1、第3章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 羅爾定理定理3.1 如果函數(shù)滿足：(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(3) 那么，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得這就是羅爾()定理圖這個(gè)定理的幾何解釋如圖所示，如果連續(xù)曲線在開區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)處都存在不垂直于軸的切線，并且兩個(gè)端點(diǎn)、處的縱坐標(biāo)相等，即連結(jié)兩端點(diǎn)的直線平行于軸，則在此曲線上至少存在一點(diǎn)，使得曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行 拉格朗日中值定理定理3.2 如果函數(shù)滿足：(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)那么，在內(nèi)，至少存在一點(diǎn)，使得 （3-1）也可以寫成這就是拉格朗日()中值定理在此定理中，如果區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，就變成了羅爾定理也

2、就是說，羅爾定理是拉格朗日定理的特殊情況拉格朗日定理的幾何解釋如圖3-2所示，若是閉區(qū)間上的連續(xù)曲線弧段，連接點(diǎn)和點(diǎn)的弦的斜率為，而弧段上某點(diǎn)的斜率為定理3.2的結(jié)論表明：在曲線弧段上至少存在一點(diǎn)，使得曲線在點(diǎn)處的切線與曲線的兩個(gè)端點(diǎn)連線平行圖3-2拉格朗日定理有兩個(gè)推論：推論1 如果在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒等于零，那么在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)是一個(gè)常數(shù)證明 在區(qū)間內(nèi)任取兩點(diǎn)，在上，用拉格朗日中值定理，有 由于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒等于零，所以這說明在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的在任何兩點(diǎn)處的函數(shù)值都相等故在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)是一個(gè)常數(shù)推論2 如果在區(qū)間內(nèi)，則在區(qū)間內(nèi)，與只相差一個(gè)常數(shù)，即 (為一常數(shù))證 令，則，由推論1知，為一常數(shù)

3、，于是有 (為常數(shù))* 柯西中值定理定理3.3 設(shè)函數(shù)與函數(shù)滿足：(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(3) 在區(qū)間內(nèi)那么，在內(nèi)，至少存在一點(diǎn)，使得 （3-2）這就是柯西()中值定理在此定理中，若，則其就變成了拉格朗日定理，說明拉格朗日定理是柯西定理的特殊情況3.2 洛必達(dá)法則重點(diǎn)：洛必達(dá)法則的應(yīng)用。難點(diǎn)：洛必達(dá)法則的應(yīng)用。中值定理的一個(gè)重要應(yīng)用是計(jì)算函數(shù)的極限.在第一章求極限時(shí)，我們經(jīng)常遇到形如當(dāng)(或)時(shí)，函數(shù)的分子、分母都趨近于零或都趨近于無窮大的情況.對(duì)于這種函數(shù)是不能直接利用商的極限運(yùn)算法則去求其極限的極限可能存在，也可能不存在通常把這種極限叫做未定式，分別簡記為“”或“”

4、型下面介紹求這類極限的一種簡便且重要的方法 洛必達(dá)()法則對(duì)于“”型的極限，有下面的法則：法則1 如果函數(shù)與函數(shù)滿足：(1) ；(2) 函數(shù)與在點(diǎn)的鄰域內(nèi)均可導(dǎo)，且；(3) 存在(或?yàn)闊o窮大)那么對(duì)于“”型的極限，有下面法則：法則2 如果函數(shù)與函數(shù)滿足：(1) ；(2) 函數(shù)與在點(diǎn)的鄰域內(nèi)均可導(dǎo)，且；(3) 存在(或?yàn)闊o窮大)那么使用洛必達(dá)法則必須注意以下兩點(diǎn)：（1）洛必達(dá)法則只適用于未定式，其他未定式須先化成這兩種類型之一，然后再用該法則；（2）洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不是必要的，因此，該法則失效但極限仍有可能存在.有些極限雖然是未定式，但使用洛必達(dá)法則無法計(jì)算出其極限值，這時(shí)應(yīng)考慮用其

