1、橢圓1、 定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)的距離叫做焦距注意：當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓； 當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在2、 方程與圖形1. 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程圖形xy0B1B2F1F2A1A2abcx0B1B2F1F2A2abcyA1范圍頂點(diǎn)兩軸長軸，長為，a為長半軸長；短軸，長為，b為短半軸長焦點(diǎn)焦距，c稱為半焦距2. 參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)方程為的橢圓的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）3、 點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系：位置關(guān)系代數(shù)關(guān)系點(diǎn)P在橢圓外點(diǎn)P在橢圓上點(diǎn)P在橢圓內(nèi)4、 幾何性質(zhì)1對稱性：橢圓關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)都是對稱的其

2、中坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心2橢圓上任意一點(diǎn)到中心的距離d的最值：（長半軸長），（短半軸長）3橢圓上任意一點(diǎn)到（左或右）焦點(diǎn)的距離d的最值：，4P為橢圓上任意一點(diǎn)，取到最大值時(shí)P的位置在短軸的頂點(diǎn)證明：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，即P為短軸頂點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)最大5焦點(diǎn)三角形面積公式：，其中證明：，6若PQ是橢圓不平行于對稱軸的弦，M是PQ的中點(diǎn)，O是橢圓中心，則證明：設(shè)，則，兩式相減得：，而， 7橢圓在點(diǎn)處的切線方程為五、典型例題例1、在平面直角坐標(biāo)系中中，已知頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)在橢圓上，則_解答：可知正好是橢圓的左、右焦點(diǎn)，所以，又，故 例2、（04上海春考10

3、）若平移橢圓，使平移后的橢圓中心在第一象限，且它與軸、軸分別只有一個(gè)交點(diǎn)，則平移后的橢圓方程是        解答：橢圓平移后它的中心在第一象限，且橢圓與軸、軸分別只有一個(gè)交點(diǎn)，那么平移后橢圓的中心為，故平移后的橢圓方程是答案：例3、（09上海理科9/文科12）已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積為9，則        解答：設(shè)，例4、F是橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)則 的最小值為   

4、0;    解答：設(shè)另一焦點(diǎn)為，則，連，當(dāng)P是的延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值為例5、橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，是兩曲線的交點(diǎn)，則的面積為（ ）.A. B. 1 C.4 D. 解答: 不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，解得 ，+=，=.又,，=1.答案：B例6、（2005重慶）若動(dòng)點(diǎn)在曲線上變化，則的最大值為（ ）A BC D解答：方法1 三角換元法設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即，的最大值為；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)最大，即為的最大值為方法2直接法由于動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，時(shí)，取最大值；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，時(shí)，取最大值，即，的最大值為例7、橢圓上有個(gè)不同的點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為.數(shù)列是公差大于的等差數(shù)列，則

5、的最大值為 解析：由題意知，這個(gè)等差數(shù)列的最小值為右頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離1，最大值為左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離3，所以3=1+(n-1)d，所以最大值為200.例8、設(shè)點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的最大值解答：解：，設(shè)為左、右焦點(diǎn)，則，設(shè)則得，則當(dāng)時(shí)，取值得最大值1，即的最大值為1例9、常數(shù)，向量，其中分別是直角坐標(biāo)平面內(nèi)軸正方向上的單位向量，動(dòng)點(diǎn)，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并指出方程所表示的曲線解答：設(shè)，由已知得，即，其中當(dāng)時(shí)，平面內(nèi)沒有任何點(diǎn)符合要求；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段,方程為；當(dāng)，點(diǎn)的軌跡是橢圓，方程為例10、已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共線. （1）求的值； （2）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值.解答：（1）設(shè)橢圓方程為則直線AB的方程為，化簡得.令則 共線，得又即，故（2）證明：由（1）知，所以橢圓可化為.設(shè)，由已知得在橢圓上，即 由（1）知又，代入得 故為定值，定值為1例11、點(diǎn)在橢圓上，直線與直線：垂直，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為（1）證明：點(diǎn)是橢圓與直線的唯一交點(diǎn)；（2）證明：構(gòu)成等比數(shù)列（I）（方法一）由得代入橢圓,得.將代入上式,得從而，因此,方程組有唯一解,即直線與橢圓有唯一交點(diǎn)(方法二)顯然是橢圓與的交點(diǎn)，若，是橢圓與的交點(diǎn)，代入的方程，得，即，故