的距離d也有 設AB與平面SBC所成的角為， 則12分 解法二： 以C為坐標原點，射線CD為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz。設D（1，0，0），則A（2，2，0）、B（0，2，0）。又設 （I），由得故x=1。由又由即3分于是，故所以平面SAB。6分 （II）設平面SBC的法向量，則又故9分取p=2得。故AB與平面SBC所成的角為34.（全國新課標理18） 如圖，四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，底面

21、ABCD（I）證明：；（II）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值解：（）因為， 由余弦定理得從而BD2+AD2= AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD. 故 PABD（）如圖，以D為坐標原點，AD的長為單位長，射線DA為軸的正半軸建立空間直角坐標系D-，則，設平面PAB的法向量為n=（x，y，z），則 即 因此可取n=設平面PBC的法向量為m，則 可取m=（0，-1，） 故二面角A-PB-C的余弦值為 35.（山東理19） 在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形， ACB=，平面，EF，.=.（）若是線段的中點，求證：平面;（）若=,

22、求二面角-的大小19（I）證法一：因為EF/AB，F(xiàn)G/BC，EG/AC，所以由于AB=2EF，因此，BC=2FC，連接AF，由于FG/BC，在中，M是線段AD的中點，則AM/BC，且因此FG/AM且FG=AM，所以四邊形AFGM為平行四邊形，因此GM/FA。又平面ABFE，平面ABFE，所以GM/平面AB。證法二：因為EF/AB，F(xiàn)G/BC，EG/AC，所以由于AB=2EF，因此，BC=2FC，取BC的中點N，連接GN，因此四邊形BNGF為平行四邊形，所以GN/FB，在中，M是線段AD的中點，連接MN，則MN/AB，因為所以平面GMN/平面ABFE。又平面GMN，所以GM/平面ABFE。 （

23、II）解法一：因為，又平面ABCD，所以AC，AD，AE兩兩垂直，分別以AC，AD，AE所在直線為x軸、y軸和z軸，建立如圖所法的空間直角坐標系，不妨設則由題意得A（0，0，0，），B（2，-2，0），C（2，0，0，），E（0，0，1），所以又所以設平面BFC的法向量為則所以取所以設平面ABF的法向量為，則所以則，所以因此二面角ABFC的大小為解法二：由題意知，平面平面ABCD，取AB的中點H，連接CH，因為AC=BC，所以，則平面ABFE，過H向BF引垂線交BF于R，連接CR，則所以為二面角ABFC的平面角。由題意，不妨設AC=BC=2AE=2。在直角梯形ABFE中，連接FH，則，又所以因

24、此在中，由于所以在中，因此二面角ABFC的大小為36.（陜西理16） 如圖，在中，是上的高，沿把折起，使。（）證明：平面  平面；（）設為的中點，求與夾角的余弦值。解（）折起前是邊上的高， 當 折起后，AD，AD，又DB，平面，AD 平面平面BDC平面ABD平面BDC。（）由 及（）知DA，DC兩兩垂直，不防設=1，以D為坐標原點，以所在直線軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易得D（0,0,0），B（1,0,0），C（0,3,0），A（0,0，），E（，0），=，=（1，0,0,），與夾角的余弦值為，=37.（上海理21） 已知是底面邊長為1的正

25、四棱柱，是和的交點。（1）設與底面所成的角的大小為，二面角的大小為。求證：；（2）若點到平面的距離為，求正四棱柱的高。解：設正四棱柱的高為。 連，底面于， 與底面所成的角為，即 ，為中點，又， 是二面角的平面角，即 ，。 建立如圖空間直角坐標系，有設平面的一個法向量為， ，取得 點到平面的距離為，則。38.（四川理19） 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中 BAC=90°，AB=AC=AA1 =1D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1平面BDA（I）求證：CD=C1D：（II）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值； （）求點C到平面B1DP的距離解

26、析：（1）連接交于,又為的中點，中點，,D為的中點。（2）由題意,過B 作,連接，則,為二面角的平面角。在中，,則（3）因為，所以,在中，39.（天津理17） 如圖，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，且（）求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；（）求二面角的正弦值；（）設為棱的中點，點在平面內，且平面，求線段的長本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.滿分13分. 方法一：如圖所示，建立空間直角坐標系，點B為坐標原點. 依題意得 （I）解：易得， 于是 所以異面直線AC與A1B1所成角的

27、余弦值為 （II）解：易知 設平面AA1C1的法向量， 則即 不妨令可得， 同樣地，設平面A1B1C1的法向量， 則即不妨令，可得于是從而所以二面角AA1C1B的正弦值為 （III）解：由N為棱B1C1的中點，得設M（a，b，0），則由平面A1B1C1，得即解得故因此，所以線段BM的長為方法二：（I）解：由于AC/A1C1，故是異面直線AC與A1B1所成的角.因為平面AA1B1B，又H為正方形AA1B1B的中心，可得因此所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為（II）解：連接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，所以，過點A作于點R，連接B1R，于是，故

28、為二面角AA1C1B1的平面角.在中，連接AB1，在中，從而所以二面角AA1C1B1的正弦值為（III）解：因為平面A1B1C1，所以取HB1中點D，連接ND，由于N是棱B1C1中點，所以ND/C1H且.又平面AA1B1B，所以平面AA1B1B，故又所以平面MND，連接MD并延長交A1B1于點E，則由得，延長EM交AB于點F，可得連接NE.在中，所以可得連接BM，在中，40.（浙江理20） 如圖，在三棱錐中，D為BC的中點，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）證明：APBC；（）在線段AP上是否存在點M，使得二面角A-MC-B為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由。本題主要考查空是點、線、面位置關系，二面角等基礎知識，空間向量的應用，同時考查空間想象能力和運算求解能力。滿分15分。方法一： （I）證明：如圖，以O為原點，以射線OP為z軸的正半軸，建立空間直角坐標系Oxyz