5、它方法例如求，兩次使用洛必達(dá)法則后，又還原成原來的形式，因而洛必達(dá)法則對(duì)它失效，事實(shí)上3.3 函數(shù)的單調(diào)性與極值 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性態(tài)，它反映了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間隨自變量的增大而增大（或減少）的一個(gè)特征.但是，利用單調(diào)性的定義來討論函數(shù)的單調(diào)性往往是比較困難的.本節(jié)利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)來研究函數(shù)的單調(diào)性由圖3-3可以看出，當(dāng)函數(shù)在上是單調(diào)增加時(shí)，其曲線上任一點(diǎn)的切線的傾斜角都是銳角，因此它們的斜率都是正的，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，此時(shí)，曲線上任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都是正值，即0由圖3-4可以看出，當(dāng)函數(shù)在上是單調(diào)減少時(shí)，其曲線上每一點(diǎn)的切線的傾斜角都是鈍角，因此它們的斜率都是負(fù)的，此時(shí)，曲線上

6、任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都是負(fù)值，即0 圖3-3 圖3-4定理3.4 設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，則(1) 如果在內(nèi)，那么函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加；(2) 如果在內(nèi)，那么函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減少注 在區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于零，不影響函數(shù)的單調(diào)性如冪函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)處為，但它在其定義域內(nèi)是單調(diào)增加的 函數(shù)的極值極值的概念如圖3-5所示，函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它左右近旁的函數(shù)值都大，而在點(diǎn)的函數(shù)值比它左右近旁的函數(shù)值都小，對(duì)于這種特殊的點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，我們給出如下定義：定義3.1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，是內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)(1) 如果對(duì)于點(diǎn)近旁的任一點(diǎn)，都有，那么稱為函數(shù)的一個(gè)極大值，點(diǎn)稱為的一個(gè)極大值點(diǎn)(2) 如果對(duì)于點(diǎn)近旁的任一點(diǎn)，都有，

7、那么稱為函數(shù)的一個(gè)極小值，點(diǎn)稱為的一個(gè)極小值點(diǎn)函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點(diǎn)圖3-5如圖3-5中的和是函數(shù)的極大值點(diǎn)，和是函數(shù)極大值；和是函數(shù)的極小值點(diǎn)，和是函數(shù)的極小值注意 (1) 極值只是一個(gè)局部概念，它僅是與極值點(diǎn)鄰近的函數(shù)值比較而言較大或較小的，而不是在整個(gè)區(qū)間上的最大值或最小值函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，在區(qū)間的端點(diǎn)處不能取得極值；(2) 函數(shù)的極大值與極小值可能有很多個(gè)，極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值小；(3) 函數(shù)的極值可能取在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)函數(shù)極值的判定從圖3-5可以看出，曲線在點(diǎn)、取得極值處的切線都是水平的，即在

8、極值點(diǎn)處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零對(duì)此，我們給出函數(shù)存在極值的必要條件：定理3.5 如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)且取得極值，那么使得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)(即方程的實(shí)根)，叫做函數(shù)的駐點(diǎn)定理3.5說明，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)，但是，函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是它的極值點(diǎn)例如點(diǎn)是函數(shù)的駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn)所以定理3.5還不能解決所有求函數(shù)極值的問題但是，定理3.5提供了尋求可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的范圍，即從駐點(diǎn)中去尋找還要指出連續(xù)但不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是其極值點(diǎn)，如，在處連續(xù)，但不可導(dǎo)，而是該函數(shù)的極小點(diǎn)判斷駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)，我們有如下定理：定理3.6 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的近旁可導(dǎo)，且(1) 如果當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，那么是極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極大值；

9、(2) 如果當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，那么是極小值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值(3) 如果在點(diǎn)的左右兩側(cè)，同號(hào)，那么不是極值點(diǎn)，函數(shù)在點(diǎn)處沒有極值圖3-6分別顯示了以上三種情形： (1) (2) (3)圖3-6根據(jù)定理3.5和定理3.6，可得到求函數(shù)極值點(diǎn)和極值的步驟如下：(1) 求出函數(shù)的定義域；(2) 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；(3) 令，求出函數(shù)在定義域內(nèi)的全部駐點(diǎn)；(4) 用所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)把定義域分成若干個(gè)部分區(qū)間，列表考察每個(gè)部分區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，確定極值點(diǎn)；(5) 求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值，即得函數(shù)的全部極值1閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知道，函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最大值

