1、第2講 兩條直線的位置關(guān)系知識(shí)梳理1.兩條直線的平行與垂直關(guān)系(分斜率存在與不存在兩種情況討論)若兩條不重合的直線的斜率都不存在,則這兩條直線平行;若一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為0,則這兩條直線垂直.已知直線, 若,與相交,則 ; 若,則 ;若/,則且; 若與重合,則且2.幾個(gè)公式已知兩點(diǎn),則 設(shè)點(diǎn)，直線點(diǎn)到直線的距離為設(shè)直線則與間的距離3.直線系 與直線平行的直線系方程為; 與直線垂直的直線系方程為; 過兩直線的交點(diǎn)的直線系方程為重難點(diǎn)突破重點(diǎn):掌握兩條直線的平行與垂直的充要條件；掌握兩點(diǎn)之間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行線之間的距離.難點(diǎn):判斷兩條直線位置關(guān)系時(shí)的

2、分類討論以及綜合運(yùn)用平行與垂直的充要條件、距離公式解題重難點(diǎn):綜合運(yùn)用平行與垂直的充要條件和三個(gè)距離公式,進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化之后求直線方程（1）在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)的分類討論, 要防止因考慮不周造成的增解與漏解,關(guān)鍵是要樹立檢驗(yàn)的意識(shí).要考慮斜率存在與斜率不存在兩種情形;要考慮兩條直線平行時(shí)不能重合;問題1:已知直線，m為何值時(shí)，與平行點(diǎn)撥：當(dāng)m=0時(shí)，當(dāng)時(shí)，的斜率為，的斜率為由得或，時(shí)與重合，時(shí)（2）在分析題意,尋找解題思路時(shí),要充分利用數(shù)形結(jié)合思想,將問題轉(zhuǎn)化,化繁為簡,有效降低運(yùn)算量. 問題2:已知點(diǎn)P（2，1）求過P點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大的直線的方程點(diǎn)撥: 過P點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大的直線為垂直于

3、直線的直線,直線的斜率為-2, 直線的方程為,即（3）在使用點(diǎn)到直線的距離公式和兩條直線的距離公式時(shí),應(yīng)先將直線方程化為一般式,使用兩條直線的距離公式,還要使兩直線方程中的的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等問題2：求直線與的距離點(diǎn)撥：將的方程化為，則兩直線的距離為(4)處理動(dòng)直線過定點(diǎn)問題的常用的方法: 將直線方程化為點(diǎn)斜式化為過兩條直線的交點(diǎn)的直線系方程特殊入手,先求其中兩條直線的交點(diǎn),再驗(yàn)證動(dòng)直線恒過交點(diǎn)從“恒成立”入手，將動(dòng)直線方程看作對(duì)參數(shù)恒成立。問題3:求證:直線恒過某定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).將直線方程化為若直線過定點(diǎn)，則上式對(duì)恒成立，該直線必過定點(diǎn)熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)1:兩直線的平行與垂直關(guān)系題型:

4、判斷兩條直線平行與垂直例1 已知直線 ：3mx+8y+3m-10=0 和 ： x+6my-4=0 問 m為何值時(shí) （1）與相交（2）與平行（3）與垂直;解析當(dāng)時(shí)； ， 與垂直當(dāng)時(shí)由 ，而無解綜上所述（1）時(shí)與相交（2）與平行（3）時(shí)與垂直【名師指引】判斷兩條直線的位置關(guān)系，一般要分類討論，分類討論要做到不重不漏，平時(shí)要培養(yǎng)分類討論的“意識(shí)”例2 已知三邊的方程為：，；（1）判斷三角形的形狀；（2）當(dāng)邊上的高為1時(shí)，求的值。【解題思路】（1）三邊所在直線的斜率是定值,三個(gè)內(nèi)角的大小是定值,可從計(jì)算斜率入手;(2)邊上的高為1,即點(diǎn)到直線的距離為1，由此可得關(guān)于m的方程.解析： （1）直線的斜率為

