1、數(shù)學(xué) - 函數(shù)的對稱性與周期性 函數(shù)對稱性和周期性涉及不可顯示內(nèi)容過多，請單擊此處翻開或右鍵另存為下載對稱性：函數(shù)圖象存在的一種對稱關(guān)系，包括點對稱和線對稱。周期性：設(shè)函數(shù) 的定義域是 ，假設(shè)存在非零常數(shù) ，使得對任何 ，都有 且 ，那么函數(shù) 為周期函數(shù)， 為 的一個周期。對稱性和周期性是函數(shù)的兩大重要性質(zhì)，他們之間是否存在著內(nèi)在的聯(lián)絡(luò)呢？本文就來研究一下它們之間的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)，有缺乏之處望大家批評指正。一、一個函數(shù)關(guān)于兩個點對稱。命題1：假如函數(shù) 的圖象關(guān)于點 和點對稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個周期。證明：函數(shù) 的圖象關(guān)于點 對稱， 對定義域內(nèi)的所有 成立。又函數(shù) 的圖象關(guān)于點 對

2、稱， 對定義域內(nèi)的所有 成立。從而 即： 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個周期。特例：當 時， 為奇函數(shù)，即奇函數(shù) 假如又關(guān)于點對稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個周期。命題 ：假如函數(shù) 的圖象關(guān)于兩點 和 對稱，那么：當 ， 時， 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個周期。當 ， 時， 不是周期函數(shù)。證明：函數(shù) 的圖象關(guān)于點 對稱， 對定義域內(nèi)的所有 成立。又函數(shù) 的圖象關(guān)于點 對稱， 對定義域內(nèi)的所有 成立。從而 當 ， 時 即： 當 ， 時， 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個周期。當 ， 時 當 ， 時， 不是周期函數(shù)。當 ， 時 與條件矛盾，舍去綜合得原命題成立。二、一個函數(shù)假如關(guān)于一個點和一

3、條線對稱。命題2：假如函數(shù) 的圖象關(guān)于點 和直線對稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個周期。證明：函數(shù) 的圖象關(guān)于點 對稱， 對定義域內(nèi)的所有 成立。又函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱， 對定義域內(nèi)的所有 成立。從而 即： 即： 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個周期。特例：當 時， 為奇函數(shù)，即奇函數(shù) 假如又關(guān)于直線對稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個周期。命題 ：假如函數(shù) 的圖象關(guān)于點 和直線 對稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個周期。證明：函數(shù) 的圖象關(guān)于點 對稱， 對定義域內(nèi)的所有 成立。又函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱， 對定義域內(nèi)的所有 成立。從而 即： 即： 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個周期。三、一個函數(shù)假如關(guān)于兩條線對稱。命題3：假如函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 和直線 對稱，那么函數(shù) 是以 為周期的周期函數(shù)。證明：函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱， 對定義域內(nèi)的所有 成立。又函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱， 對定義域內(nèi)的所有 成立。從而 即： 是以 為周期的周期函數(shù)。特例：當 時