1、例17-1 試判斷下列各系統(tǒng)的自由度，選擇描述運(yùn)動的廣義坐標(biāo)。解：（a）自由度為2，廣義坐標(biāo)，如圖（d）所示。（b）自由度為1，如圖（e）所示。（c）自由度為零。要點(diǎn)與討論判斷一個由質(zhì)點(diǎn)和剛體組成的物體系統(tǒng)的自由度，一般不采用（17-1）式，而是按照自由度數(shù)的物理意義確定。如圖（a）系統(tǒng)，先分析OA，需角確定其位置；再分析AB，OA用確定后，AB只用角便可確定，所以，整體自由度。例17-2 大圓環(huán)繞O作定軸轉(zhuǎn)動，小環(huán)P可在大環(huán)上滑動。試分析以下幾種情況的約束性質(zhì)、自由度與廣義坐標(biāo)：（1）大環(huán)上未作用外力偶，兩環(huán)在任意給定的起始條件下運(yùn)動；（2）大環(huán)上作用已知的力偶；（3）已知大環(huán)的運(yùn)動規(guī)律；（

2、4）已知。解：（1），（2）均為定常約束，系統(tǒng)自由度為2，廣義坐標(biāo)。（3），（4）均為非定常約束，系統(tǒng)自由度為：2（描述運(yùn)動的坐標(biāo)）-1（非定常約束數(shù)）=1。廣義坐標(biāo)。要點(diǎn)及討論（3），（4）情況下分別給出的與是非穩(wěn)定約束。因?yàn)樗鼈兌际菍ο到y(tǒng)運(yùn)動預(yù)加的限制條件，且此條件中顯含時間。在（1），（2）情況下，確定系統(tǒng)位置的獨(dú)立變量需兩個：，故有兩個自由度。當(dāng)（3），（4情況下，又限制了的運(yùn)動時，自由度便減為一個。當(dāng)然，在（3），（4）情況下，為了維持與，需要在大環(huán)上施加控制力矩。例17-3 兩均質(zhì)桿，均不計重，構(gòu)成曲柄滑塊機(jī)構(gòu)。今在OA桿上作用力偶，在滑塊B上作用力，使機(jī)構(gòu)處于平衡狀態(tài)，如例圖17

3、-3（a）所示。試求平衡位置角。解：1幾何法 為尋求與的關(guān)系，可找桿的速度瞬心， 將式代入系統(tǒng)為一個自由度，考慮的獨(dú)立性，有 ， 2解析法建立如圖（a）所示的坐標(biāo)Oxy，有， 考慮的獨(dú)立性，同樣有上述結(jié)果。要點(diǎn)及討論在應(yīng)用虛位移原理解題時，正確選用幾何法或解析法確定虛位移之間的關(guān)系往往很重要。本題中，兩法都可使用。這是因?yàn)楸绢}易于尋求有關(guān)速度間的幾何關(guān)系，故可用幾何法，又因?yàn)橄到y(tǒng)的平衡位置是一般的角度，位置關(guān)系式可以變分，故也可用解析法。與此相反的情況如例圖17-3（b）所示，題中幾何尺寸已知，欲求與的關(guān)系。注意，本題的平衡位置就是特定的角度，即（）。位置關(guān)系式不能變分，因而宜用幾何法。例17

4、-4 升降機(jī)構(gòu)如例圖17-4所示。，機(jī)構(gòu)的平衡位置為，試求力偶與重物間的關(guān)系。解：用解析法求解。建立坐標(biāo)如圖所示。由于安放重物的平臺做平動，作用點(diǎn)的位移與點(diǎn)相同，可寫出由的獨(dú)立性，得要點(diǎn)及討論（1）本題的機(jī)構(gòu)具有多個重復(fù)單元，使用解析法解題比幾何法優(yōu)越。（2）用虛位移原理解題時，不涉及系統(tǒng)內(nèi)部的約束力。但用幾何靜力學(xué)列寫平衡方程式時，往往需要將系統(tǒng)拆開，因而出現(xiàn)內(nèi)部約束力；由本題可以明顯看出使用虛位移原理解題的特點(diǎn)及優(yōu)越性。例17-5 已知水平力，求例圖17-5（a）所示桁架1，2兩桿的內(nèi)力。解：為求1桿內(nèi)力，將1桿解除，并代之以相應(yīng)的內(nèi)力，如圖（b）所示。這樣，結(jié)構(gòu)可繞作定軸轉(zhuǎn)動。用幾何法得

5、 又 所以 （拉力）為求2桿內(nèi)力，同樣將2桿解除，并代之以相應(yīng)的內(nèi)力，（見圖（c）。這樣，原結(jié)構(gòu)變成了平行四連桿機(jī)構(gòu)，結(jié)構(gòu)作平動。 （拉力）要點(diǎn)及討論由于結(jié)構(gòu)是無自由度的，因而無法給出符合系統(tǒng)約束的虛位移。為此，應(yīng)用解除約束原理，將非自由質(zhì)系的部分或全部約束解除，再代之以相應(yīng)的約束力，則解除約束前后的力學(xué)模型等效。這樣，將結(jié)構(gòu)化為機(jī)構(gòu)，使系統(tǒng)獲得必要的自由度，才能求解。例17-6 圖17-6（a）所示之機(jī)構(gòu)中，彈簧的剛度系數(shù)為，當(dāng)距離等于時，彈簧內(nèi)拉力為零。如在點(diǎn)作用一水平力，桿系處于平衡，求距離之值。設(shè)，桿重不計。解：時，彈簧為原長，有，時，彈簧長度為，有，故彈簧力 去掉彈簧，暴露出彈簧分別

6、作用在AB與BC上的兩力（圖b）。據(jù)虛位移原理，有 又， ， 將式，代入式由的獨(dú)立性，得要點(diǎn)及討論分析本題時，必須把彈簧去掉，暴露出彈簧作用在桿上的力。計算彈簧力的虛功時，用彈簧力與彈簧兩端相對虛位移的乘積。如果用最小勢能原理解題，則可不去掉彈簧而計入彈簧的勢能。例17-7 用例圖17-7所示機(jī)構(gòu)支承路燈。已知燈的質(zhì)量為，質(zhì)心在G。A，C為鉸鏈，為套筒。不計支承桿的質(zhì)量。當(dāng)時彈簧為原長。求當(dāng)系統(tǒng)處于平衡時，彈簧剛度應(yīng)具有的大小，并討論該平衡位置的穩(wěn)定性。解：彈簧原長，現(xiàn)長為，所以彈簧的壓縮量為。系統(tǒng)的勢能故所以系統(tǒng)在時處于穩(wěn)定平衡位置。要點(diǎn)及討論盡管幾何靜力學(xué)與分析靜力學(xué)相同的一點(diǎn)是都能解出不完全約束系統(tǒng)的平衡位置，但用前法卻無法判斷該平衡位置的穩(wěn)定性，而用后法則可以。原因是，前者“