5、，直線的斜率為， 所以，所以直線與互相垂直， 因此為直角三角形 （2）解方程組，得，即由點(diǎn)到直線的距離公式得 ， 當(dāng)時(shí)，即，解得或【名師指引】（1）一般地，若兩條直線的方向（斜率、傾斜角、方向向量）確定，則兩條直線的夾角確定（2）在三角形中求直線方程，經(jīng)常會(huì)結(jié)合三角形的高、角平分線、中線【新題導(dǎo)練】1.已知直線，直線，則“”是“直線”的（）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件解析B2.已知過點(diǎn)A(-2，m)和B(m，4)的直線與直線2x+y-1=0平行，則m的值為（ ）A0 B-8 C2 D.10解析設(shè)所求的直線，則那么m=-8，選 B3. “m=”是“直

6、線(m+2)x+3my+1=0與直線(m2)x+(m+2)y3=0相互垂直”的( )A充分必要條件B充分而不必要條件C必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件解析當(dāng)m=或-2時(shí)，兩條直線垂直，所以m=是兩條直線垂直的充分不必要條件，選 B點(diǎn)評(píng)還要考慮斜率不存在的情形 4. (山東省棗莊市2008屆高三第一次調(diào)研考試) 已知直線l的傾斜角為，直線l1經(jīng)過點(diǎn)垂直，直線l2：2,4,6等于（ ）A4B2C0D2解析 B ,又考點(diǎn)2 點(diǎn)到直線的距離題型:利用兩個(gè)距離公式解決有關(guān)問題例3 已知直線及點(diǎn)（1）證明直線過某定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)（2）當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，求直線的方程【解題思路】分離參數(shù)求

7、定點(diǎn)坐標(biāo);尋找到直線的距離最大時(shí)，直線滿足的條件解析：（1）將直線的方程化為：，無論如何變化，該直線系都恒過直線與直線的交點(diǎn)，由得，直線過定點(diǎn)（2）當(dāng)時(shí)點(diǎn)到直線的距離最大，此時(shí)直線的斜率為-5，直線的方程為即【名師指引】（1）斜率不定的動(dòng)直線，都應(yīng)考慮是否過定點(diǎn)（2）處理解析幾何的最值問題，一般方法有：函數(shù)法；幾何法例4 已知三條直線 ，若與的距離是 （1）求a的值 （2）能否找到一點(diǎn)P使得P同時(shí)滿足下列三個(gè)條件P是第一象限的點(diǎn)；P點(diǎn)到的距離是P點(diǎn)到的距離的P點(diǎn)到的距離與P點(diǎn)到的距離的之比是；若能，求P點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，說明理由。【解題思路】由三個(gè)條件可列三個(gè)方程或不等式，最終歸結(jié)為混合組是否有

8、解的問題解析（1）(2)設(shè)同時(shí)滿足三個(gè)條件由得：設(shè)在上則有-（1）由得：-（2）由得 -（3）解由（1）（2）（3）聯(lián)立的混合組得 所以 【名師指引】（1）在條件比較多時(shí)，思路要理順；（2）解混合組時(shí)，一般是先解方程，再驗(yàn)證不等式成立 【新題導(dǎo)練】6. 點(diǎn)到直線的距離的最小值等于 解析7. 與直線的距離為的直線方程為 解析 或8. 兩平行直線，分別過點(diǎn)P（-1，3），Q（2，-1）它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則之，間的距離的取值范圍是（ ）A B.（0，5） C. D.解析最大值為P，Q的距離，即5，選C9.求過原點(diǎn)且與兩定點(diǎn)距離相等的直線的方程解析 直線過線段AB的中點(diǎn)或平行于直線

9、AB，故方程為或考點(diǎn)3 直線系題型1:運(yùn)用直線系求直線方程例5 求過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程和平行的直線方程。 【解題思路】可直接求交點(diǎn)，也可用直線系求解解析解法一.設(shè)與直線垂直的直線方程為 設(shè)與直線平行的直線方程為聯(lián)立方程得與的交點(diǎn)（1，-1） 代入求得 m=-5，n=3解法二.設(shè)與直線為 由條件分別求得和化簡得和【名師指引】（1）使用直線系方程可以回避解方程組，從而達(dá)到減少運(yùn)算量的目的（2）注意直線系不表示直線，這是一個(gè)容易丟解的地方題型2:動(dòng)直線過定點(diǎn)問題例6 已知圓，直線證明不取何值，直線過定點(diǎn) 證明直線恒與圓C相交解析(1)直線化為：故直線是經(jīng)過和交點(diǎn)（3，1）的直線系，