10、與最小值最大值與最小值可能取在區(qū)間內(nèi)部，也可能取在區(qū)間的端點(diǎn)處，如果取在區(qū)間內(nèi)部，那么，它們一定取在函數(shù)的駐點(diǎn)處或者導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處函數(shù)的極值是局部概念，在一個(gè)區(qū)間內(nèi)可能有很多個(gè)極值，但函數(shù)的最值是整體概念，在一個(gè)區(qū)間上只有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值由以上分析知，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值的步驟為：(1) 求出在區(qū)間內(nèi)的所有駐點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，并計(jì)算各點(diǎn)的函數(shù)值；(2) 求出端點(diǎn)處的函數(shù)值和；(3) 比較以上所有函數(shù)值，其中最大的就是函數(shù)在上的最大值，最小的就是函數(shù)在上的最小值3.4 函數(shù)圖形的描繪3 4 1曲線的凹凸與拐點(diǎn)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，對(duì)于了解函數(shù)的性態(tài)，描繪函數(shù)的圖形起到了重

11、要作用但是僅依賴于這些知識(shí)，還不能比較準(zhǔn)確地描繪出函數(shù)的圖形例如函數(shù)與在上的圖形(圖3-10)，其曲線都是單調(diào)上升的，但他們的彎曲方向卻不同，這就是所謂的凹與凸的區(qū)別曲線上任一點(diǎn)的切線均位于曲線下方，形狀是凹的，而曲線上任一點(diǎn)的切線均位于曲線上方，形狀是凸的 圖3-10一般地，從圖3-11可以看出，在向下凸的曲線弧段上，任一點(diǎn)處的切線都在曲線的下方；在向上凸的曲線弧段上，任一點(diǎn)處的切線都在曲線的上方對(duì)于此，我們給出下面的定義：定義3.2 如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧段上任一點(diǎn)處的切線都在曲線的下方，那么稱此曲線弧段為凹曲線；曲線弧段上任一點(diǎn)處的切線都在曲線的上方，那么稱此曲線弧段為凸曲線從圖3-11

12、中還可以看出，當(dāng)曲線弧段是凹的時(shí)候，其切線的斜率是逐漸增加的，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是單調(diào)增加的；當(dāng)曲線弧段是凸的時(shí)候，其切線的斜率是逐漸減少的，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是單調(diào)減少的根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的判定方法，有如下定理：圖3-11定理3.7 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)(1) 如果當(dāng)時(shí)，恒有，則曲線在區(qū)間內(nèi)是凹的；(2) 如果當(dāng)時(shí)，恒有，則曲線在區(qū)間內(nèi)是凸的定義3.3 連續(xù)曲線上凸的曲線與凹的曲線的分界點(diǎn)叫做曲線的拐點(diǎn)曲線的漸近線先看我們熟悉的函數(shù)，如：(1) 函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值無限趨近于零，那么曲線無限接近于直線；(2) 函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值的絕對(duì)值無限增大，那么曲線無限接近于直線；（3）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值無限接近于，那么曲線無限接近于直線；當(dāng)時(shí)，函數(shù)值無限接近于，那么曲線無限接近于直線一般地，當(dāng)曲線上的一動(dòng)點(diǎn)沿著曲線移向無窮遠(yuǎn)時(shí)，如果點(diǎn)到某定直線的距離趨向于零，那么直線就稱為曲線的一條漸近線.漸近線分為水平、垂直和斜漸近線，我們給出下面的定義：定義3.4 設(shè)曲線，(1) 如果（或，），則稱直線為曲線的一條水平漸近線；(2) 如果（或，），則稱直線為曲線的一條垂