10、故過定點(diǎn)（3，1）（2）因?yàn)?所以（3,1）為圓內(nèi)的點(diǎn)。故直線恒與圓C相交【名師指引】在處理動(dòng)直線過定點(diǎn)問題時(shí)，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為過兩條定直線的交點(diǎn)的直線系是簡單易行的方法【新題導(dǎo)練】10、方程所確定的直線必經(jīng)過點(diǎn)A（2，2） B.（-2，2） C.（-6，2） D.（3，-6）解析代入驗(yàn)證，選A11.已知為m實(shí)數(shù)，直線：（2m+1）x+（1-m）y-（4m+5）=0， P（7，0），求點(diǎn)P到直線的距離d的取值范圍。解析 直線過定點(diǎn)，d的最大值為點(diǎn)P、Q的距離，因點(diǎn)P、Q的距離為，故d的取值范圍是 12.直線經(jīng)過直線的交點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形，求直線的方程解析：設(shè)直線方程為,

11、化簡得:直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形，直線的斜率為,解得:或代入并化簡得直線的方程為或搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1、若過點(diǎn)和的直線與直線平行,則的值為A6 B C2 D 解析，2、已知三條直線和圍成一個(gè)直角三角形，則的值是A 或 B-1或 C0或-1或 D0或或解析 C直線垂直時(shí)，但時(shí)后兩條直線重合，又時(shí)后兩條直線垂直，故選C3、若直線l：ykx與直線2x3y60交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（ ）A，) B(，) C(，) D，)解析B直線2x3y60與x軸、y軸交于（0，2）、（3，0）將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得答案4、點(diǎn)P（x，y）在直線4x + 3y = 0上，且滿足14

12、xy7，則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的取值范圍是（ ）A. 0，5B. 0，10C. 5，10D. 5，15解：B. 由得，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的取值范圍是0，105、設(shè) ,若僅有兩個(gè)元素,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 解析, 數(shù)形結(jié)合，注意到直線的斜率為1，當(dāng)時(shí)直線與不可能有兩個(gè)交點(diǎn) 6、求經(jīng)過直線和的交點(diǎn)，且與原點(diǎn)距離為的直線方程解析解方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），設(shè)直線方程為即，解得所求直線方程為綜合提高訓(xùn)練7、已知直線與軸軸正半軸所圍成的四邊形有外接圓，則 ，的取值范圍是 解析由題意知直線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)和，直線與線段（不含端點(diǎn)）相交，畫圖易得的取值范圍是8、已知兩直線,求分別滿足下列條件的、的值 （1

13、）直線過點(diǎn)，并且直線與直線垂直； （2）直線與直線平行，并且坐標(biāo)原點(diǎn)到、的距離相等解析解：（1） 即 又點(diǎn)在上， 由解得： （2）且的斜率為. 的斜率也存在，即，.故和的方程可分別表示為：原點(diǎn)到和的距離相等. ，解得：或.因此或. 9、（華南師大附中20072008學(xué)年度高三綜合測(cè)試（三）如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花園AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對(duì)角線MN過C點(diǎn)，|AB|=3米，|AD|=2米. （）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AM的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？ （）當(dāng)AM、AN的長度是多少時(shí)，矩形AMPN的面積最??？并求出最小面積. 以AM、AN分別為x

14、、y軸建立直角坐標(biāo)系，解析 （）以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，則由C在直線MN上得 AM的長取值范圍是（3，4）（）由（）知，即當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)所以時(shí)，矩形AMPN的面積取得最小值2410.已知點(diǎn)A（1,4），B（6,2），試問在直線x-3y+3=0上是否存在點(diǎn)C，使得三角形ABC的面積等于14？若存在，求出C點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由。解析AB=，直線AB的方程為，即，假設(shè)在直線x-3y+3=0上是否存在點(diǎn)C，使得三角形ABC的面積等于14，設(shè)C的坐標(biāo)為，則一方面有m-3n+3=0，另一方面點(diǎn)C到直線AB的距離為，由于三角形ABC的面積等于14，則，即或.聯(lián)立解得，；聯(lián)立解得，.綜上，在直線x-3y+3=0上存在點(diǎn)C或，使得三角形ABC的面積等于14.參考例題： 1. 將一塊直角三角板（角）置于直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)是三角板內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)因三角板中部分受損壞（），要把損壞的部分鋸掉，可用經(jīng)過的任意一直線將其鋸成，問如何確定直線的斜率，才能使鋸成的